{"id":7083,"date":"2024-03-06T02:01:04","date_gmt":"2024-03-05T22:01:04","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=7083"},"modified":"2025-12-23T07:19:34","modified_gmt":"2025-12-23T03:19:34","slug":"construction-algebrique-de-la-droite-du-modele-non-arguesien-de-hilbert","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=7083","title":{"rendered":"Constructions alg\u00e9briques de la droite et de la (des) perpendiculaire(s) \u00e0 une droite du mod\u00e8le non argu\u00e9sien de Hilbert"},"content":{"rendered":"\n

Rappel du contexte<\/strong> (repris de la page d’introduction<\/a> aux droites de Hilbert) <\/p>\n\n\n\n

Hilbert consid\u00e8re le mod\u00e8le de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne plane suivant. Il se donne l\u2019ellipse centr\u00e9e \u00e0 l\u2019origine du rep\u00e8re canonique, de grand axe 1 et de petit axe 1\/2. Soit l\u2019ellipse d\u2019\u00e9quation \\(x^2+4y^2=1\\). Puis il consid\u00e8re le point \\(F \\displaystyle \\left( \\frac{3}{2},0 \\right)\\) et montre que tout cercle passant par \\(F\\) et coupant l\u2019ellipse, soit est tangent \u00e0 l\u2019ellipse, soit ne coupe l\u2019ellipse qu\u2019en deux points distincts. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment il montre que tout cercle coupant l\u2019ellipse en 4 points ne passe pas par \\(F\\). Cela lui permet de d\u00e9finir une nouvelle g\u00e9om\u00e9trie de la fa\u00e7on suivante :<\/p>\n\n\n\n

Droites et segment<\/strong>s<\/p>\n\n\n

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\"\"
Illustration de l’ouvrage de Hilbert<\/sub><\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

\u00ab\u00c9laborons notre nouvelle g\u00e9om\u00e9trie comme suit. Comme points prenons les points du plan \\(xy\\). Comme droites, choisissons, sans modification, celles du plan qui ne coupent pas l\u2019ellipse ou qui lui sont tangentes; par contre si une droite \\(g\\) coupe l\u2019ellipse en deux points \\(P\\) et \\(Q\\), construisons le cercle passant par \\(P\\), \\(Q\\) et \\(F\\). Ce cercle ne coupe pas l\u2019ellipse hors de ces points. Sur la droite \\(g\\) rempla\u00e7ons le segment compris entre \\(P\\) et \\(Q\\) par l\u2019arc du cercle pr\u00e9c\u00e9dent situ\u00e9 \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de l\u2019ellipse. Les deux demi-droites port\u00e9es par \\(g\\) limit\u00e9es \u00e0 \\(P\\) et \\(Q\\) et l\u2019arc de cercle ci-dessus constituent une droite de notre nouvelle g\u00e9om\u00e9trie(*). Supposons la construction effectu\u00e9e pour toutes les droites du plan. Les droites de la nouvelle g\u00e9om\u00e9trie satisfont les axiomes (I.1<\/strong> et I.2<\/strong>) et (IV<\/strong>). Les axiomes (II<\/strong>) sont aussi valables en consid\u00e9rant l\u2019ordre naturel des points sur ces droites. Nous dirons que deux segments \\(AB\\) et \\(A’B’\\) sont congruents si les segments \\(AB\\) et \\(A’B’\\) mesur\u00e9s \u00e9ventuellement en tout ou partie sur un arc de cercle ont des longueurs habituelles \u00e9gales. \u00bb<\/p>\n\n\n\n

(*) On parle, dans ce contexte, de H-droite<\/strong>, pour droite de Hilbert, et de H-segment<\/strong>.<\/em><\/p>\n\n\n\n

En g\u00e9om\u00e9trie dynamique, une droite de base est d\u00e9finie par deux points, la construction de telles H-droites n\u00e9cessite de distinguer trois cas :
\u2022 Cas 1 : les deux points sont ext\u00e9rieurs \u00e0 l\u2019ellipse.
\u2022 Cas 2 : les deux points sont int\u00e9rieurs \u00e0 l\u2019ellipse.
\u2022 Cas 3 : un des points est \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur, l\u2019autre \u00e0 l\u2019ext\u00e9rieur.<\/p>\n\n\n\n

Un traitement sp\u00e9cifique est n\u00e9cessaire pour chacun de des trois cas, le troisi\u00e8me \u00e9tant nettement plus complexe que les deux premiers, eux, triviaux.<\/p>\n\n\n\n

