Les pages des premiers menus de ce site (DP, ELL, puis PS et PSH) sont construites autour de l’approche historique des géométries non euclidiennes, c’est-à-dire autour du questionnement sur l’axiome d’Euclide relatif aux droites parallèles. Les pages du menu NonArg traitent des propriétés des géométries non arguésiennes, soit cette fois de géométries qui, elles, vérifient l’axiome d’Euclide.
Par contre, dans l’approche de Daniel Perrin, on a vu, au contraire, que la notion de droites parallèles est absente. Daniel Perrin précise même :
Mon opinion, en effet, est que cette notion de parallèle, contrairement à ce que semblerait indiquer l’histoire, n’est pas fondamentale en géométrie non euclidienne. Pour une fois, l’histoire, à mon avis, ne fait que masquer la véritable nature des choses. Nous verrons en revanche dans la Partie V, que même avec l’entrée par la géométrie projective et les formes quadratiques que j’ai choisie, la notion de parallélisme est absolument fondamentale en géométrie euclidienne. C’est sans doute cette importance des parallèles dans le cadre euclidien et la prégnance de ce cadre sur nos habitudes de pensée qui expliquent qu’aujourd’hui encore, on mette en avant le problème des parallèles dans toute présentation des géométries non euclidiennes. J’annonce tout de suite que cela ne sera pas ma position, préférant une entrée par la géométrie projective et les formes quadratiques dont j’espère que le lecteur pourra apprécier la pertinence.
Daniel Perrin – Partie 4 consacrée aux GNE (page 3) de ce livre
La remarquable efficacité de cette démarche, plusieurs fois mise en valeurs dans cette série d’articles, tient au fait qu’il caractérise la différence entre la géométrie euclidienne et les géométries hyperbolique et elliptique par cette propriété que la première est associée à une forme quadratique dégénérée alors que les deux autres le sont à des formes non dégénérées.
Dans ce menu, on s’intéresse à une troisième approche, qui est aussi la continuité d’une tradition historique, et dans laquelle on ne parlera pas non plus de droites parallèles. C’est une approche axiomatique algébrique. Axiomatique au sens – entre autres – où le corps de nombres obtenu est issu des axiomes de la géométrie, et algébrique au sens où elle s’inscrit dans la continuité de Klein avec l’étude des invariants par un groupe de transformations (programme d’Erlangen – 1872). Pour présenter brièvement cette approche, on peut dire qu’avec Klein, il y avait un groupe qui opérait à la fois sur un ensemble de points, et sur des ensembles particuliers de points que sont les droites. La tradition dont on parle plus haut est celle de cette démarche algébrique qui a recherché, pour des raisons de logique axiomatique, une plus grande auto-référence. Dans son axiomatique, Bachmann supprime l’ensemble … des points … et celui des droites : il ne reste qu’un groupe opérant par conjugaison sur une de ses parties.
Le calcul sur les réflexions dans le cadre de la théorie des groupes ouvre un domaine dans lequel on a la possibilité de calculer avec des objets géométriques et de bénéficier ainsi d’un nouvel outil pour la preuve des théorèmes de géométrie.
Dans ce calcul avec les objets géométriques, indépendant de tout système de nombres et de toute notion de repère, on peut voir un pas vers la réalisation du programme que Leibniz a élaboré à partir de la géométrie analytique de Descartes.
Friedrich Bachmann – Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff– 1959
... qui a recherché …
En effet, en mathématiques, comme projet de société affranchi des limites temporelles de l’expérience humaine, on peut dire, d’une manière générale, que toutes les branches ont une fin programmée : si elles y parviennent – ce qui n’est pas toujours le cas – leur aboutissement ultime est en même temps leur mort au niveau de la recherche : c’est au moment où tout est parfaitement décrit que la motivation des chercheurs s’estompe et que ceux-ci se tournent vers d’autres problématiques, laissant le soin de poursuivre et de reprendre à ceux que les historiens appellent les « commentateurs ».
