Cette page se proposant d’aller plus loin, on a choisi de faire réellement découvrir les propriétés évoquées aux lecteurs en leur faisant finaliser les figures par eux-mêmes. Cela signifie que vous allez être amené à utiliser des macros-constructions. Une page d’explication a été rédigée à cet effet, avec deux exemples simples que l’on peut reprendre.

La géométrie des faisceaux

On a vu que les droites remarquables d’un triangle, en général, sont en faisceau (vérifié sur les hauteurs et les médiatrices). Autrement dit, on a consaté, d’un point de vue heuristique, qu’elles ont quelque chose en commun : un point (faisceau à centre), une perpendiculaire commune (faisceau à axe) ou un point à l’infini (les droites parallèles, faisceau sans support).

De ce point de vue, la géométrie euclidienne est une géométrie dans laquelle il n’y a que deux types de droites en faisceau, car les faisceaux à axe et sans support sont confondus.

On peut ensuite définir une notion de faisceau de droites de la façon suivante : Deux droites \(a\) et \(a\) définissent le faisceau \(F_{ab}\) qui est l’ensemble des droites \(c\) telles que les trois droites \(a, b, c\) sont en faisceau.

On rappelle que, du point de vue de la théorie sous-jacente, trois droites sont en faisceau si la composée des trois symétries orthogonales associées est encore une symétrie orthogonale.

On précisera en détail, dans un futur menu, ce qui donne sa cohérence à cette démarche. Ce sont, entre autres, les théorèmes de transitivité de l’axiomatique de Bachmann.

Cette notion de faisceau de droite permet de définir un nouvel objet mathématique : le trilatère.

Un trilatère est un ensemble de trois droites qui ne sont pas en faisceau. Il peut être sans sommet, comme ci-contre, ou avec un, deux, ou trois sommets (triangle).
Le trilatère est donc une extension hyperbolique naturelle, mais aussi très générale, des triangles.

On se propose ici d’explorer quelques propriétés de la géométrie des trilatères. Mais on commence par les propriétés des faisceaux.

Propriété de base : par un point il passe une et une seule droite appartenant à un faisceau de droites donné.

En terme de géométrie dynamique, l’intérêt est de construire réellement cette droite en tant de « droite du faisceau », c’est-à-dire indépendamment de la nature du faisceau. C’est facile à réaliser car on fait la construction au sein d’un modèle euclidien donc avec les outils de ce modèle.

Dans la figure suivante, nous vous proposons de construire cette droite et de vérifier qu’elle est bien une droite du faisceau.

Etape 1. Sélectionner l’icone des macros. Commencer par construire la droite du faisceau des deux droites passant par M. ​
( montrer dans l’ordre, le cercle horizon, droite 1, droite 2, point)
Etape 2. Déplacer les points pour rendre les deux droites sécantes et vérifier que la droite construite passe bien par le point d’intersection.
Etape 3. Rendre à nouveau les droites non sécantes, construire leur perpendiculaire commune, puis vérifier à nouveau que, dans ce cas, la droite construite est bien aussi dans le faisceau des droites (AB) et (PQ) par exemple en construisant la perpendiculaire commune à la nouvelle droite et une des deux droites du faisceau. On peut ou non colorier l’un des deux pour voir qu’elles sont superposées et donc que les trois droites sont bien en faisceau.

Exemple d’application

On a vu (ici) que les cycles exinscrits d’un triangle peuvent être des équidistantes. En particulier le second point de Ajima Malfatti – point de concours, dans le cas euclidien, des trois droites passant par le centre d’un cercle exinscrit et le point de contact des deux cercles de Malfatti tangents au côté associé – ne peut pas se construire de la même façon que le cas euclidien. La propriété s’étend pourtant au cas hyperbolique, et la construction se fait alors avec la notion de faisceau, et la macro précédente. C’est ce qui est proposé d’illustrer dans la figure suivante.

