Soit une H-droite \((AB)\) coupant l’ellipse du modèle, on cherche à partitionner le plan en régions en fonction du nombre de droites perpendiculaires à \((AB)\) et de leurs types (hilbertienne ou euclidienne) que l’on peut mener depuis les points de ces régions.
Notations associées au régionnement
La droite \((AB)\) coupe l’ellipse en les points \(P_h\) et \(Q_b\). On note \(Ctr_{AB}\) le centre euclidien de la partie intérieure à l’ellipse de la droite, puis \(Ctr_{P_h}\) et \(Ctr_{Q_b}\) et les centres euclidiens des parties intérieures à l’ellipse des H-perpendiculaires à \((AB)\) en \(P_h\) et \(Q_b\). On construit ainsi les droites \((P_h\, P_{h2})\) et \((Q_b\, Q_{b2})\) les deux perpendiculaires hilbertiennes à \((AB)\) en \(P_h\) et \(Q_b\) (droites en bleu).
Il en résulte que toute H-perpendiculaire à \((AB)\) en un point de la droite entre \(P_h\) et \(Q_b\) a son centre euclidien entre \(Ctr_{P_h}\) et \(Ctr_{Q_b}\).
Puis on construit \((P_h\,P_{ho})\) et \((Q_b\,Q_{bo})\) les perpendiculaires euclidiennes à \((AB)\) en \(P_h\) et \(Q_b\) avec l’angle droit – extérieur à l’ellipse – en les points \(P_h\) et \(Q_b\) (droites en orange). Ainsi, par construction ces deux droites sont parallèles. On note alors :
• \(PhQb\) l’intersection des droites affines \((P_h\, P_{h2})\) et \((Q_b\, Q_{b2})\),
• \(PhQo\) l’intersection des droites affines \((P_h\, P_{h2})\) et \((Q_b\, Q_{bo})\), et
• \(PoQb\) l’intersection des droites affines \((P_h\, P_{ho})\) et \((Q_b\, Q_{b2})\).
• Il n’y a pas d’intersection \(PoQo\) car les deux droites associées sont parallèles.
Ces quatre droites et leurs trois intersections vont permettre de déterminer les principales régions recherchées. Nous allons explorer cela en ajoutant un point \(I\) et les H-perpendiculaires à \((AB)\) issues de ce point. et voir aussi que … ce n’est finalement peut-être pas aussi simple … Voici une première galerie de quelques configurations que l’on peut explorer dans la première figure.
Pour une configuration donnée, galerie de six cas du régionnement du plan selon le type et le nombre de perpendiculaires issues d’un point de la région.
Première figure dynamique d’exploration
Dans cette première figure, déplacer le point \(I\) pour voir l’effet général du franchissement
• des droites bleues \((P_h\, P_{h2})\) ou \((Q_b\, Q_{b2})\) : ± 1H (on ajoute ou on perd uneperpendiculaire hilbertienne)
• des droites oranges \((P_h\,P_{ho})\) et \((Q_b\,Q_{bo})\) : ± 1E, soit 0 ou 1 perpendiculaire euclidienne – car il ne peut y en avoir qu’au plus une –
avec cette nuance qu’il y a une région à préciser où il existe une partie, dite 2H, à deux perpendiculaires hilbertiennes, partie qui devient 2H1E (ajout de la perpendiculaire euclidienne) par le franchissement d’une des deux droites oranges.
à l’ouverture de la figure, le point \(I\) est placé dans une région – à préciser – de type 2H1E
On voit en particulier les pieds \(Hh_1\) et \(Hh_2\) (ou parfois \(Hh_3\)) des deux perpendiculaires hilbertienne et \(He\) celui de la perpendiculaire euclidienne.
Déplacer \(I\), et recommencer dans une autre configuration en agissant sur les points \(A\) et \(B\).
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Frontière de la région des deux perpendiculaires hilbertiennes
On s’intéresse désormais à cette frontière de la région où il y a deux perpendiculaires hilbertiennes. Quand la pente de la droite \((AB)\) est négative, elle est – généralement – sous la droite \((P_h\, P_{h2})\), et quand la pente de \((AB)\) est positive, elle est – là encore généralement – au dessus de la droite \((Q_b\, Q_{b2})\). Les détails techniques seront présentés dans une page de blog ultérieurement.
Cette frontière est l’enveloppe des perpendiculaires à \((AB)\) en un point de la droite à l’intérieur de l’ellipse, soit entre \(P_h\) et \(Q_b\), c’est-à-dire le lieu des points où deux perpendiculaires coïncident (\(Hh_1\)=\(Hh_2\) dans la figure ci-dessus à l’ouverture). C’est une caustique. En voici une première réalisation dynamique :
Premières explorations dynamiques de la frontière 2H
Il s’agit de la courbe marron. Dans un premier temps, observer que – pour cette configuration où la courbe est non bornée – faire franchir cette courbe au point \(I\) faire perdre, ou gagner, deux perpendiculaires hilbertiennes : à l’ouverture, descendre \(I\) en dessous de la courbe faite passer :
• à gauche de \((Q_b\, Q_{bo})\) de 2H à aucune perpendiculaire (on dira 0P)
• à droite de \((Q_b\, Q_{bo})\) de 2H1E à une perpendiculaire euclidienne seulement (soit 1E).
