On poursuit l’étude du régionnement du plan vis à vis de l’orthogonalité dans le modèle non arguésien de Hilbert.
Dans la page précédente, on avait mis en évidence l’enveloppe dite 2H-2H1E des points d’où deux perpendiculaires hilbertiennes à une droite sont confondues. Dans une première version de cette étude (2024-2025), quand l’enveloppe n’était constituée que de 16 points, les points de rebroussement ne pouvaient être traités que dans leur globalité : il étaient rouge s’il pouvait y avoir trois perpendiculaires hilbertiennes, et vert s’il y avait en plus la perpendiculaire euclidienne. On en trouve encore des traces dans cette vidéo ou ce caroussel.
Avec l’amélioration de l’enveloppe (qui peut désormais avoir de 80 à plus de 200 points dans certains cas), on peut se permettre de zoomer la figure, et donc d’affiner le contenu intérieur d’un point de rebroussement. Mais en pratique, c’est surtout la construction d’une figure par \((m, \; Ctr)\) plutôt que par deux points \(A, \; B\) qui permet, pour un coefficient \(m\) donné – et donc un rebroussement fixe, de parcourir toutes les positions possibles de traversée des droites de référence à travers cette enveloppe, ce qui donne, avec de gros zoom, de très belles figures manipulable au curseur \(kCtr\) de la page précédente.
Les différents points de rebroussement
Dans ces figures, la nouvelle enveloppe est produite – et finement gérée, par Claude, l’IA d’Anthropic. Un, et même plusieurs articles de blog, plus techniques, reviendront en détail sur ce que cette approche a permis. Comme l’objectif annoncé était de travailler sur « les cusps », les points de rebroussements, en particulier ceux à gauche qui n’était pas du tout gérable dans la version précédente, Claude a commencé par déterminer les seuils d’apparition des points de rebroussement.
Tout d’abord le contexte géométrique du modèle de Hilbert est symétrique par rapport l’axe des ordonnées. La sextique générale est symétrique, c’est donc aussi le cas pour la petite partie utile pour la frontière 2H-2H1E – ce que l’on appelle globalement dans ces pages « l’enveloppe ». On a même précisément \(P_6(x,-y,-m)=P_6(x,y,m)\). Ainsi, les configurations pour \(m > 0\) ont leurs miroirs pour \(m < 0\).
• L’enveloppe est lisse pour \(|m|>m^*=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{15}}\). C’est la partie traitée à la page précédente.
• L’enveloppe a un point de rebroussement pour \(0,688 < |m| < m^*\), ouvert vers l’ellipse, et donc pointant vers la droite.
• L’enveloppe admet deux points de rebroussement pour \(0,182 < |m| < 0,688\), mais souvent celui de gauche, est un point de rebroussement proche de l’extrémité de l’enveloppe, qui n’offre pas d’intérêt en terme de perpendiculaires hilbertienne. On parlera alors point de rebroussement fantôme. Il n’est « fantôme » que pour notre sujet, c’est bien entendu un vrai point de rebroussement pour la sextique générale : il y a une deltoïde formée de trois rebroussement..
Enfin, l’enveloppe admet à nouveau un seul point de rebroussement pour \( |m| < 0,182\). Ce cas est assez particulier – et nécessite un traitement un peu spécifique – car c’est un point de rebroussement à gauche. C’est pour ce cas là que l’enveloppe peut aller parfois au delà de 400 points.
Le cas du point de rebroussement unique à droite
C’est le cas le plus simple, et en même temps le plus riche car, selon que la droite \((Q_b \, Q_{bo})\), ou \((P_h \, P_{ho})\) coupe ou non l’enveloppe on peut avoir de 2 à 4 types de régions différentes à l’intérieur de l’enveloppe. Voyons quelques premiers exemples – bien entendu très zoomés – que l’on peut reproduire avec les figures suivantes.
Galerie de 10 illustrations des différentes situations
Manipulation de la figure
On a choisit de présenter une version très zoomée. Pour jouer sur le zoom, il faut utiliser les figures « en ligne », celle dans l’iframe permet le zoom mais il est moins réactif. On propose 4 figures pour cela, deux pour \(m>0\) et deux pour \(m<0\).
Dans cette figure agir sur les deux curseurs. \(I\) est aimanté par \(Cusp_1\).
Si les trois distances ne s’affichent pas quand \(I\) est sur \(Cusp_1\), modifier légèrement \(m\).
Ouvrir cette figure (plus grande) dans un nouvel onglet, ou la version dézoomée.
Cas \(m<0\) : ouvrir la figure zoomée (plus grande) ou la figure dézoomée.
