Cet article est centré sur des calculs trigonométriques pour aboutir à la démonstration du théorème de Engel, celui-ci servant ensuite, dans un autre article, à la construction géométriques de triangles d’angles donnés. Rappels sur la trigonométrie hyperbolique Ces formules ont été présentées dans ce premier article sur le manuscrit de Lire la suite…
Cet article présente quelques résultats théoriques supplémentaires, dont des géométries euclidiennes sans carrés, les géométries finies de Bachmann, ou encore une géométrie avec quatre types de pinceaux différents. La lecture de cet article suppose que l’on ait lu la partie sur la séparation des géométries et parcouru, même un peu Lire la suite…
On se propose de montrer – de manière absolue, c’est-à-dire pour les géométries hyperbolique, euclidienne et elliptique – une propriété des milieux des sommets d’un triangle vis à vis des points de contact du cercle inscrit et des cycles exinscrits avec les droites du triangle, dont voici une illustration hyperbolique. Lire la suite…
On s’est déjà intéressé aux triangles hyperboliques ayant trois horicycles exinscrits. On se propose ici de calculer les différentes longueurs intervenant dans cette figure. On va effectuer ce calcul dans le modèle du disque de Klein-Beltrami. Comme les distances des différents modèles sont proportionnelles, le calcul est, finalement, générique. Le Lire la suite…
La différence entre KH et le plongement de DP (disque de Poincaré) au sens de Bachmann est seulement à l’intérieur du cercle horizon. On peut en particulier appliquer des macros de KH sur les droites idéales de Bachmann. C’est ce que l’on se propose de faire ici. Cet article comprend Lire la suite…
Après les pavages réguliers constructibles, puis les pavages orthogonaux non réguliers, cette page s’intéresse à des pavages réguliers qui n’ont plus des cercles comme support, mais des horicyles. Le principe de la construction La construction est élémentaire, totalement géométrique et sans calculs. C’est surtout pour une certaine esthétique propre à Lire la suite…
Après avoir abordé les classiques pavages réguliers hyperboliques dans un article consacré aux cercles de pavage, nous poursuivons l’illustration des pavages hyperboliques par des objets moins réguliers, et dans un premier temps, par la construction la plus simple qu’il soit, celle de polygones orthogonaux c’est-à-dire des polygones n’ayant que des Lire la suite…
Dans différentes pages des menus, celle sur les pavages dans DP, mais aussi dans plusieurs pages du menu PSH, sur les pavages (comme P54_P45 ou P38_P83 entre autres) on a plusieurs fois renvoyé à un futur article sur les constructions préliminaires aux pavages : la construction des cercles de pavage. Lire la suite…
Après avoir illustré la première partie du mémoire de Janos Bolyaï, nous abordons maintenant la partie consacrée à la constructibilité des segments, et à la quadrature du cercle en géométrie hyperbolique. Il est le seul à son époque à s’intéresser à cette question, et son résultat est largement passé inaperçu Lire la suite…
Après plusieurs articles sur la présentation unificatrice des géométries hyperbolique et elliptique de Daniel Perrin, nous reprenons une approche plus classique, historique, des géométries non euclidiennes, explicitement construites autour de la notion de droites parallèles. Historiquement, la géométrie hyperbolique a été découverte pratiquement à la même date par Lobatchevsky et Lire la suite…