L’axiomatique de Bachmann en est un parfait exemple : arrivée à maturité en 1959, elle est l’aboutissement ultime de l’approche algébrique que Klein avait mise en place en 1872. Mais, après une période de foisonnement autour des fondements de la géométrie – l’école de Hilbert (1899) – après les lettres de noblesse données aux géométries non euclidiennes par Poincaré (1901), elle arrive trop tard dans la structuration des savoirs pour avoir un véritable impact, au point qu’elle passe pour ainsi dire inaperçue en dehors de l’Allemagne, en particulier en France où elle est à peu près inconnue.
Sur l’axiomatisation de la géométrie
La question de l’axiomatisation de la géométrie interroge chacun, aussi bien sur la démarche axiomatique, que sur le sens que nous donnons à la géométrie, et dans leurs rapports croisés (quelle relation à l’expérience de l’espace) jusque sur nos propre représentation de la construction des nombres.
Tous les points de vue possibles, du formalisme le plus strict, à l’intuitionniste le plus militant, se sont exprimés sur ces sujets, avec les arguments les plus variés d’essence mathématique ou de nature philosophique. Dans cette section, nous nous proposons de rappeler – bien entendu à grands traits – quelques-uns des regards essentiels proposés soit par des mathématiciens, soit par des philosophes.
Avec Hilbert arrive la première tentative d’axiomatisation de la géométrie euclidienne. Pour Hilbert il s’agissait de mettre en pratique, sur l’exemple de la géométrie, son projet formaliste. Si le travail axiomatique (indépendance des groupes d’axiomes, causalité, catégoricité de la théorie construite) et le foisonnement des recherches (géométrie non legendrienne, géométrie semi-euclidienne) sont considérables à l’époque autour des fondements de la géométrie, il reste, avec le recul historique, que la démarche ne sortait pas malgré tout cela, d’un certain empirisme, en particulier parce que l’incidence et la congruence sont données a priori, et, en dernière analyse, encore fondées sur l’intuition de l’espace.
« Pour Hilbert, et pour tous les mathématiciens semble-t-il, l’énoncé des axiomes de la géométrie se fonde sur les propriétés intuitives des points, droites etc.. On pourrait dire que c’est la position d’Euclide et interpréter en partie, l’histoire des débats sur les fondements de la géométrie comme l’histoire d’une défiance de plus en plus grande vis-à- vis des vérités appuyées sur l’intuition de l’espace, mais qui aboutit à la constatation qu’on ne peut pas s’en passer totalement. »
Gilbert Arsac – « Axiomatique de Hilbert » – Édition Aléas.(IREM de Lyon)
C’est aussi la position de Poincaré qui, à l’opposé de Hilbert, est l’un des premiers mathématiciens à s’inscrire résolument dans une voie intuitionniste:
« C’est par la logique qu’on démontre, c’est par l’intuition qu’on invente.[…] La faculté qui nous apprend à voir c’est l’intuition ;[…] sans elle, le géomètre serait comme un écrivain ferré sur la grammaire, mais qui n’aurait pas d’idée. »
Henri Poincaré – Science et Méthode (1908) – Edition Flamarion – p. 137
Pour lui, seule la perception du mouvement fonde l’expérience que l’on a de l’espace et des objets dans l’espace. Il précise qu’une axiomatique fondée sur la congruence doit incorporer d’une façon ou d’une autre le mouvement :
« …deux figures sont égales quand on peut les superposer ; pour les superposer il faut déplacer l’une d’elle jusqu’à ce qu’elle coïncide avec l’autre, mais comment faut-il la déplacer ? Si nous le demandions, on nous répondrait sans doute qu’on doit le faire sans la déformer à la façon d’un solide invariable. Le cercle vicieux serait alors évident. […]
Cependant toute imparfaite qu’elle soit, cette définition implique un axiome. La possibilité du mouvement d’une figure invariable n’est pas une vérité évidente par elle- même, ou du moins elle ne l’est qu’à la façon du postulatum d’Euclide et non comme le serait un jugement analytique a priori. D’ailleurs en étudiant les définitions et les démonstrations de la géométrie, on voit qu’on est obligé d’admettre, sans les démontrer, non seulement la possibilité de ce mouvement, mais encore quelques-unes de ses propriétés. »
Henri Poincaré – La Science de l’hypothèse (1906) – Ed. Champ Flamarion (1968) p 71.
