{"id":7619,"date":"2024-05-20T16:57:42","date_gmt":"2024-05-20T12:57:42","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=7619"},"modified":"2025-12-22T13:07:35","modified_gmt":"2025-12-22T09:07:35","slug":"triangles-ayant-deux-hauteurs-paralleles-dans-le-modele-non-arguesien-de-hilbert","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=7619","title":{"rendered":"R\u00e9alisation de triangles bi-orthocentriques ayant deux hauteurs parall\u00e8les dans le mod\u00e8le non argu\u00e9sien de Hilbert"},"content":{"rendered":"\n

On d\u00e9j\u00e0 vu, dans la page d’introduction \u00e0 l\u2019orthogonalit\u00e9<\/a> du mod\u00e8le de Hilbert que des triangles, en particulier ayant deux sommets dans l’ellipse, peuvent avoir des hauteurs parall\u00e8les. Puis nous sommes all\u00e9s plus loin, dans cette autre page<\/a>, pour trouver des triangles ayant \u00e0 la fois deux hauteurs parall\u00e8les, et en m\u00eame temps un orthocentre. Toutefois, dans ces deux situations, nous obtenions les configurations voulues par programmation, avec une manipulation dynamique possible dans le premier, mais pas dans le second cas. C’est ce que l’on se propose d’am\u00e9liorer.<\/p>\n\n\n\n

Dans cet article, on se donne deux droites parall\u00e8les, et on se propose de construire des triangles ayant ces deux droites comme hauteurs. Il n’y aura donc plus de programmation pour obtenir ce premier parall\u00e9lisme, il est donn\u00e9 a priori.<\/p>\n\n\n\n

Situation de d\u00e9part – Notations<\/h2>\n\n\n\n

Une premi\u00e8re droite est d\u00e9finie par une poign\u00e9e, nomm\u00e9e \\(Pgn\\) et un point \\(A\\), que l’on prend \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’ellipse. C’est la droite verte ci-dessous. Puis, depuis un point \\(B\\), lui aussi int\u00e9rieur \u00e0 l’ellipse, on construit la parall\u00e8le \u00e0 cette premi\u00e8re droite passant par ce point, c’est la droite orange ci-dessous. <\/p>\n\n\n\n

A partir de ces deux points \\(A\\) et \\(B\\), on se propose de chercher les points \\(C\\) tels que le triangle \\(ABC\\) ait ces deux droites parall\u00e8les comme hauteurs, une issue de \\(A\\) et l’autre de \\(B\\).<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Les trois points possibles \\(C_{hh}, C_{he}, C_{eh}\\) pour un troisi\u00e8me sommet \\(C\\) du triangle \\(ABC\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

Notations de la figure<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On note \\(hA_h\\) le pied de la perpendiculaire \u00e0 la droite initiale verte issue de \\(B\\) : \\(hA_h\\) et non pas \\(hB_h\\) comme on pourrait le penser, car, dans le triangle \u00e0 construire, ce sera le pied de la hauteur issue de \\(A\\) sur la droite \\((BC)\\). De m\u00eame le pied de la perpendiculaire \u00e0 la parall\u00e8le (orange) issue de \\(A\\) est not\u00e9 \\(hB_h\\) car ce sera le pied de la hauteur issue de \\(B\\) sur la droite \\((AC)\\). De \\(B\\), il existe une autre perpendiculaire \u00e0 la droite verte, de pied \\(hA_e\\), le suffixe \\(h\\) pour pr\u00e9ciser une perpendiculaire hilbertienne et \\(e\\) pour une perpendiculaire euclidienne. Le point \\(hA_e\\) est le pied de la hauteur issue de \\(A\\) sur une autre droite \\((BC)\\).<\/p>\n\n\n\n

On note alors \\(C_{hh}\\) l’intersection des droites \\((B \\, hA_h)\\) et \\((A \\, hB_h)\\), et de m\u00eame \\(C_{eh}\\) celle des droites \\((B \\, hA_e)\\) et \\((A \\, hB_h)\\). <\/p>\n\n\n\n

Quand la perpendiculaire issue de \\(A\\) coupe la parall\u00e8le passant par \\(B\\) en \\(hB_e\\), on peut avoir le troisi\u00e8me sommet possible \\(C_{he}\\) intersection des droites \\((B \\, hA_h)\\) et \\((A \\, hB_e)\\). Dans cette configuration, on notera que l’on a deux couples de hauteurs parall\u00e8les … mais pas sur les m\u00eames triangles, bien entendu.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Le quadrilat\u00e8re \\(A \\, hA_e \\, B \\, hB_e\\) est un parall\u00e9logramme car le quadrilat\u00e8re euclidien support est un parall\u00e9logramme avec deux angles droits, en \\(hA_e\\) et \\(hB_e\\), donc un rectangle :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Cas o\u00f9 les quatre perpendiculaires existent<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Dans ce cas il y a trois triangles solutions \\(ABC_{hh}, ABC_{eh}, ABC_{he}\\).<\/p>\n\n\n\n

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Une premi\u00e8re r\u00e9alisation<\/h2>\n\n\n\n

Comme indiqu\u00e9 dans la page qui traite de la construction des droites alg\u00e9briques (la derni\u00e8re section aborde celle des perpendiculaires<\/a>), la macro-construction d\u00e9di\u00e9e aux perpendiculaires construit toutes les perpendiculaires \u00e0 une droite issue d’un point, et on sait qu’il peut y en avoir th\u00e9oriquement jusqu’\u00e0 4, trois hilbertiennes et une euclidienne, et donc la mise en place des triangles \\(ABC\\) solution est essentiellement un jeu de \u00ab\u00a0cacher\/montrer\u00a0\u00bb des droites.<\/p>\n\n\n\n

C’est d’ailleurs en manipulant cette figure qu’est apparu cette possibilit\u00e9, a priori surprenante, que les trois hauteurs hilbertiennes peuvent \u00eatre r\u00e9elles en m\u00eame temps. En d\u00e9pla\u00e7ant la poign\u00e9e \\(Pgn\\), le point \\(B\\), passant un instant par la droite \\((Pgn \\, A)\\), peut donner, selon les configurations, cette illustration :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Premier cas rencontr\u00e9 de trois perpendiculaires hilbertiennes \u00e0 une droite issues d’un m\u00eame point.<\/em>
Situation obtenue en manipulant une figure de travail<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Voir en ligne une figure d’animation<\/a> (d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sent\u00e9e dans la page d’introduction \u00e0 l’orthogonalit\u00e9<\/a>)<\/p>\n\n\n\n

Pour se centrer sur la sp\u00e9cificit\u00e9 des hauteurs parall\u00e8les, on a fait le choix, dans la figure g\u00e9n\u00e9rique suivante, de volontairement cacher les hauteurs annexes comme celles-ci qui pourraient appara\u00eetre, exceptionnellement \u00e0 l’occasion de certaines configurations.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Exemple de situation qui n’appara\u00eetra pas dans la figure g\u00e9n\u00e9rique<\/em><\/p>\n\n\n\n

La figure dynamique<\/strong><\/p>\n\n\n