{"id":6969,"date":"2024-02-10T20:51:33","date_gmt":"2024-02-10T16:51:33","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=6969"},"modified":"2025-12-23T15:11:44","modified_gmt":"2025-12-23T11:11:44","slug":"optimisation-des-macro-constructions-elliptiques-utilisation","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=6969","title":{"rendered":"Les macro-constructions elliptiques – Utilisation et optimisation"},"content":{"rendered":"\n

Contrairement aux autres pages sur les macros des diff\u00e9rents mod\u00e8les de g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes, pour d\u00e9mystifier un peu cette g\u00e9om\u00e9trie si particuli\u00e8re qu’est la g\u00e9om\u00e9trie elliptique – une g\u00e9om\u00e9trie born\u00e9e, non orientable – apr\u00e8s la section de pr\u00e9sentation des macros et de leurs utilisations, on propose au lecteur le d\u00e9tail des constructions de plusieurs de ces macros. Il s’agit de montrer que ces objets, au comportement parfois surprenants (comme la sym\u00e9trie orthogonale, le triangle elliptique), rel\u00e8vent de constructions tr\u00e8s simples. <\/p>\n\n\n\n

On peut regarder rapidement les trois publications sur la g\u00e9om\u00e9trie elliptique de ce compte Instagram<\/a> en lien avec ce site – publication \u00ab\u00a0carrousel\u00a0\u00bb de 10 images chacune – pour se rem\u00e9morer quelques propri\u00e9t\u00e9s elliptiques.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Autre pr\u00e9sentation rapide des GNE (via curvica974.re) sur le compte gne_dgpad<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

La liste des macro-constructions disponibles<\/h2>\n\n\n\n

Bien entendu, pour utiliser les macros de DGPad, il faut un peu de pratique de l’interface du logiciel. On a propos\u00e9 des exemples euclidiens de manipulation dans cette page<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Les macros sont, classiquement, r\u00e9parties en 5 dossiers : Points, Droites, Calculs, Cercles, Technique<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On rappel qu’a priori on ne voit que les quatre premi\u00e8res lignes de chaque dossier, il faut faire descendre la liste pour voir les suivantes. <\/p>\n\n\n\n

Toutes les macros n\u00e9cessitent comme premier objet le cercle du mod\u00e8le … Toutes sauf bien entendu (on a l’habitude si on a manipul\u00e9 les macros hyperboliques) celles d’inversion, les macros 3 et 4 du dossier Technique<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Le dossier Points<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La macro Milieux<\/strong> construit, de mani\u00e8re cach\u00e9e, pratiquement la m\u00eame chose que la macro M\u00e9diateur<\/strong> (les deux m\u00e9diatrices) et Milieux<\/strong>. Donc sauf si vraiment on ne doit pas utiliser de m\u00e9diatrice, on lui pr\u00e9f\u00e8rera celle du dossier Droites pour \u00e9viter les doublons.<\/p>\n\n\n\n

La sym\u00e9trie centrale<\/strong> par rapport \u00e0 un point n’est autre que la sym\u00e9trie orthogonale par rapport \u00e0 la polaire du point. Donc, comme ci-dessus, sauf illustration sp\u00e9cifique en pr\u00e9sentation de la g\u00e9om\u00e9trie elliptique par exemple, on utilisera plut\u00f4t la sym\u00e9trie orthogonale.<\/p>\n\n\n\n

Le dossier Droites<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On rappelle que l’attente d’un arc de cercle, dans la macro, est intitul\u00e9e \u00ab\u00a0cercle\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n\n

La macro Bissecteur 2 drtes<\/strong> renvoie les deux bissectrices et<\/strong><\/em> les deux points bissecteurs. On n’a pas fait une macro \u00ab\u00a0Points\u00a0\u00bb sp\u00e9ciale pour deux points bissecteurs.<\/p>\n\n\n\n

Le dossier Calculs<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On y trouve seulement la distance<\/strong> entre deux points, la longueur<\/strong> \u00ab\u00a0sur la sph\u00e8re\u00a0\u00bb, et l’angle<\/strong> entre trois points. L\u00e0 aussi, il faut donner en premier le cercle du mod\u00e8le car ce cercle a un rayon modifiable, il n’est pas \u00ab\u00a0de rayon 1\u00a0\u00bb comme dans les formules que l’on peut trouver dans les livres.<\/p>\n\n\n\n

