Il y a essentiellement deux façons de présenter la géométrie usuelle. Tout d’abord une approche algébrique dans laquelle la donnée initiale est celle d’un espace vectoriel à partir duquel on définit les structures affines. L’ajout d’une forme bilinéaire induit une orthogonalité. Dans cette démarche, les nombres ont une existence antérieure au questionnement géométrique. C’est une démarche réservée à l’enseignement supérieur par l’utilisation de l’efficacité des structures algébriques. Dans la seconde approche, dite parfois synthétique, ou plus simplement axiomatique, la donnée initiale est celle d’objets primordiaux et de leurs relations. Dans ce cas, la construction des nombres est une conséquence des propriétés géométriques. Et en particulier l’existence d’un corps de nombres – un corps de coordonnées – et ses propriétés sont directement liées aux axiomes retenus.

Les géométries mises en évidence par Hilbert

C’est ce qu’a étudié, en détail, David Hilbert dans son célèbre ouvrage «Les fondements de la géométrie». Le principal objectif de cet ouvrage est de construire le plan – et l’espace – euclidien, avec un minimum d’axiomes. Mais la particularité de la démarche de Hilbert est dans son analyse fine de certaines dépendances de propriétés en lien avec ses axiomes, et ainsi, de dégager des géométries bien spécifiques comme les géométries non archimédiennes ou encore, celles qui vont nous intéresser ici, les géométries non arguésiennes.

Par géométrie non archimédienne, on entend une géométrie qui ne vérifie pas l’axiome d’Archimède mais vérifie tous les autres axiomes de Hilbert. Pour montrer que son axiome reliant les congruences des angles et des segments – nous y reviendrons longuement – ne peux pas se déduire des autres axiomes, Hilbert a mis en évidence une géométrie dite «non archimédienne» dans laquelle tous ses axiomes sont vérifiés sauf celui-ci. Cela implique, entre autre, d’avoir dû inventer des «nombres non archimédiens». Cette géométrie a alors des propriétés largement non euclidiennes dont certaines d’ailleurs sont communes avec la géométrie non arguésienne comme l’absence de l’inégalité triangulaire, ou encore l’absence d’équivalence entre côtés égaux et angles à la base égaux dans les triangles dits «isocèles» dans le cas euclidien. Mais les géométries non archimédiennes ne peuvent pas avoir de modèle euclidien, et donc nous ne pourrons l’explorer avec la géométrie dynamique.


Par géométrie non arguésienne, on entend une géométrie qui ne vérifie pas le théorème de Desargues. Hilbert a montré que, pour une géométrie plane, ce même axiome sur les relations entre les congruences des segments et des angles, est essentiel pour montrer le théorème de Desargues. Et donc une géométrie non arguésienne est une géométrie qui ne vérifie pas cet axiome, mais vérifie les autres, en tout cas pour ce qui est de l’approche de Hilbert.

Cette partie du site se propose d’explorer dynamiquement la géométrie non arguésienne à travers les deux modèles proposés par Hilbert au cours des différentes éditions de ses «Fondements». En effet, il propose un modèle dans la première édition (1899), qui est juste avancé comme une «preuve de concept». Puis, à partir de la 4° édition, il reprend le modèle proposé par Moulton dés 1902 beaucoup plus facile à étudier et à implémenter en géométrie dynamique, mais là, Hilbert l’utilise, encore, juste pour illustrer cette «preuve de concept». On se propose ici d’aller plus loin dans ces deux modèles.


Explorer dynamiquement peut signifier plusieurs choses très différentes.
• Tout d’abord explorer signifie que l’on va expérimenter des configurations sans nécessairement aborder les questions théoriques sous-jacentes, même si, sur des résultats simples, on proposera des démonstrations de ces résultats. En ce sens, ce menu, comme les précédents d’ailleurs, est d’abord une collections de figures dynamiques, manipulables et téléchargeables pour être travaillées hors du site.
• Ensuite dynamiquement signifie, entre autre, que l’on peut se donner différents points de base pour une même figure, ce qui permet d’aborder une configuration sous différentes approches, souvent complémentaires, et parfois, mettre en évidence certaines propriétés géométriques qu’on aurait pu ne pas remarquer sans ces modifications de point de vue.

Utilisation du Blockly de DGPad.

Contrairement aux précédents menus où toutes les figures étaient géométriques, utilisant des calculs de l’outil « expressions », les figures du modèle de Hilbert utiliseront systématiquement la programmation Blockly de DGPad. Certains points de programmation seront donc détaillés. Et comme il s’agit fort probablement d’une première implémentation dynamique du modèle de Hilbert, certaines questions techniques de réalisation de ces constructions sont abordées pour que des lecteurs particulièrement intéressés puissent aller plus loin. Le lecteur peu concerné par ces questions s’abstiendra simplement de rentrer dans ces détails. De même, dans les pages sur le modèle de Moulton, tous les résultats nécessaires pour refaire, éventuellement avec d’autres logiciels, les figures des différents cas de triangles orthocentriques et bi-orthocentriques sont fournis en détail.

Présentation de ce menu

La configuration de Desargues

Dans cet item, on commence par une présentation succincte de l’ouvrage de Hilbert «les fondements de la géométrie», dans l’édition critique de Paul Rossier qui fait référence, essentiellement pour situer les problématiques telles que dégagées par Hilbert. On y aborde d’abord les axiomes puis la configuration de Desargues.

Pour l’item suivant , on notera que chaque item correspond à une page, même le titre d’un pop up menu. Ainsi, il y a 4 pages sur les droites de Hilbert, une page de présentation du modèle et trois autres pages.