Remarquer aussi, c’est plus immédiat à gauche de \((Q_b\, Q_{bo})\), que \(I\) est aimanté par les points de construction de l’enveloppe, et qu’en ces points – par définition même de l’enveloppe, les deux perpendiculaires sont confondues (les deux pieds des hauteurs sont confondues).
Figure initiale pour exploration de l’enveloppe de la courbe. Modifier la droite en agissant sur \(A\) et \(B\)
pour arriver à une enveloppe non bornée pour une pente positive de \((AB)\), et explorer à nouveau cette situation.
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Introduction aux points de rebroussement
En manipulant la figure, pour passer d’une pente négative à une pente positive, vous êtes passé par des configurations où l’enveloppe est bornée, en particulier avec un point de rebroussement, qui peut être pointé vers la droite, parfois vers la gauche, ou même encore avec deux points de rebroussement. Ces points de rebroussement ont des propriétés particulières vis à vis de l’orthogonalité comme on le voit dans ces illustrations, réalisables avec la figure précédente.
Galerie de 7 illustrations sur les points de rebroussement depuis une droite pilotée par deux points \(A\) et \(B\)
La raison en est que la courbe est une sextique (courbe de degré 6), et qu’elle peut avoir, pour la partie qui nous occupe, un, et parfois deux, points de rebroussement. La seconde page sur le régionnement vis à vis de l’orthogonalité est consacrée à détailler ce thème pour l’intérieur de ces points de rebroussement. Pour cela, nous allons commencer par mettre en évidence une autre propriété de cette enveloppe qui va nous amener à concevoir les figures autrement que pilotées par les deux points \(A\) et \(B\). En pratique, ces nouvelles figures vont être plus efficaces pour étudier directement, et systématiquement, toutes les configurations possibles pour les droites \((AB)\). Ce sont elles qui vont nous permettre d’étudier finement le régionnement à l’intérieur des points de rebroussement.
Une propriété géométrique fondamentale
de l’enveloppe de la frontière de 2H
Bien entendu l’enveloppe construite dépend de la position du centre \(Ctr_{AB}\) de l’arc de cercle \(\overset{\frown}{P_hQ_b}\) de la droite \((AB)\). Mais la dépendance précise peut surprendre. L’arc de cercle d’une H-perpendiculaire à \((AB)\) a son centre \(Ctr_{M}\) sur le segment \(Ctr_{P_h} \, Ctr_{Q_b}\), et il passe par \(F\) pour être une H-droite. Autrement dit c’est simplement un cercle tangent à la droite \((F \, Ctr_{AB})\), qui ne dépend donc de \(Ctr_{AB}\) que par la pente de la droite précédente.
Les perpendiculaires hilbertiennes à une droite \((A B)\) ne dépendent que de la pente à \((F Ctr_{AB})\).
Cela signifie aussi que toute H-droite dont le centre de l’arc de cercle est sur la droite de cette pente aura même enveloppe de frontière 2H que la droite précédente \((AB)\) de centre \(Ctr_{AB}\). En voici une première illustration dynamique.
L’enveloppe ne dépend que de la pente \(m\) de la droite \((F \, CtrAB)\)
Dans la figure suivante, la droite en pointillé est la droite \((F \, Ctr_{AB})\). L’enveloppe rose est associée au centre \(CtrM\) qui construit la H-droite verte \((P_{hM} \, Q_{bM})\).
Le point \(CtrM\) est légèrement aimanté par la droite passant par \(F\). En le faisant glisser sur la droite, on illustre que la courbe rose se superpose à l’enveloppe marron initiale, et, quand I est proche de l’enveloppe, les perpendiculaires issues de \(I\) sont des perpendiculaires pour les deux droites quand les pieds coupent la droite verte à l’intérieur de l’ellipse.
On peut envisager de faire l’inverse, à savoir d’essayer de superposer l’enveloppe marron sur l’enveloppe rose. Pour cela, on déplace les points \(A\) et \(B\) pour que l’enveloppe marron se superpose à l’enveloppe rose. Le faire en particulier quand l’enveloppe rose a un point de rebroussement assez significatif. Par aimantation de \(CtrM\), la configuration se finalise toute seule : si on rapproche suffisamment les deux enveloppes, elle se superposent automatiquement par aimantation du second centre \(CtrM\) à la droite définie par le premier centre \(CtrAB\).
Préférer faire ces manipulations (et la suivante) dans cette figure en ligne.