Le dossier Cercles<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Comme il n’y a qu’un type de pinceau en g\u00e9om\u00e9trie elliptique, il n’y a aussi qu’un type de cycle. La macro cercle support sert essentiellement pour animer des points sur le cercle elliptique.<\/p>\n\n\n\n

Le dossier Technique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

A priori, sauf exception, et \u00e0 vouloir montrer, en pr\u00e9sentation, comment fonctionne le mod\u00e8le, ces macros ne sont pas utiles dans des constructions standards. Par contre elles ont servi \u00e0 construire les pr\u00e9c\u00e9dentes, comme c’est largement d\u00e9taill\u00e9 dans les sections suivantes de cet article.<\/p>\n\n\n\n

Pour une utilisation de ces macros, lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Premiers exemples \u00e9l\u00e9mentaires d’utilisation<\/h2>\n\n\n\n

L’axiome de Pasch<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Lancer la figure de base avec toutes les macros<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Il s’agit de montrer que si une droite coupe un c\u00f4t\u00e9 du triangle, quand ce triangle est de type elliptique, elle peux ne couper aucun autre c\u00f4t\u00e9, ou couper les trois c\u00f4t\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

On n’utilise que deux macros du dossier Droites<\/strong> : les macros Segment Elliptique<\/strong> et Droite 2 pts<\/strong>. <\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n

Les droites des milieux<\/strong>
(Proposition de construction longue en 3 \u00e9tapes, avec chargement interm\u00e9diaire possible)<\/p>\n\n\n\n

Lancer la figure de base avec toutes les macros<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Il s’agit juste d’illustrer simplement que les milieux sont align\u00e9s par trois. Cette figure utilise seulement deux macros : droites et milieux. Les noms ont \u00e9t\u00e9 renomm\u00e9s avec la palette \u00ab\u00a0inspecteur des objets\u00a0\u00bb (icone \u00ab\u00a0roue\u00a0\u00bb). On pourrait ajouter par exemple la polaire de \\(Jbc\\) pour illustrer qu’elle passe par \\(Ibc\\).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pr\u00e9f\u00e9rer lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet pour prolonger la construction<\/p>\n\n\n\n

Les cercles circonscrits<\/strong><\/p>\n\n\n\n

En effet, on poursuit cette figure, en ajoutant les p\u00f4les de des 4 droites des milieux : ce sont les 4 centres des cercles circonscrits \u00e0 \\(ABC\\). Ci-dessous, l\u00e0 encore, les noms des p\u00f4les ont \u00e9t\u00e9 renomm\u00e9s. Puis on rajoute les cercles. Avant cela, on a cach\u00e9 (icone \u00ab\u00a0gomme\u00a0\u00bb) les milieux et les droites des milieux.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pr\u00e9f\u00e9rer lancer cette figure pour manipuler<\/a> et poursuivre la construction<\/p>\n\n\n\n

V\u00e9rification des distances<\/strong>
(activit\u00e9 plus technique – n\u00e9cessite d’utiliser un peu plus l’interface du logiciel)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On pourrait placer un point sur chacun des cercles et v\u00e9rifier en le d\u00e9pla\u00e7ant que la distance au cercle est constante. On se propose pour une fois d’aller un peu plus loin. L’id\u00e9e est de prendre deux points \\(M\\) et \\(N\\), d’aimanter le premier aux 4 centres, et le second aux 4 cercles – soit un cercle et 6 arcs de cercle. Cela se fait ainsi.
\u2022 \u00catre en mode standard (fl\u00e8che gauche activ\u00e9e). Cr\u00e9er deux points que l’on nommera \\(M\\) et \\(N\\).
\u2022 Pour le premier, choisir le comportement aimantation (derni\u00e8re icone des comportements, \u00e0 droite) puis montrer les 4 p\u00f4les un \u00e0 un (laisser les 20 pixels d’aimantation). Ensuite re-selectionner la fl\u00e8che du tableau de bord pour quitter le mode aimantation.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ici on montre l’aimantation de trois des 4 p\u00f4les, mais aimanter aussi avec le quatri\u00e8me.<\/em><\/p>\n\n\n\n