Pour ces 4 figures, on déplace l’ensemble, simplement par glissement de la souris enfoncée, à condition qu’aucun outil du tableau de bord ne soit sélectionné, en particulier désélectionner le curseur à gauche du tableau de bord.
Pourquoi les trois perpendiculaires ne sont pas « complétement » superposées
Les trois perpendiculaires sont superposées à l’écran mais pas totalement confondues mathématiquement.
Dans ces figures, le point de rebroussement est produit par un algorithme qui donne une valeur très précise, mais approchée. Même avec le calcul formel de Mathematica, le passage au calcul numérique standard donne le même résultat que DGPad pour les distances des pieds. deux pieds confondus, le troisième très proche
Claude a calculé deux résultats à ce sujet :
• Dans DGPad, une précision multipliée par 10000 sur le point de rebroussement n’ajoute qu’un facteur 100 à la précision des distances des pieds ci-dessus. Cela n’a pas été retenu car cela ralentit significativement la manipulation directe de la figure.
• Pour avoir une précision de \(10^{-16}\) avec Mathematica (affichage d’une distance nulle à l’écran), il faut faire le calcul numérique du point de rebroussement à la précision \(10^{-35}\).
Le cas du point de rebroussement à gauche
On est donc dans le cas \( |m| < 0,182\). Les droites \((Q_b \, Q_{bo})\), et \((P_h \, P_{ho})\) sont alors loin de l’enveloppe. L’intérieur du rebroussement ne contient ainsi qu’une partie 3H et deux petites parties 2H. Sur l’illustration suivante, on a laissé figurer le nombre d’éléments de l’enveloppe : il y a beaucoup plus de termes (ici 426) que dans le cas d’un point de rebroussement à droite (moins de 100).
On note aussi que, pour \(I\) sur le point de rebroussement, la précision sur le pied de la troisième perpendiculaire gagne un facteur 20 environ alors que la précision du point de rebroussement est la même. Cela provient d’une valeur de \(m\) faible, donc d’une droite des centres \(kmCtr\) plus horizontale, mais aussi des perpendiculaires elles-mêmes.
La forme de l’enveloppe ne dépendant que de \(m\), pour une valeur de \(m\) donnée, la région du rebroussement ne dépend que du point \(PhQb\), lui-même déterminé par le curseur \(kCtr\). On peut alors s’amuser à chercher « l’aire du rebroussement » c’est-à-dire l’aire des trois parties 2H-3H-2H en fonction du curseur \(kCtr\). Voici ce que l’on obtient.
Le maximum de l’aire (point bleu) est réalisé par une valeur de \(kCtr\) autour de \(0,89\), variable selon \(m\) mais étonnamment stable. On peut l’observer sur la figure suivante, un peu plus longue à ouvrir que les précédentes à cause du calcul de l’aire.
La figure du point de rebroussement à gauche et de l’aire associée
Quand on déplace \(m\) l’enveloppe se déplace globalement elle aussi en ordonnée.
Il faut donc parfois déplacer la figure ce qui se fait simplement par glissement du curseur, le trackpad – le bouton de la souris – maintenu enfoncé.
Agir sur les deux curseurs, déplacer \(I\), le placer sur \(Cusp1\). Si nécessaire déplacer l’origine du graphique de l’aire.
Le parcours de l’enveloppe par un point d’où on prend les perpendiculaires à la droite.
Désormais on associe le point \(I\) à l’enveloppe du point de rebroussement. C’est intéressant de voir apparaître et disparaître la troisième perpendiculaire quand ce point \(I\) franchit les deux droites \((Ph \, Ph_2)\) et \((Qb \, Qb_2)\) qui définissent le point de rebroussement à gauche. Voici tout d’abord une vidéo de l’animation (au format « réseaux sociaux » le texte est fait pour être lisible sur téléphone).
Vous pouvez ensuite ouvrir la figure associée (un peu longue à charger) dans un nouvel onglet, pour faire la manipulation vous-même.
Le cas des deux points de rebroussement
Cette partie sera rédigée à la mi-septembre
On s’intéresse à deux situations :
• Tout d’abord au cas où les deux points de rebroussement sont dans des régions 3H, avec là encore une animation d’un point sur l’enveloppe.
• Le passage des frontières, dont on va voir qu’il est très fluide, les points de rebroussement passant par un statut fantôme (on précisera) avant d’apparaître ou de disparaître.
Le parcours de l’enveloppe par un point d’où on prend les perpendiculaires
On reprend le même thème que ci-dessus. Les perpendiculaires confondues vont , à nouveau, apparaître d’un côté et sortir de l’autre, mais il y aura deux rencontres des trois perpendiculaires ensemble.
Ouvrir la figure correspondante dans un nouvel onglet pour reproduire la manipulation … sans le cafouillage autour de \(Cusp_2\).