Placer ensuite le point \(I\) à l’intérieur du rebroussement. On peut alors voir apparaître trois hauteurs hilbertiennes comme ceci :
Quand \(I\) est à l’intérieur du point de rebroussement, il peut y avoir trois perp. hilbertiennes, – de pieds \(Hh1, Hh2, Hh3\) pour \((AB).\).
Ces trois droites sont perpendiculaires à toute droite ayant la même « enveloppe 2H » que la droite \((AB).\).
Si les pieds des hauteurs coupent les deux droites, verte et rouge, à l’intérieur de l’ellipse, on mène donc, par \(I\), trois perpendiculaires à deux droites non parallèles.
Nouvelle construction des droites par \(m\) et \(kmCtr\)
Parties lisses 2H et 2H1E
On systématise désormais cette démarche de construction d’une H-droite non plus par deux points, mais par la pente \(m\) de la droite passant par \(F\) et le centre \(C\) de l’arc de la H-droite. On a ainsi \(\displaystyle m=\frac{y(C)}{x(C)-3/2}\).
Si vous avez manipulé la figure précédente, en rapprochant \(CtrM\) trop près de \(F\), vous avez pu voir la droite verte disparaître, ainsi que l’enveloppe rose, tout simplement parce que le cercle de centre \(CtrM\) passant par F ne coupait plus l’ellipse. Donc on calcule les bornes définies par les cercles tangents à l’ellipse : \(CtrMin\) et \(CtrMax\). Le centre de l’arc de cercle de la H-droite est un point du segment défini par ces deux bornes.
Mais comme on va fortement zoomer la figure pour étudier finement le régionnement à l’intérieur des rebroussements, la borne \(CtrMax\) va régulièrement être hors écran, et le centre du cercle qui concerne la figure aussi. Rapidement, on a été amené à utiliser plutôt un curseur \(kCtr\) pour placer barycentriquement le centre du cercle – désormais nommé \(kmCtr\) – sur le segment \([CtrMin \; CtrMax]\). Le curseur étant toujours à l’écran, on peut agir finement sur la figure sans même avoir accès directement aux objets fondamentaux.
Manipulation de la figure
Dans cette version d’exploration, l’ellipse est tout entière à l’écran ainsi que le segment qui borne le centre \(kmCtr\). On a aussi tracé, quand elles existent, les deux zones 2H (rose) et 2H1E (verte) quand elles sont lisses, c’est-à-dire quand il n’y a pas de point de rebroussement. On consacrera une page spécifique pour les points de rebroussement. Sur cette figure, vous pouvez :
• Pour \(m\) fixé, déplacer le curseur \(kCtr\), voir la variation de la H-droite rouge \((P_h \, Q_b)\), et des parties 2H et 2H1E, en particulier aux extrémités du curseur. On peut déplacer \(I\) pour confirmer le nombre et le type des perpendiculaires.
• Pour une pente \(m\) donnée, bien entendu l’enveloppe de la frontière 2H-2H1E est fixe. Le curseur \(kCtr\) permet de balayer quasiment(*) toutes les configurations de droites \((P_h \, Q_b)\) pour cette pente. On comprendra aisément que cette généralité, en pratique, n’est pas aussi facilement accessible avec une droite définie par deux points, car \(m\) change en permanence dès que l’on déplace \(A\) ou \(B\).
• Pour la valeur de \(m\) initiale (\(m=-0,8957\)) placer le curseur \(kCtr\) au delà de \(0,92\). Alors c’est la droite \((Qb \, Qbo)\) qui coupe l’enveloppe, et les régions 2H et 2H1E sont inversées par rapport aux cas où c’est \((Ph \, Pho)\) qui coupe l’enveloppe.
• Puis vous pouvez ensuite faire varier le paramètre \(m\). L’aspect théorique – développé dans des pages de blog à venir – montre que l’enveloppe est lisse pour \(\displaystyle |m| > \frac{3}{\sqrt{15}}\). En pratique, on se limitera donc à \(m>0,775\) ou \(m<-0,775\), les autres parties étant étudiées dans la seconde page sur le régionnement.
On notera qu’à l’ouverture \(I\) est placé sur un point de construction de l’enveloppe d’où il sort deux perpendiculaires confondues \((Hh_1=Hh_2)\).
Agir d’abord sur le curseur \(kCtr\), puis ensuite sur \(m\), dans les limites précisées ci-dessus.
Remarque : même si le régionnement n’est pas encore fait dans cette figure, pour \(0,184< |m| <0,668\), il y a un point de rebroussement, on peut placer \(I\) à l’intérieur et voir encore les trois hauteurs hilbertiennes.
Préférer ouvrir cette figure dans un nouvel onglet.
(*) On a dit quasiment car le curseur s’arrête à 0,01 à gauche et à 0.995 à droite pour éviter les droites trop proches des tangentes à l’ellipse et l’effondrement de la figure. On explore donc, directement 98,5% des configurations possibles.