Traitement dynamique des cas 1 et 2<\/h2>\n\n\n
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ces deux premiers cas rel\u00e8vent d\u2019une simple construction g\u00e9om\u00e9trique, mais en g\u00e9om\u00e9trie dynamique, il y a souvent des ajustements \u00e0 faire. Pour le premier cas, il s’agit simplement de l’intersection d’une droite et d’une ellipse. C’est tout-\u00e0-fait imm\u00e9diat. On note \\(P_{ee}, Q_{ee}\\) ces deux points, le suffixe \\({ee}\\) pour signifier que les deux points de base sont ext\u00e9rieurs \u00e0 l’ellipse. Le second cas consiste ensuite \u00e0 construire les points d’intersection \\(P_{ii}, Q_{ii}\\), les intersections de l’ellipse et de la droite de Hilbert quand les deux points de base sont \u00e0 l’int\u00e9rieur. Il y a alors un premier traitement \u00e0 effectuer. <\/p>\n\n\n\n

Pour obtenir les intersection d’un cercle et d’une ellipse, on transforme le cercle en conique passant par 5 points pour r\u00e9cup\u00e9rer la gestion automatique des intersections des coniques. Ainsi, si ce cercle dynamique – not\u00e9 \\(QuadF\\) dans le code ci-dessous – coupe l\u2019ellipse fixe \\(Hell\\) en deux points seulement, dynamiquement, ces deux points ne sont pas toujours les m\u00eames, ils d\u00e9pendent, entre autres, de l\u2019orientation du cercle. En fait c’est une cons\u00e9quence de l’incompatibilit\u00e9 entre la continuit\u00e9 des intersections et le d\u00e9terminisme des figures comme cela a d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 pr\u00e9sent\u00e9 ici<\/a>.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On commence par d\u00e9clarer les 4 points d\u2019intersection entre les deux coniques \\(Hell\\) et \\(QuadF\\). Les logiciels de g\u00e9om\u00e9trie dynamique contemporains permettent d’avoir acc\u00e8s aux intersections tels qu’elles sont cod\u00e9es en interne dans le logiciel. <\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

En pratique, il s\u2019agit de choisir entre deux paires d’intersection (ce qui est plus simple). Le tout est ensuite plac\u00e9 dans une macro, et devient transparent \u00e0 l\u2019utilisation (les noms propos\u00e9s ici sont diff\u00e9rents de la figure car ils sont dans une macro plus g\u00e9n\u00e9rique).<\/p>\n\n\n\n

Manipulation dynamique de cette construction<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans la figure illustr\u00e9e ci-dessous, figure \u00e0 ouvrir dans un nouvel onglet,<\/a> on a volontairement construit une seule partie de la construction pour voir le probl\u00e8me.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

En faisant glisser \\(A\\) pour que la H-droite passe au dessus \\(F\\), observer ce qu\u2019il se passe, puis poursuivre \\(A\\) vers le haut en restant dans l\u2019ellipse, on voit la H-droite se reconstruire : la gestion interne des noms des intersections est plus complexe que la simple orientation du cercle.<\/em><\/p>\n\n\n\n

R\u00e9alisation alg\u00e9brique du cas 3<\/h2>\n\n\n\n

Le troisi\u00e8me cas (construction des points \\(P_{ie}, Q_{ie}\\), pour un point de base de la droite int\u00e9rieur l’autre ext\u00e9rieur) qui pourtant n\u2019est a priori qu\u2019un probl\u00e8me du 4\u00b0 degr\u00e9, est nettement moins trivial \u00e0 traiter. Dans une premi\u00e8re mise en ligne (d\u00e9cembre 2021), ce troisi\u00e8me cas a fait l\u2019objet d\u2019une d\u00e9marche particuli\u00e8re, en programmation Blockly, approche que l’on a conserv\u00e9 en archive<\/a>. L\u2019objectif de cet article est de d\u00e9tailler la r\u00e9alisation d’une construction alg\u00e9brique, avec les formules de r\u00e9solution de ce probl\u00e8me d’ordre 4.<\/p>\n\n\n\n

