Même si les droites sont les mêmes, le sens du cercle horizon dans les deux modèles est très différent, entre le modèle euclidien borné, pour lequel le cercle est, de fait, la droite de l’infini dans un contexte de plongement projectif, et le modèle elliptique où les points du cercles sont des points elliptiques, mais diamétralement identifiés.

Par construction, le modèle elliptique est conforme : des grands cercles orthogonaux se projettent en des cercles orthogonaux par projection stéréographique.

Utilisation de la représentation elliptique sur la sphère

A une rotation prés, une droite elliptique, comme image d’un grand cercle, peut toujours représenter l’équateur de la sphère. Or toutes les droites orthogonales à l’équateur se coupent au pôle nord. Donc dans le plan elliptique, les droites orthogonales à une droites \((AB)\) passent toutes par un même point, appelé, par analogie, le pôle de la droite.

Autrement dit, pour toute droite, il existe un point tel que toutes les droites passant par ce point sont orthogonales à la droite : par ce point il passe une infinité de perpendiculaires à une droite donnée.

Dans la figure suivante, on vous propose d’utiliser les premières macros elliptiques pour explorer le faisceaux des perpendiculaires. Revoir l’utilisation des macros.

Aspect technique : dans toutes les macro-constructions elliptique, le premier objet à montrer est le cercle du modèle. Selon les figures, la macro « droite elliptique » peut avoir un nom différent (Drte Alg) car pour économiser les objets dans les macros plus complexes à venir, on a repris le disque unité du modèle euclidien borné.

Exploration du faisceau des perpendiculaires communes

Dans la figure ci-dessous, construire les droites \((AB)\) et \((AB)\), prendre leurs pôles, puis la droite des pôles, et enfin le pôle de cette droite. Étudier la situation, conjecturer et imaginer une preuve – très simple – du résultat.

On peut préférer manipuler la figure déjà finalisée (s’ouvre dans un nouvel onglet)

Dans cette figure, a priori on n’utilise que les macros droite et pôle, mais on peut aussi faire d’autres explorations
La macro « pôle » est la cinquième donc pas visible dans la liste des 4 première, il faut faire glisser la liste des macros.

Analyse de la construction précédente : Identification des faisceaux « à centre » et « à axe »


La droite des milieux \((IJ)\) coupe \((AB)\) en l’autre milieu \(E\) de \(A\) et \(B\) que le point \(K\).

Toutes les droites perpendiculaires à \((AB)\) passent par son pôle \(p_{AB}\). Toutes les perpendiculaires à \((CD)\) passent par le pôle de (\((CD)\), le point \(p_{CD}\). Donc la droite \((p_{AB} p_{CD})\) est la seule perpendiculaire commune à \((AB)\) et \((CD)\). Mais cela signifie aussi que ces deux droites se coupent en le pôle de cette perpendiculaire commune. Autrement dit, et c’est bien la spécificité de la géométrie elliptique :

En géométrie elliptique :
• Toutes les droites sont sécantes, et donc il n’y a pas de faisceaux sans support (pas de parallèles).
Les faisceaux à centre et à axe sont identiques car
• L’intersection de deux droites est le pôle de leur perpendiculaire commune.

Prospective sur cette identité des faisceaux. Première interprétation

Reprenons l’esprit de la preuve du théorème absolu des milieux (vu dans le menu DP). Dans cette prospective, admettons que l’essentiel des propriétés d’essence algébrique soit transférable.

Alors le faisceau à axe utilisé dans la preuve reste comme tel par construction. Il s’ensuit que «la médiatrice du 3° côté est une perpendiculaire commune au 3° côté et à la droite des milieux». La droite des milieux coupe donc le 3° côté du triangle (la droite) en un point (\(E\) ci-contre) qui est le pôle de la médiatrice.

Dire que les faisceaux à axe sont aussi à centre, signifie qu’une droite et un point sont équivalents. Certes pas au niveau des configurations , ce n’est pas le même objet, mais plutôt d’un point vue des isométries.

Autrement dit, la symétrie orthogonale est la symétrie centrale par rapport à son pôle (nous y reviendrons en détail). Ici, la symétrie orthogonale par rapport à la médiatrice échange \(A\) et \(B\) est aussi une symétrie centrale de centre \(E\), qui échange \(A\) et \(B\). Le point \(E\) est aussi un milieu de \(A\) et \(B\), comme le point \(K\).

Exercice d’application – Dans la figure suivante, tracer les droites du triangle \(ABC\), puis les trois hauteurs du triangle et les pôles de ces trois hauteurs. Construire la droite passant par deux de ces pôles. Observations et conjectures ? Anticiper le pôle de cette droite avant de le construire. Sur la base de l’existence de l’orthocentre, envisager une preuve de tous ces résultats (immédiate en fait).

On peut, là aussi, préférer consulter cette figure finalisée (dans un nouvel onglet)

La réalisation de cette figure ne nécessite que 3 macros : droite elliptique, perpendiculaire elliptique, et pôle d’une droite
Complément possible : vous pouvez ajouter les pôles de droites du triangle et voir les alignements sous-jacents.

Bilan de l’exercice

Que les hauteurs soient en faisceau est un résultat théorique général, indépendant du type de géométrie. Voici une illustration bien spécifique au cas elliptique

Pour \(\{X, Y, Z\}=\{A, B, C\}\), notons \(ph_X\), le pôle de la hauteur issue de \(X\). Ce point appartient à \((YZ)\) puisqu’il est sur toutes les perpendiculaires à la hauteur issue de \(X\). La droite \((ph_B ph_C)\) est la perpendiculaire commune aux deux hauteurs issues de \(B\) et \(C\). Elles sont sécante en son pôle, noté \(H\). Si on suppose acquis que les hauteurs sont en faisceau, ici elles sont en faisceau à centre, de centre \(H\). La droite \((AH)\), passant par \(H\), est orthogonale à \((ph_B ph_C)\), mais c’est aussi la hauteur issue de \(A\), donc c’est la perpendiculaire commune à \((BC)\) et \((ph_B ph_C)\). Elles se coupent au pôle de la hauteur issue de \(A\), soit en \(ph_A\).

Ainsi les pôles des trois hauteurs sont alignés … sur la polaire de \(H\).

Complément

On rajoute les pôles \(p_{AB}, p_{BC}, p_{AC}\) des droites \((AB), (BC), (AC)\). Montrer que le pôle \(p_{XY}\) est sur la hauteur \((ZH)\), toujours pour les points \(\{X, Y, Z\}=\{A, B, C\}\). En déduire que la droite \((p_{XY}p_{XZ})\) passe par \(ph_X\), comme ci-dessous, où \((p_{AB}p_{AC})\) passe par \(ph_A\).

Manipuler en ligne ce complément