Dans cette page, on explore seulement quelques cas particuliers qui vont produire néanmoins de nombreux triangles orthocentriques. Si toutes les figures (un peu lourdes quand même) ne s’affichent pas correctement, recharger la page ou les figures individuellement dans l’iframe (généralement deux fois).
On dira d’un orthocentre qu’il est :
• hibertien : si ses trois hauteurs sont hilbertiennes, et donc les pieds des hauteurs sur les arcs à l’intérieur de l’ellipse.
• euclidien : si les trois hauteurs sont euclidiennes, c’est-à-dire si les pieds des hauteurs sont sur la partie extérieure à l’ellipse des côtés du triangle.
• hybride : si les hauteurs sont des deux types.
Le principe de construction est le même que celui utilisé dans les figures sur les médianes ou les hauteurs parallèles : on place la figure dans une configuration proche d’une situation orthocentrique, et un programme permet de modifier un sommet de manière infime pour arriver au concours des hauteurs. Dans de nombreux cas on pourra alors modifier les sommets pour conserver l’orthocentre.
Orthocentre hilbertien extérieur à l’ellipse
d’un triangle intérieur à l’ellipse
On a plusieurs fois dit que, si les sommets sont dans l’ellipse, et les intersections des hauteurs aussi, alors le triangle est orthocentrique. Dans cette section, on s’intéresse donc aux possibilités d’avoir un orthocentre extérieur à l’ellipse pour un triangle dont les trois sommets restent dans l’ellipse.
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Premiers exemples d’orthocentres hybrides
Ne pas hésiter à déplacer les sommets \(A\) ou \(B\) en mode \(Libre\). On peut aussi déplacer \(C\) même si le programme est activé.
Parfois la distance entre les deux points n’est plus nulle (affiche par exemple \(2 e-11\)). Dans ce cas désactiver et réactiver le programme.
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Un exemple d’orthocentre intérieur à l’ellipse
Cet exemple est aussi l’occasion de rappeler – indépendamment que l’orthocentre soit à l’intérieur de l’ellipse – que le point de concours des hauteurs est équivalent à l’alignement des centres euclidiens des arcs de cercle des hauteurs. On peut donc tester les deux. Dans le cas d’un centre extérieur – comme dans la première figure, les centres sont troip loin. Dans cette figure, on peut voir les trois centres en ouvrant la figure dans un nouvel onglet, ou en dézoomant la figure dans l’iframe.
Même conseil : ne pas hésiter à explorer le mode \(Libre\).
L’orthocentre intérieur à l’ellipse est 2/3 euclidien 1/3 hilbertien.
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Exemple d’orthocentre intérieur euclidien
Dans cette figure, les sommets \(A, B, C\) sont extérieurs à l’ellipse et le triangle (à l’ouverture de la figure) a six hauteurs. On a affiché les noms des intersections des hauteurs prises deux à deux. Les suffixes \(h\) et \(e\) précisent si la hauteur est hilbertienne ou euclidienne. Plus précisément \(hABhe\) signifie que la hauteur issue de \(A\) est hibertienne et celle issue de \(B\) est euclidienne alors que \(hABeh\) signifie l’inverse : la hauteur issue de \(A\) est euclidienne et celle issue de \(B\) est hilbertienne.
Dans cette figure, il faut que la droite \((BC)\) coupe l’ellipse, sinon on perd des points.
On notera que les trois hauteurs sont euclidiennes d’où le terme « orthocentre intérieur euclidien ».
On pense à la potentielle situation bi-orthocentrique … plus difficile à obtenir … on y consacrera une autre page.
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