Le travail de Hilbert, dans ses fondements de la géométrie (1899) est à l’origine d’une réflexion en profondeur sur la démarche axiomatique, de la géométrie en particulier. La définition des objets premiers de la géométrie a toujours posé problème. C’est seulement à partir de 1920, avec Geiger, que l’axiomatique s’est totalement débarrassée de ses implicites perceptifs, et en particulier de l’incidence comme appartenance. Désormais, ce que l’on entend par les mots premiers (points, droites, incidence) relève d’une interprétation d’un système d’axiomes quand on fait correspondre aux mots premiers du système des objets mathématiques. On dit alors qu’une interprétation est un modèle quand tous les axiomes sont satisfaits.
Dans tout modèle d’un système d’axiomes, tout théorème déduit des axiomes est vrai et donc par contraposée, on a cette remarque élémentaire, mais efficace :
Si un énoncé est faux dans un modèle, alors il ne peut pas être démontré à partir des axiomes.
Par exemple, si, dans un modèle hyperbolique, on constate que \(O, G\) et \(H\) ne sont pas alignés, c’est que, hyperboliquement, la droite d’Euler n’existe pas. Mais bien entendu, si on constate que les médianes sont toujours concourantes dans un modèle, cela ne prouve rien pour la théorie. C’est juste l’illustration d’une propriété, si on sait par ailleurs qu’elle est vraie.
La question cruciale est celle de l’incidence. Si on veut une axiomatique qui puisse traiter de géométries aussi éloignées que l’elliptique et l’hyperbolique, il faut sortir de l’appartenance (car le pôle d’une droite n’appartient pas à la droite mais lui est pourtant incident). L’incidence est désormais une relation entre l’ensemble des points et celui des droites, autrement dit une partie de leur produit cartésien. Axiomatiquement, une droite n’est pas nécessairement un ensemble de points, même si cela reste le plus souvent le cas. On en reparlera plus précisément dans le menu Ell sur la géométrie elliptique.
Présentation des items du menu
Dans les items suivants de ce menu, on aborde la notion de modèles de manière surprenante, tout en restant élémentaire, car nous allons voir deux modèles bornés de la géométrie plane euclidienne standard.
Modèle DE (pour Disque Euclidien). Trois items du menu sont consacré à cet item. Le troisième décrit une analyse « absolue » de la construction euclidienne du problème de Malfatti. Ce sera un fil rouge de ces menus. On reprendra la construction dans le cas hyperbolique, avec les trilatères et même sur la pseudosphère.
Modèle 3D borné : la sphère épointée
Ce choix est motivé par le fait que ces modèles interviennent dans les modèles non euclidiens (horisphère de Lobatchevsky et Bolyaï). Ce sera l’occasion de parler de quelques notions qui serviront ultérieurement dans les géométries non euclidiennes.
Les deux derniers items de ce menu sont consacrés aux géométries finies
Quelques configurations finies propose des manipulations dynamiques en géométrie finie sur les configurations de Pappus, de Desargues et prépare l’item suivant
STS(13) – Géométrie hyperbolique finie est le seul item de ce menu à aborder un modèle hyperbolique. Avant cela, on traite de STS(9) qui est un modèle du plan euclidien d’ordre 3 (9 points 12 droites), le plus petit plan euclidien possible. Pour ces deux systèmes, on propose plusieurs figures dynamiques.