D’autres mathématiciens, impliqués, comme Hilbert, dans une démarche axiomatique font une critique différente et proposent, dès 1905, des prémisses axiomatiques basées sur les symétries orthogonales. C’est en particulier le cas de Hjelmslev qui est le premier à développer, en 1907, à partir des pinceaux de droites (et l’étude de la composition de trois symétries), une théorie qui contient le cas hyperbolique, dans laquelle, grâce à la notion de demi-rotation, il reconstruit le plongement projectif du plan hyperbolique.
Toute une somme de travaux passionnants est entreprise autour des fondements de la géométrie, tout au long des premières éditions de l’ouvrage de Hilbert. On a déjà réalisé de nombreuses figures dans des modèles de géométries non arguésiennes, dont le plan de Moulton. Bachmann lui-même participa au texte de la VII° édition (la dernière du vivant de Hilbert) en 1930 en approfondissant la question des axiomes de continuité. Il est ainsi parvenu à l’énoncé d’un axiome dit d’intégrité linéaire pour que l’axiome d’intégrité des éditions précédente puisse devenir un théorème dans cette édition(*). Dans la version définitive de sa propre axiomatique, la continuité n’est pas un axiome chez Bachmann, mais son propos n’est pas, comme Hilbert, de retrouver la géométrie euclidienne et le corps des réels. La question de la continuité, et son lien à l’archimédie a été très présente chez Hilbert. Il a lui même élaboré une géométrie hyperbolique sans les axiomes de continuité.
(*) Cité par Paul Rossier dans son édition critique des « fondements de la géométrie » de Hilbert – p 41. Dans les présentations actuelles de l’axiomatique de Hilbert, cet axiome est souvent remplacé par la propriété des intervalles emboîtés de Dedeking, ce qui permet d’arriver plus rapidement aux résultats voulus
Si, d’une manière générale ces travaux des deux premières décennies du XX° siècle, approfondissent de plus en plus finement les liens, les causalités et d’une manière générale les dépendances entre les axiomes ou l’expression de diverses notions, ils participent également, par la recherche d’une expression formelle – en particulier sous l’impulsion de Hilbert avec ses deux premiers problèmes de la conférence de 1900 (hypothèse du continu et non contradiction de l’arithmétique) – à l’élaboration d’une axiomatique au sens où nous l’entendons maintenant, avec des axiomes totalement indépendants des expériences sensibles, les notions d’interprétation des axiomes et de modèle.
Il a fallu attendre 1924 pour que le formalisme naissant propose une première axiomatique de la géométrie (euclidienne). La nouveauté logique introduite alors par Geiger est de travailler sur deux ensembles d’objets indépendants, et de définir une relation entre ces objets : concrètement on considère un ensemble \(\Gamma\) de points, un ensemble \(\Delta\)de droites et une relation \(\mathfrak{I}\) qui exprime la correspondance que peuvent avoir un point et une droite. La relation \(\mathfrak{I}\) est définie sur le produit cartésien \(\Gamma \times \Delta\) ; elle correspond à l’incidence usuelle.
La relation d’incidence définie sur un produit cartésien d’ensemble donne une symétrie naturelle à l’incidence, symétrie bien entendu présente à l’esprit de chacun dans tout système d’axiomes, mais généralement exprimée de manière dissymétrique puisque l’incidence est décrite par des termes différents selon qu’on lise \( A \; \mathfrak{I} \; d\) : un point « appartient » à une droite, ou « est sur » une droite, alors qu’une droite « passe par » ou « contient » un point quand on exprime oralement \( d \; \mathfrak{I} \; A\). Dans ce contexte, une géométrie est dit « métrique » si, en plus de la relation d’incidence sur \(\Gamma \times \Delta\), on dispose aussi d’une relation d’orthogonalité sur \(\Delta \times \Delta\).