\u2022 Puis aimanter le point \\(N\\) sur les 4 cercles circonscrits, soit le cercle de centre \\(Pole\\) et les 6 arcs de cercles qui repr\u00e9sentent les 3 autres cercles circonscrits. On voit sur l’illustration suivante toutes les aimantations (en rouge) du point \\(N\\). Penser \u00e0 retourner sur la fl\u00e8che pour d\u00e9-selectionner le mode aimantation.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Les aimantations du point \\(N\\)<\/em><\/p>\n\n\n\n

Placer ensuite \\(M\\) et \\(N\\) dans le disque et appliquer la macro distance<\/strong> \u00e0 ces deux points. On peut ajouter des d\u00e9cimales dans l’inspecteur d’objets. On peut revenir ensuite en mode \u00ab\u00a0consultation\u00a0\u00bb, la fl\u00e8che gauche du tableau de bord d\u00e9sactiv\u00e9e, c’est plus simple. Placer \\(M\\) sur un centre de cercle – un des p\u00f4les – et \\(N\\) sur l’un des arcs du cercle associ\u00e9. D\u00e9placer \\(N\\), puis le placer sur l’autre arc repr\u00e9sentant le m\u00eame cercle.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Deux des diff\u00e9rentes illustrations possibles. En haut \\(M\\) en \\(PoleA\\), en bas en \\(PoleB\\).
Dans les deux cas \\(N\\) sur les deux arcs de cercles associ\u00e9s.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir cette figure finale<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n

Construction de polygones r\u00e9guliers<\/h2>\n\n\n\n

Dans cette section, on propose la construction tout d’abord d’un octogone r\u00e9gulier \u00e9toil\u00e9. Le principe pr\u00e9liminaire, pour une animation est d\u00e9taill\u00e9, il sera ensuite applicable \u00e0 toute situation. On prolongera par un polygone \u00e0 16 c\u00f4t\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

Pr\u00e9paration d’un point anim\u00e9 sur un cercle elliptique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On se donne deux points, le centre \\(O\\) et un point pour la taille du cercle, nomm\u00e9 \\(taille\\). On construit alors le cercle euclidien support, en pointill\u00e9 gris ci-dessous, et le cercle elliptique, rouge ci-dessous. On prend un point \\(M\\) sur le cercle support, et on construit \\(A\\) son point elliptique.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On peut alors construire un polygone r\u00e9gulier de centre \\(O\\) \u00e0 partir du point \\(A\\), tel qu’une animation sur \\(M\\) permet de faire tourner le polygone … tout en pouvant modifier sa taille par le point du m\u00eame nom.<\/p>\n\n\n\n

Premier point du polygone<\/strong><\/p>\n\n\n\n

C’est dans cette partie que l’on propose des m\u00e9thodes pour lesquelles il faut \u00eatre attentif. On construit la droite elliptique \\((OA)\\) on fait appara\u00eetre son centre, cach\u00e9, on le nomme ici \\(coA\\).<\/p>\n\n\n\n

Remarque : techniquement, il y a deux points l’un sur l’autre. Le premier est le centre du cercle qui a servi \u00e0 construire l’arc repr\u00e9sentant la droite elliptique. Le centre de la droite elliptique est le second point.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Pour des questions d’orientation, on pr\u00e9f\u00e8rera construire le premier point comme sym\u00e9trique par rapport \u00e0 la bissectrice entre le point \\(A\\) et le premier point \u00e0 construire (par principe, m\u00eame si ce n’est pas indispensable pour un octogone). Donc pour construire un point \u00e0 un angle \\(\\displaystyle \\frac{2\\pi}{n}\\), on prend la moiti\u00e9, on construit la droite \u00e0 \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{n}\\).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

La figure en l’\u00e9tat de cette illustration peut \u00eatre lanc\u00e9e ci-dessous<\/em><\/p>\n\n\n\n

Pour un report d’angle en \\(O\\), il faut deux points. Toujours pour des raisons d’invariance de l’orientation de la perpendiculaire \u00e0 \\([O\\, cOA]\\) on choisit d’utiliser une rotation par les nombres complexes d’o\u00f9 le point \\(pOrtho=O+i(cOA)O)\/2\\). De l\u00e0 on construit une demi-droite \u00e0 l’angle 22,5\u00b0 de la tangente \u00e0 la droite elliptique en \\(O\\). Pour cela on met un angle quelconque, et on adapte, en mode \u00ab\u00a0calculatrice\u00a0\u00bb comme dans l’illustration ci-dessus.<\/p>\n\n\n\n