Une approche originale – Un premier r\u00e9sultat<\/strong><\/p>\n\n\n\n

C’est l’article de Bernard Parisse<\/a>, (f\u00e9vrier 2024) sur la comparaison entre Xcas et AlphaGeometry (IA de Google pour la g\u00e9om\u00e9trie) qui m’a motiv\u00e9 \u00e0 reprendre cette question, abandonn\u00e9e il y a quelques ann\u00e9es, avec la d\u00e9marche de programmation par approximation successive de la premi\u00e8re mise en ligne du menu Non Arg<\/strong> de ce site. A l’\u00e9poque, avec mon coll\u00e8gue Dominique Tourn\u00e8s, nous cherchions le centre du cercle solution, mais c’\u00e9tait assez inextricable et le calcul formel ne produisait pas quelque chose d’utilisable.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Dominique s’est alors empar\u00e9 \u00e0 nouveau du probl\u00e8me, en prenant soin de chercher \u00e0 l’aborder autrement : au lieu de chercher le centre du cercle passant par \\(A\\) et \\(F\\) tel que \\(B, Q, P\\) soient align\u00e9s, il consid\u00e8re une droite de la forme \\(a(X-x_B)+ Y-y_B=0\\), o\u00f9 \\(B(x_B,y_B)\\). On calcule facilement ses intersections \\(P\\) et \\(Q\\) avec l’ellipse. L’approche originale de Dominique consiste \u00e0 d\u00e9terminer le coefficient \\(a\\) tel que les 4 points \\(P, A, Q, F\\) soient cocycliques en utilisant le th\u00e9or\u00e8me de Ptol\u00e9m\u00e9e \\(AF \\times PQ = AQ \\times PF + AP \\times QF\\).<\/p>\n\n\n\n

En pratique, pour \u00e9viter des calculs, \u00e0 nouveau inextricables avec les racines carr\u00e9s, Dominique transforme la condition de cocyclicit\u00e9 sous la forme \\((AF^2.PQ^2-AQ^2.PF^2-AP^2.QF^2)^2 = 4PF^2.AQ^2AP^2.QF^2\\), en \u00e9levant deux fois au carr\u00e9, m\u00eame si on perd assur\u00e9ment \u00ab\u00a0quelque chose\u00a0\u00bb dans ces \u00e9l\u00e9vations au carr\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

On a donc le r\u00e9sultat avec les formules de Cardan, en particulier avec des racines carr\u00e9es et des racines cubiques. L’expression de \\(a\\) produite par Mathematica fait plus de 19000 caract\u00e8res mais une expression de plus de 3300 caract\u00e8res intervient 4 fois. Cette expression, une fois extraite, se factorise en 1146 caract\u00e8res seulement. <\/p>\n\n\n\n

\n

-4(128<\/em>yA^6yB<\/em>(9(3-2<\/em>xB)^2+16yB^2)+48<\/em>yA^4yB<\/em>(-1297+72xA^2<\/em>(3-2xB)^2+3105<\/em>xB-6xA<\/em>(-3+2xB)<\/em>(-35+9xB<\/em>(1+xB))-3xB^2<\/em>(901+6xB<\/em>(-57+8xB))+36<\/em>yB^2+8(xA<\/em>(-27+16xA-6<\/em>xB)+9xB)<\/em>yB^2)+(-3+2xA)^3<\/em>yB(9<\/em>(-1-3(-2+xB)<\/em>xB+xA(-6+4<\/em>xB))(3+3<\/em>(8-3xB)<\/em>xB+8xA^2<\/em>(-3+2xB)+xA<\/em>(-34-6(-5+xB)<\/em>xB))+4(3+2<\/em>xA-3xB)<\/em>(45+32xA^2-9<\/em>(-2+xB)xB+6<\/em>xA(-11+2<\/em>xB))yB^2)+4<\/em>yA^3(4906-11205<\/em>xB+9(-8<\/em>xA^2(3-2<\/em>xB)^2(-7+3<\/em>(-3+xB)xB)+2<\/em>xA(-3+2<\/em>xB)(136+3<\/em>xB(39+xB<\/em>(-35+3(-3+xB)<\/em>xB)))+xB^2(2519+3<\/em>xB(-903+xB<\/em>(433-90xB+8<\/em>xB^2))))+7560yB^2+60<\/em>(8xA^2<\/em>(29+12(-3+xB)<\/em>xB)+9xB<\/em>(1+3xB<\/em>(-5+2xB))-6<\/em>xA(72+xB<\/em>(-71+9xB+6<\/em>xB^2)))yB^2)-3<\/em>(3-2xA)^2<\/em>yA(3<\/em>(-1-3(-2+xB)<\/em>xB+xA(-6+4<\/em>xB))(-17+2<\/em>xA(-3+2<\/em>xB)(-7+3<\/em>(-3+xB)xB)+3<\/em>xB(-2+xB<\/em>(-7+6xB)))-4<\/em>(20xA^2<\/em>(29+12(-3+xB)<\/em>xB)-30xA<\/em>(14+xB-15xB^2+6<\/em>xB^3)+9(41+xB<\/em>(-41+xB(31+3<\/em>xB(-7+2<\/em>xB)))))yB^2)+48<\/em>yA^5(189+580<\/em>yB^2-3(-3+xB)<\/em>xB(-1+12<\/em>(-3+xB)xB-80<\/em>yB^2))+12(-3+2<\/em>xA)yA^2<\/em>yB(16<\/em>xA^3(9<\/em>(3-2xB)^2+16<\/em>yB^2)+3(344+7<\/em>xB-615xB^2+561<\/em>xB^3-225xB^4+36<\/em>xB^5+36(2+(-5+xB)<\/em>xB)yB^2)-24<\/em>xA^2(4<\/em>(6+5yB^2)+xB<\/em>(11+9xB<\/em>(-5+2xB)+8<\/em>yB^2))+2xA<\/em>(-1786+3xB<\/em>(1209-925xB+315<\/em>xB^2-39xB^3-12<\/em>(-9+xB)*yB^2))))<\/p>\nExpression nomm\u00e9e \u00ab\u00a0coef\u00a0\u00bb dans la figure<\/em>
<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

