On poursuit la problématique du régionnement du plan selon l’orthogonalité vis à vis d’une H-droite coupant l’ellipse. Dans :
• La première page, on a mis en évidence la frontière des régions 2H-2H1E, puis dégagé la propriété que cette frontière ne dépendait que d’une pente de droite, nommée \(m\), et donc, construit des H-droites à partir de ce paramètre \(m\) et d’un coefficient \(kCtr\) qui permet de balayer dans l’ellipse toutes les droites associées à ce coefficient \(m\).
• La deuxième page a abordé l’émergence des points de rebroussement en fonction du paramètre \(m\), et détaillé, par des zooms de la figure, les différentes régions possibles à l’intérieur des différents points de rebroussements, en particulier la distinction entre les micro-régions 3H1E et 3H.
Cette troisième page aborde donc désormais le remplissage complet du plan en ajoutant 4 régions manquantes, les régions 1H, 1E, 1H1E et 0P (aucune perpendiculaire). La situation générale (pour une enveloppe lisse, avec 6 régions différentes) peut se présenter ainsi :
Présentation des différentes régions associées à l’orthogonalité vis à vis de la droite (Ph Qb).
Ici, \(I\) est dans la région 2H1E, on voit les deux perpendiculaires hilbertiennes et celle euclidienne.
Illustrations avec \(I\) variable, \(m\) fixe, \(kCtr\) variable – 6 illustrations
Dans cette galerie, \(m\) est fixe, et tel que l’enveloppe 2H est lisse. Le curseur \(kCtr\) va de 0,003 à 0,981 ce qui permet de faire balayer à la droite (avec le même coefficient \(m\) toute l’ellipse, de son sommet gauche (-1,0) à son sommet droit (1,0). On l’a déjà dit, c’est tout l’intérêt de cette approche par \(m, \,kCtr\).
Illustrations avec les points de rebroussement actifs
Après l’enveloppe lisse, voici des cas où l’enveloppe est bornée, avec \(I\) sur les points de rebroussement, pour voir les trois pieds des perpendiculaires confondus, avec, comme déjà expliqué à la page précédente, la distance pas tout à fait nulle entre les deux pieds des perpendiculaires confondus (ci-dessous \(Hh_2\) et \(Hh_3\)) et le troisième (\(Hh_1\)), à \(10^{-5}\), car le point de rebroussement est approché.
Un premier point de rebroussement à droite (avec \(m>0\))
Illustrations du point de rebroussement à gauche, pour cinq valeurs de \(m\)
Quelques exemples pour des valeurs de \(m\), d’abord deux négatives, puis trois positives, la dernière étant à la frontière du point de rebroussement à gauche. On observera la précision, sur les distances des pieds. En général \(kCtr\) est proche de 0,9 car c’est la valeur autour de laquelle les parties 2H et 3H sont les plus grandes, mais à l’illustration 4, on a mis \(kCtr\) proche du maximum, ce qui rend la droite très proche du sommet et les trois perpendiculaires presque confondues avec \(Q_b\).
Illustrations pour des situations à deux points de rebroussement
Voici maintenant diverses configurations où les deux points de rebroussement admettent encore chacun trois perpendiculaires à \((P_hQ_b)\). On présente les configurations par \(m\) croissant. Dans chaque cas, on place \(I\) sur les deux « cusps ». On remarquera que, pour \(I\) sur \(Cusp_1\), la précision entre les deux pieds confondus et le troisième pied, est bien plus précise qu’avec \(Cusp_2\), avec un facteur de précision de l’ordre de 10, et même 20 dans le premier cas, car \(kCtr\) est plus grand.
Manipulation de la figure dynamique
Voici la figure générique, pour tester les différentes configurations illustrées ci-dessus. N’hésitez pas à zoomer pour retrouver l’intérieur des points de rebroussement, comme explosé à la page précédente.
Comment zoomer :
• dans une page web, plus précisément dans une iframe comme ci-dessous, il faut écarter deux doigts sur le trackpad.
• mais, directement dans le navigateur, au sens de directement dans le logiciel, il faut glisser deux doigts joints et le zoom est bien plus rapide.
Modifier les curseurs, déplacer la conique et surtout zoomer sur les points de rebroussement.
Attention à ne pas perdre le point I pour tester les perpendiculaires quand vous zoomez.
En pratique pour zoomer dans l’iframe, il vaut mieux utiliser des doigts des deux mains.
Préférer ouvrir cette figure dans un nouvel onglet (pour zoomer bien plus facilement)