Manipulation proposée :
a) afficher les points de contact et les bissectrices extérieures
b) utiliser la macro «Droite du faisceau par un point» pour construire la version hyperbolique de ce point
. (horizon, droite, droite, point)

Intersection de deux faisceaux

Dans la figure suivante, on dispose d’un ensemble de macros, sous forme de 4 dossiers, dont celui sur les faisceaux, avec 3 macros, dont celle sur l’intersection de deux faisceaux.

A priori deux faisceaux n’ont pas toujours une droite d’intersection, et s’ils en ont une, elle est unique. La macro attends 5 objets, le cercle horizon, puis deux cercles (droites hyperboliques) pour le premier faisceau et deux autres pour le second faisceau. Dans la figure à l’ouverture, la droite rouge est l’intersection du faisceau vert avec le faisceau mauve. Commencer par le vérifier, au moins sur le cas où les faisceaux deviennent à centre.

Construire ensuite la seconde intersection possible entre deux autres faisceaux. La troisième possibilité de faisceaux, , comme \((CD),(MN)\) et \((AB),(PQ)\) ne peut pas avoir d’intersection.

On peut ensuite ajouter, en vert ci-contre, les perpendiculaires communes, justement, aux deux faisceaux mentionnés ci-dessus.

Essayer de faire coïncider les deux intersections des droites rouges et vertes.
Quelle serait figure euclidienne si les faisceaux sont tous à centre et les intersections confondues ?

Hauteurs d’un trilatère et application

Dans la figure suivante on dispose d’un trilatère, et de la hauteur (rose) du trilatère, issue de deux droites (les deux marrons) orthogonale à la troisième (bleue).

La macro utilisée (nommée ci-dessus Hauteur de faisceau ffd) attend 4 cercles, soit, dans l’ordre, l’horizon, les deux droites qui définissent le faisceau (ff) et la troisième droite (d) dont on veut la perpendiculaire appartenant au faisceau ff.

Manipulations proposées :
1. Construire ainsi les deux autres hauteurs du trilatère. Dans cette configuration, les hauteurs existent toutes les trois, et sont sécantes. On constate qu’elles sont en faisceau à centre
2. Déplacer les points de base pour que les hauteurs ne soient pas concourantes. Une hauteur peut ne pas exister, mais quand elles existent toutes les trois, l’axiomatique de Bachmann montre qu’elles sont en faisceau (et donc ici en faisceau à axe). Vous pouvez éventuellement le vérifier en prenant les perpendiculaires communes des hauteurs, deux à deux.

Le triangle orthique d’un trilatère

Quand une hauteur existe, le pied de la hauteur existe aussi. Donc si les trois hauteurs d’un trilatère existent, le triangle orthique, c’est-à-dire le triangle du pied des hauteurs aussi. Dans le cadre euclidien, c’est un exercice classique que de voir que l’orthocentre d’un triangle – dans certaines conditions d’angles, il faut qu’il soit à l’intérieur du triangle – est le centre du cercle inscrit du triangle orthique.
Cela signifie aussi que les hauteurs du triangle \(ABC\) sont les bissectrices du triangle des pieds des hauteurs \(IJK\).
Sans les conditions d’angles, quand l’orthocentre est extérieur au triangle, il est alors le centre d’un cercle exinscrit au triangle orthique.
Cette propriété qui se démontre souvent avec des outils typiquement euclidiens (produit scalaire, aire) est en fait une propriété absolue, vraie aussi sur les trilatères, qui se démontre facilement.
Mais bien entendu la propriété est, encore une fois, bien plus riche avec les trilatères.

GalerieTRorthique1
GalerieTRorthique2
GalerieTRorthique3
GalerieTRorthique4
GalerieTRorthique5
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La galerie ci-dessus présente cinq illustration d’explorations
que l’on peut réaliser avec la figure suivante.

D’un point de vue théorique, ces configurations a priori si différentes sont des instances de la même situation : il n’y a qu’une preuve bien entendu.

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