Au-delà de la seule démarche axiomatique, l’activité autour du formalisme en général est très riche, en particulier avec les travaux de Russel et de Whitehead et leur propre école de logicisme. La rencontre entre les deux démarches ne pouvait que se faire rapidement, et a atteint très rapidement les sommets que l’on sait : avec Ackermann, en 1928, Hilbert soulève cette question :
« Étant donné un système formel, avec un langage, des axiomes, des règles de déduction et une notion d’interprétation dans des structures mathématiques, toute assertion vérifiée dans toute interprétation est-elle formellement déductible des axiomes ? »
Gödel s’empare de la question et y répond par l’affirmative (théorème de complétude des prédicats) en 1929 puis il montra deux ans plus tard ses deux fameux théorèmes d’incomplétude qui répondent, eux, par la négative, au problème n° 2 de Hilbert : il n’est pas possible à une théorie qui contient l’arithmétique de prouver en elle-même sa propre non-contradiction.
Si ces résultats fondamentaux, tout en ouvrant de nouvelles recherches en logique, signent la fin du projet de Hilbert de concevoir le formalisme comme mode de pensée auto-référent des mathématiques, elles n’affectent en rien les problématiques de l’axiomatique pour elle-même. Tout au plus celles-ci sont elles plus recentrées sur leurs objets propres et ne cherchent-elles plus une consistance interne ou des équivalents. Si, depuis Poincaré, puis ensuite avec Brouwer, le débat est largement ouvert et parfois âprement discuté, en particulier entre «écoles dédiées», d’une manière générale, l’activité mathématique dépasse sans difficulté cette dualité entre « formalisme » et « intuitionnisme », et s’installe de fait dans une attitude plus distanciée par rapport aux écoles, attitude que l’on pourrait résumer par cette position de Cassier qui écrivait en 1916 :
« Le formalisme est l’instrument indispensable pour la logique du déjà connu, mais par contre il se révèle par le principe de la découverte scientifique. […] Le formalisme est un moyen incomparable pour « discipliner » la raison mathématique, mais il ne peut, pour son propre compte, en expliquer l’existence et la légitimer en un sens transcendantal »
Cassier « La philosophie des Formes symboliques » Tome III. Trad. C. Fronty – Paris, Minuit 1972 p 427. L’édition originale date de 1929.
C’est dans cet esprit que nous allons aborder l’axiomatique de Bachmann, comme une mise en relation formelle du « déjà connu ». Avant de présenter ses axiomes, Bachmann nous propose sa lecture algébrique des prémisses de la géométrie euclidienne : quels sont les ressorts algébriques de l’orthogonalité, de l’incidence ? Cette lecture préliminaire participe du processus d’axiomatisation, mais, dirions-nous, à un second degré. Quand on examine les ouvrages d’enseignement supérieur (premier cycle) qui nous présentent l’axiomatique de Hilbert (où une variante) on voit souvent en préambule, une présentation au premier degré, à savoir une lecture de l’espace euclidien tel que nous le percevons. L’une de ces introductions les plus caractéristiques est peut-être la présentation des origines empiriques de la congruence par Bela Kerekjarto, dans laquelle l’ordre y est relié au temps, comme chez Kant, alors que d’autres présentations se réfèrent aussi explicitement au mouvement sans notion de temps.
« Les bases empiriques de la géométrie sont fournies par l’examen des mouvements des corps rigides. Après être arrivé par abstraction à la notion de « point », on voit que lorsqu’un corps rigide est fixé en deux points, il y a certains points qui restent à leur place lors de tous les mouvements encore possibles du corps ; l’ensemble de ces deux points forme une « droite ». Si le corps est fixé par deux points d’une droite, les points de la droite en question, et eux seuls, restent à leur place ; ce qui peut s’exprimer de la façon suivante : deux points quelconques déterminent une droite et cette droite est déterminée par n’importe lequel de deux de ses points.
En faisant continuellement tourner le corps rigide autour d’une de ses droites, tous les points du corps reviennent après une certaine rotation à leur place initiale ; cette rotation est nommée rotation complète autour de la dite droite. Une rotation dont la répétition donne une rotation complète est appelée demi-rotation. Certaines droites se transforment elles-mêmes après avoir effectué une demi-rotation autour d’une droite : ce sont des droites perpendiculaires à notre droite. Par une rotation complète autour d’une droite, toute droite perpendiculaire à la droite fixée décrit un « plan ». L’arrangement des points sur la droite est conforme à l’ordre de succession dans le temps selon lequel un point, en décrivant la droite, les parcourt.