Le modèle de Hilbert – Les droites

Dans cette page, on présente le modèle de Hilbert en général (droites, segments, angles) ainsi que la preuve de Hilbert que son modèle est bien non arguésien. En terme de géométrie dynamique, il y a trois cas bien distincts à étudier pour construire une droite définie par deux points. Dans chacun des deux premiers cas, on étudiera des cas particuliers pour obtenir, à chaque fois, des résultats certes, bien spécifiques, mais intéressants.

Droites de Hilbert – Cas 1

Le premier cas, celui où les points définissant une droite sont à l’extérieur de l’ellipse utilisée par Hilbert est le plus simple à mettre en oeuvre. On y construit des triangles équilatéraux (3 côtés de même longueur) pour lesquels les hauteurs, médianes ou bissectrices sont concourantes mais pas en le même point.

Droites de Hilbert – Cas 2

C’est le cas où les points définissant les droites – et les triangles – sont à l’intérieur de l’ellipse. C’est l’occasion d’étudier le modèle de Hilbert à l’intérieur de l’ellipse et plus généralement des configurations définies par des points à l’intérieur de l’ellipse. On aura ainsi des premiers résultats sur l’orthogonalité.

Droites de Hilbert – Cas 3

Il s’agit du cas d’une droite définie par un point à l’intérieur de l’ellipse et d’un point à l’extérieur. Cette construction, plus complexe, est produite par programmation. Puis on unifie les trois cas, et on propose quelques configurations générales … dont celle de Desargues après avoir abordé la construction de droites parallèles.

Hilbert – Somme des angles d’un triangle

Deux items sont consacrés à l’exploration dynamique de réalisations de cas particuliers. Le premier item s’intéresse au cas où deux sommets du triangle sont dans l’ellipse. Le second item s’intérese à des constructions de triangles particuliers avec un seul sommet dans l’ellispe.

Modèle de Hilbert – Orthogonalité

La encore, la page de titre du pop up menu est une page d’introduction à l’orthogonalité. Ensuite, trois items sont consacrés à l’orthogonalité. Le premier s’intéresse aux triangles orthocentriques et propose de construire, là encore par programmation, des triangles bi-orthocentriques et même tri-orthocentriques, ce qui en fait une véritable spécificité du modèle de Hilbert et montre que la géométrie non arguésienne du modèle de Hilbert n’est pas la même que celle du modèle de Moulton qui ne peut pas réaliser un triple orthocentricité.

Les deux autres items s’intéressent au questionnement suivant : étant donnée une droite coupant l’ellipse, comment réaliser régionnement du plan en fonction du nombre de perpendiculaires à la droite que l’on peut mener de cette région. Le premier item s’intéresse au régionnement de l’extérieur de l’ellipse et construit dynamiquement les régions d’où on peut mener deux et trois perpendiculaires. On ne va pas beaucoup plus loin. L’item suivant s’intéresse au régionnement de l’intérieur de l’ellipse. A priori l’étude a été poussée plus loin, mais cette partie n’a pas été rédigée, et est donc encore « en jachère » car la figure finale n’est correcte pour le moment que dans 60% des cas et donc demande à être affinée pour être mise en ligne. C’est donc le point faible de ce menu.

La critique de Moulton sur le modèle de Hilbert

Cet item traite des angles en un point de l’ellipse. Il comporte trois parties. Tout d’abord on revient en détail sur la définition de Hilbert dans ce cas, avec une construction dynamique. Puis on aborde, là encore avec une figure adaptée, la critique de Moulton qui montre bien que l’égalité des angles \((h, k) = (k, h)\), avec la définition de Hilbert, n’est pas vérifiée en les points de l’ellipse. Dans une dernière partie, on aborde l’utilisation des angles droits en les points de l’ellipse pour construire de nouveaux types de triangles orthocentriques.

Plan de Moulton – Les droites

Avec le plan de Moulton, on revient à une pratique plus géométrique et algébrique de la réalisation des modèles. Ce premier item sur Moulton montre, avec détail, comment réaliser une droite de Moulton générique, qui intègre, là aussi 3 sous cas. Puis on illustre, toujours par des figures dynamiques, les différentes « non propriétés affines » du plan de Moulton, et en particulier que l’on ne peut pas construire un corps de coordonnées.

Moulton – Les angles

Cet item comporte trois parties, tout d’abord, une présentation générale, avec le calcul des valeurs extrémales de la somme des angles d’un triangle. Ensuite, puisque c’était la critique de Moulton sur le modèle de Hilbert, on aborde en détail le cas des angles en un point de l’axe de rupture des droites de Moulton. Et on termine par un exercice de style aussi fun qu’improbable : la construction d’un triangle de Moulton formé de trois points affinement alignés et ont la somme des angles fait 180°.

Moulton – Orthogonalité

L’orthogonalité de ce modèle peut être complètement implémentée de manière dynamique, puisque les zones sans perpendiculaire et à deux perpendiculaires sont immédiatement accessibles par macro-construction. Cela permet des explorations très rapides sur les triangles par exemple qui peuvent avoir de une à cinq hauteurs. On met en évidence une propriété simple pour qu’un triangle de Moulton ait un orthocentre qui sera dit «  »géométrique ».

Moulton – Triangles orthocentriques

En dehors du cas « géométrique » de l’item précédent, on explore les six autres cas « algébriques » pour la réalisation de triangles orthocentriques, avec des constructions dynamiques adaptées

Moulton – Triangles bi-orthocentriques

On termine cette exploration par la réalisation de triangles ayant deux orthocentres, un euclidien et un autre « de Moulton », tout d’abord dans un cas particulier, puis dans un cadre plus général. Il semble bien que ce soit lesdeux seules situations génériques de réaliser des triangles bi-orthocentriques.