Après avoir abordé les classiques pavages réguliers hyperboliques dans un article consacré aux cercles de pavage, nous poursuivons l’illustration des pavages hyperboliques par des objets moins réguliers, et dans un premier temps, par la construction la plus simple qu’il soit, celle de polygones orthogonaux c’est-à-dire des polygones n’ayant que des angles droits.
Ils sont élémentaires à construire géométriquement pour peu que l’on puisse construire la perpendiculaire communes à deux droites. Voici la construction du polygone de base.
Pour chaque changement de type de polygone, déplacer un des points \(A,B,C\) ou s’il existent \(D, E\) ou \(F\).
Préférer ouvrir cette figure dans un nouvel onglet
Ensuite les constructions se font par symétrie orthogonale, ce qui, dans le modèle DP, est une inversion et ne prend qu’un objet pour un point. Donc on obtient des figures très légères ce qui permet d’envisager la réalisation de la « génération 2 » du pavage, y compris en remplissant les polygones. Voici un aperçu de ce que l’on peut réaliser.
Dans cette page, deux figures – de génération 2 – sont plus longues à charger. Il peut être nécessaire de les relancer, avec l’icone de l’iframe, en général il faut cliquer deux fois.
Pavages PnR(5,4)
Déplacer les points \(A,B,C\). Il faut que \(D\) et \(E\) existent.
Préférer ouvrir cette figure dans un nouvel onglet
Et on peut ensuite aller un peu plus loin, c’est encore très fluide, mais un peu long à charger peut-être
Mêmes remarques que la figure précédente
Préférer ouvrir cette figure dans un nouvel onglet.
Pavages PnR(6,4)
Là encore déplacer les points bleus épais de telle façon que les deux points roses existent.
On rappelle que tous ces hexagones ont pour aire π.
Préférer ouvrir cette figure dans un nouvel onglet
On peut encore faire la génération 2, la figure est plus longue à ouvrir, mais ne prend que quelques secondes. Il y a en effet 85 hexagones qui sont remplis par des « listes segments » dont on a déjà parlé dans les articles sur la PSH par exemple.
Mêmes consignes …
Préférer ouvrir cette figure dans un nouvel onglet
Pavages PnR(7,4) et PnR(8,4)
On termine par les pavages pour les deux valeurs de \(n\) suivantes, mais seulement pour la génération 1.
Génération 1 de pavages d’heptagones orthogonaux
Préférer ouvrir cette figure dans un nouvel onglet
Et enfin, avec l’octogone
Génération 1 de pavages d’octogones orthogonaux
Préférer ouvrir cette figure dans un nouvel onglet
On aura bien compris que réaliser ces figures ne posent aucune difficulté. On se propose, dans de prochains articles, d’aborder les pavages \(PnR(5,5)\) ou \(PnR(6,6)\) qui, là, vont demander un sérieux développement trigonométrique si on veut réaliser des figures dynamiques.