Nous passons de la notion de corps rigide à celle de figure géométrique en faisant abstraction de la matière du corps et en ne considérant que la place occupée par elle dans l’espace. Deux figures seront nommées congruentes si l’une peut être superposée à l’autre par un certain mouvement (déplacement). Deux mouvements successifs peuvent être remplacés par un seul mouvement : il s’en suit que lorsqu’une figure est congruente à une autre et celle-ci à une troisième, la première figure est aussi congruente à la troisième »
Bela Kerekjarto – « Les fondements de la géométrie » – Gauthier-Villars – 1969. (Édition originale en 1937).
Nous voyons bien, dans les démarches aussi opposées que celles de Kerekjarto et de Bachmann, les différents degrés du processus d’axiomatisation comme il est par exemple décrit par Gonseth.
« S’il [Le géométrique] naît de l’intuitif par un acte de schématisation qui est déjà une axiomatisation, il est ensuite axiomatisé par ce nouvel acte de schématisation qui en dégage la structure logique profonde. Autant dans le premier acte que dans le deuxième, l’abstraction comporte une perte de détermination et de capacité représentative de la totalité, qui est en même temps un gain de capacité représentative d’un ou plusieurs aspects du concret. Le deuxième acte est en particulier marqué par une perte de substance des notions mathématiques dégagées lors du premier acte, une perte de « tout ce qui rappelle leur signification dans le monde des phénomènes directement perçus par nos sens ». Dans la double axiomatisation dont surgit la géométrie axiomatique, la première conserve ainsi les formes particulières des phénomènes, tandis que la deuxième ne conserve que la structure logique des rapports entre ces formes. Pourtant ce qui reste de particulier après la première axiomatisation « consiste avant tout dans le souvenir des réalisations où les notions ont été primitivement aperçues » de sorte que, si « l’idée du géométrique a sa source dans l’intuitif, […] sa sphère d’existence spécifique est comprise entre la première axiomatisation qui lui faisait un visage abstrait face au côté intuitif de notre connaissance et la seconde qui en fait un concret face au côté purement logique ».
« Les philosophes et les mathématiques »ouvrage collectif coordonné par E. Barbin et M. Caveing – Ellipse & IREM – 1996. Monographie consacrée à Gonseth, par Marco Panza p 270. Les citation de Gonseth sont celles de son ouvrage « Les mathématiques et la réalité. Essai sur l’axiomatique ». Paris – Alcan – 1936.
Un enseignant, un praticien de la géométrie est nécessairement sensible à cette description où l’existence spécifique du géométrique est quelque part entre les deux axiomatisations, et c’est même l’ambiguïté des programmes de géométrie dans le secondaire qui est décrite ici.
Si la présentation de Kerekjarto s’inscrit dans la première axiomatisation, nous allons, dans ce menu, en voir une autre qui s’inscrit dans la seconde. Et surtout, nous allons expérimenter en quoi les manipulations dynamiques que nous faisions alors dans les modèles vus dans les menus précédents vont passer de la première axiomatisation, (« le visage abstrait » comme modèle de ces géométries), en soi, mais aussi par les propres orientations de cet site, par exemple en privilégiant une approche perceptive des lecteurs sur ces modèles, à la seconde ou tout ceci bascule dans une représentation concrète de l’algébrisation de ces concepts comme la pratique Bachmann.
Les pages de ce menu
Ce menu est organisé en deux parties de démarche assez différente. Dans la première partie, on présente les démonstrations de Bachmann sur les début de son axiomatique. Dans la seconde partie, on a une approche simplement culturelle des thèmes abordés.
Introduction : lecture algébrique de l’orthogonalité, de l’incidence, des propriétés des symétries orthogonales. Remarques sur l’incidence. Notations utilisées dans les pages suivantes
Axiomes : les 5 axiomes de l’axiomatique. Droites en pinceau et pinceau de droites. Les conséquences immédiates sous forme de 9 théorèmes.