<\/object>Coef_a_Hilbert<\/a>T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n

Apr\u00e8s quelques autres rep\u00e9rages d’expressions communes, on arrive aux simplifications suivantes. On peut \u00e9crire l’expression de \\(a\\) sous forme d’une somme \\(a=U-V+W\\) avec<\/p>\n\n\n\n

\n

Expression de U<\/p>\n\n\n\n

-((2(8<\/em>yA-9xB<\/em>yA+3xB^2<\/em>yA-9yB+4<\/em>xA^2yB+9<\/em>xByB-6<\/em>xAxB<\/em>yB+4yA^2<\/em>yB))\/(3(3+16<\/em>xA-12xA^2-18<\/em>xB+8xA^2<\/em>xB+9xB^2-6<\/em>xAxB^2-12<\/em>yA^2+8xB<\/em>yA^2)))<\/p>\n\n\n\n

Pour V et W on note<\/p>\n\n\n\n

coef2<\/p>\n\n\n\n

(-16(8<\/em>yA-9xB<\/em>yA+3xB^2<\/em>yA-9yB+4<\/em>xA^2yB+9<\/em>xByB-6<\/em>xAxB<\/em>yB+4yA^2<\/em>yB)^2+6(3+16<\/em>xA-12xA^2-18<\/em>xB+8xA^2<\/em>xB+9xB^2-6<\/em>xAxB^2-12<\/em>yA^2+8xB<\/em>yA^2)(6+5<\/em>xA-6xA^2-9<\/em>xB+4xA^2<\/em>xB-6yA^2+4<\/em>xByA^2-36<\/em>yAyB+24<\/em>xByA<\/em>yB+18yB^2-12<\/em>xA*yB^2))<\/p>\n\n\n\n

et expVW = (coef^2+4*coef2^3)<\/p>\n\n\n\n

Expression de V<\/p>\n\n\n\n

coef2\/(32^(2\/3)<\/em>(3+16xA-12<\/em>xA^2-18xB+8<\/em>xA^2xB+9<\/em>xB^2-6xA<\/em>xB^2-12yA^2+8<\/em>xByA^2)<\/em>(coef+sqrt(expVW))^(1\/3))<\/p>\n\n\n\n

Expression de W<\/p>\n\n\n\n

(coef+sqrt(expVW))^(1\/3)\/(62^(1\/3)<\/em>(3+16xA-12<\/em>xA^2-18xB+8<\/em>xA^2xB+9<\/em>xB^2-6xA<\/em>xB^2-12yA^2+8<\/em>xB*yA^2))<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

Quelques simplifications pour l’expression de \\(a=U-V+W\\)<\/em><\/p>\n\n\n\n

Figure dynamique quand les trois nombres <\/strong>\\(\\mathbf{U, V, W}\\) existent<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Commen\u00e7ons par une premi\u00e8re figure de travail, pour illustrer, d\u00e9j\u00e0, que la d\u00e9marche aboutit, mais surtout pour mieux situer les questions \u00e0 r\u00e9soudre.<\/p>\n\n\n