En dehors des points de l’ellipse, dont l’étude sera abordée dans une page dédiée, le modèle non arguésien de Hilbert est conforme. On peut rencontrer, a priori, deux types d’orthogonalité : le cas ordinaire euclidien, à l’extérieur de l’ellipse, et le cas d’arcs de cercle orthogonaux, à l’intérieur de l’ellipse.
Il se peut alors, que, d’un point \(M\) du plan, on puisse même mener deux perpendiculaires à une droite \((AB)\) donnée comme ci-contre, une euclidienne et l’autre, que l’on dira hilbertienne, ou encore H-perpendiculaire.

Pour une droite euclidienne \(d\) (c’est-à-dire une H-droite qui ne coupe pas l’ellipse), de tout point du plan il existe toujours une et une seule perpendiculaire à cette droite, c’est la H-droite dont le support euclidien est la perpendiculaire à \(d\). On s’intéresse donc essentiellement dans la suite aux H-droites rencontrant l’ellipse. On imagine assez facilement qu’il puisse exister, dans certains cas à préciser, des régions du plan depuis lesquels on ne peut pas mener de perpendiculaire à une droite donnée.

Quand nous avons étudié les rectangles à l’intérieur de l’ellipse, nous avons vu que si un quadrilatère a trois angles droits, il en a quatre, mais que les H-droites support ne sont généralement pas parallèles. Il en résulte qu’étant donné une droite coupant l’ellipse, il est facile de construire deux H-perpendiculaires à cette droite, sécantes entre elles. Et, dans certains cas, si ce point d’intersection peut être assez loin de l’ellipse, on peut rencontrer la situation ci-contre, où, par un point, il passe non pas deux, mais trois perpendiculaires à une droite donnée, deux hilbertiennes et une euclidienne.

Ci-contre, du point \(A\) il existe trois perpendiculaires à la droite \((BC)\).

L’orthogonalité est donc un thème très riche, et ce premier résultat, même s’il est élémentaire, est une spécificité du modèle de Hilbert. Par définition même du modèle, il n’y aura jamais trois perpendiculaires à une droite dans le modèle de Moulton. Ainsi les géométries non arguésiennes dans ces deux modèles ne sont pas identiques. Et ceci est sans rapport avec la définition de la congruence des angles dans le cas d’un sommet sur l’ellipse.

Plusieurs questionnements sont possibles autour de l’orthogonalité dans le modèle de Hilbert. Certes, on peut chercher à construire les perpendiculaires à une droite issue d’un point, mais avant cela, il est nécessaire de repérer les parties du plan depuis lesquelles on peut mener ces perpendiculaires.

On pourrait se donner comme objectif de caractériser – en pratique, idéalement de colorier dynamiquement – ce régionnement du plan. Mais cet objectif ne sera complètement réalisable qu’à l’intérieur de l’ellipse. Dans le cas d’un point extérieur à l’ellipse, la situation est trop complexe pour une résolution dynamique complète avec la méthode utilisée dans ces pages. Il faudrait aborder le problème autrement.

Dans ces pages consacrées à la H-orthogonalité, nous allons abordé trois thèmes

  1. La construction de triangles bi et même tri-orthocentriques. Paradoxalement, c’est plus simple à traiter qu’une étude dynamique générale de l’orthogonalité.
  2. Pour une H-droite donnée interceptant l’ellipse, on cherchera le régionnement de la partie du plan extérieure à l’ellipse en régions depuis lesquelles soit on ne peux pas mener de perpendiculaire, soit on peut mener une, ou deux, voire parfois trois perpendiculaires à la droite donnée. Nous ne proposerons pas de régionnement dynamique global (pour le moment) et on verra pourquoi.
  3. On abordera la même question à l’intérieur de l’ellipse avec plus de résultats. Mais finalement, cette page n’a pas (pas encore) été développée car la figure finale n’était pas satisfaisant.

Intro orthogonalité | H-ortho 1 (triangles) | H-ortho 2 (régionnement extérieur) | H-ortho 3 (régionnement intérieur)