Théorème de Hjelmslev : premiers théorèmes sur les pinceaux et application à la transitivité des pinceaux.
Pinceaux remarquables du triangle ou des trilatères : médiatrices, bissectrices, hauteurs, isogonalité.
Séparation des géométries : on introduit de nouveaux axiomes pour dégager les trois principales géométries : elliptique, euclidienne, et hyperbolique. Le cas euclidien est intéressant pour voir comment introduire la notion de droites parallèles dans un contexte si éloigné de l’affine où l’on ne connait que l’orthogonalité. On y présente aussi une figure caractéristique de la géométrie hyperbolique. C’est une page passionnante présentée de manière non technique.
Antiappariement et applications : le théorème d’antiappariement d’Hessenberg permet de traiter le pinceau des médianes. On aborde ensuite le théorème de Brianchon et son dual, celui de Pappus sur ces nouveaux objets que sont les pinceaux : on sait ce que Pappus apporte au corps des nombres associé à une géométrie.
__________________
La seconde partie de ce menu est plus conceptuelle que les premières pages. Dans une première livraison, on propose trois pages sur le plongement projectif. Cet objectif de « plongement projectif » est, en général, éloigné de notre culture géométrique actuelle. On le considèrera plutôt d’un point de vue historique. C’est la raison pour laquelle on a choisi une présentation uniquement culturelle, accompagnée de nombreuses illustrations et figures dynamiques à manipuler. La démarche est pourtant passionnante et largement abordable.
Plongement projectif (1/3) – Les demi-rotations et leurs images d’un pinceau : cette première page présente les outils préliminaires, largement illustré dans le modèle du disque de Poincaré.
Plongement projectif (2/3) – les droites idéales : on poursuit les concepts de Bachmann pour arriver au plan projectif d’incidence. Puisque nous ne reprenons pas le contenu mathématique lui-même (les preuves), on prend au contraire le temps d’explorer dynamiquement ce que sont ces concepts dans le plongement du disque de Poincaré. Même si le contenu est toujours éloigné de nos préoccupations, cela reste passionnant de suivre ce cheminement en manipulant les figures.
Plongement projectif (3/3) – Polarité et structure projective et métrique : cette dernière page achève la présentation de la démarche de Bachmann par l’ajout de cette polarité « absolue ». Cette page commence par une construction plus générale sur les droites idéales, pour être plus efficace dans les illustrations suivantes. Puis, on présente les définitions générales sur la polarité même si les illustrations hyperboliques ne peuvent être que « très classiques » … Là encore même si cette problématique est loin de nos préoccupations géométriques, cette page présente des figures intéressantes à découvrir.
Les sources utilisées pour ce menu
Deux éditions de l’ouvrage de référence Bachmann : 1959 et 1973. Les références des pages présentes parfois dans les pages de ce menu sont celles de l’édition initiale de 1959.
BACHMANN Frederich – Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff – Springer
Consulter le livre en ligne (version 1973)
Liste des étudiants ayant produit une thèse sous sa direction
BEHNKE, BACHMANN, FLADT, KUNLE (1974) – Fundamentals of Mathematics – Volume 2 Geometry – MIT Press (en anglais, original allemand publié de 1967 à 1971). Ouvrage de référence majeur, les chapitres 2 et 5 ont été écrits par Bachmann, en particulier pp 123-173.
MIRON Radu, BRANZEI Dan (1995) – Backgrounds of Arithmetic and Geometry – An Introduction – World Scientific (chapitre sur l’axiomatique de Bachmann : théorème de Hjelmselv et cocyclicité, bibliographie de 579 livres ou articles)
HENLE Machaël (1997) – Modern geometries – The analytic approach – Prentice Hall
(Quelques pages sur Bachmann)
REINHARDT Fritz, SOEDER Heinrich (1997) – Atlas des Mathématiques – La Pochothèque . Quelques pages d’introduction à la géométrie par l’axiomatique de Bachmann … en français (pp 133-143).