Le centre de la droite elliptique cherch\u00e9e (verte ci-dessus) est sur la perpendiculaire \u00e0 la demi-droite construite par l’outil \u00ab\u00a0report d’angle\u00a0\u00bb et sur la m\u00e9diatrice de \\(O\\) et \\(antiO\\). C’est le point \\(cSym\\). Le premier point de l’octogone est le sym\u00e9trique de \\(A\\) par rapport \u00e0 cette droite.<\/p>\n\n\n\n

Pr\u00e9f\u00e9rer lancer la figure dans l’\u00e9tat de l’illustration pr\u00e9c\u00e9dente<\/a> dans un nouvel onglet pour poursuivre la construction.<\/p>\n\n\n\n

Finalisation de l’octogone<\/strong><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Le point \\(B\\) est le sym\u00e9trique de \\(A\\) rapport \u00e0 la bissectrice\u00a0\u00bb verte. On construit ensuite \\((OB)\\) ce qui permet de construire \\(C\\) et ainsi de suite … Le point \\(D\\) est sur \\((OA)\\) car c’est le sym\u00e9trique de \\(A\\) par rapport \u00e0 \\(O\\). Donc on termine les sommets de l’octogone sans construire de nouvelles droites.<\/p>\n\n\n\n

Remarque : en pratique il est bien moins \u00ab\u00a0on\u00e9reux\u00a0\u00bb en terme d’objets de construire les droites et le sym\u00e9trique par rapport \u00e0 une droite plut\u00f4t que des sym\u00e9tries centrales qui construisent par d\u00e9faut les polaires des points.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Le polygone \u00e9toil\u00e9 P(8,3)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On construit alors les segments en sautant deux points. \u00c9ventuellement, se placer dans le cas o\u00f9 le cercle elliptique est repr\u00e9sent\u00e9 par un cercle euclidien (et pas deux arcs de cercle).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Pour des raisons esth\u00e9tiques, on cachera la gestion des segments : il y a 8 expressions l’une sur l’autre, m\u00eame si ce n’est pas indispensable non plus.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Finalisation<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On lance une animation sur \\(M\\), avec l’icone \u00ab\u00a0ressort\u00a0\u00bb, la derni\u00e8re icone \u00e0 droite de la palette de comportement.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

En arr\u00eatant l’animation quand \\(M\\) est en dehors du disque elliptique, on peut cacher \u00e0 la fois le cercle support, et m\u00eame le point \\(M\\) lui-m\u00eame, puis relancer l’animation.<\/p>\n\n\n\n

Pr\u00e9f\u00e9rer lancer la figure finalis\u00e9e<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Variante sur un polygone \u00e0 16 c\u00f4t\u00e9s<\/strong> (hexad\u00e9cagone<\/a>)<\/p>\n\n\n\n

On modifie simplement l’angle de la premi\u00e8re bissectrice<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Lancer la figure pr\u00e9c\u00e9dente (\u00e9tat de gauche<\/a> ou \u00e9tat de droite<\/a>) dans un nouvel onglet pour poursuivre la construction des points, ou encore l’hexad\u00e9cagone avec tous ses sommets<\/a> comme ci-dessous.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Une fois les 16 points du polygone construit, on peut choisir un des trois types du polygone \u00e9toil\u00e9, soit P(16,3), P(16,5) ou P(16,7), les autres choix produisant les m\u00eames polygones. Voici 5 illustrations de P(16,5). On cachera les 16 expressions \u00ab\u00a0gestion segment\u00a0\u00bb, puis le cercle support euclidien et le point \\(Anim\\) avant de relancer son animation, comme dans le cas de l’octogone.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pr\u00e9f\u00e9rer lancer cette figure<\/a> (un peu longue \u00e0 ouvrir) dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Variante hexad\u00e9cagone \u00e9toil\u00e9 P(16,7)<\/strong><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pr\u00e9f\u00e9rer lancer cette figure finie<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

R\u00e9alisation des premi\u00e8res macros<\/h2>\n\n\n\n

Rappel de l’obtention du mod\u00e8le plan depuis la sph\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Le mod\u00e8le utilis\u00e9 est donc le mod\u00e8le plan de Klein, projection st\u00e9r\u00e9ographique de la sph\u00e8re de Riemann, o\u00f9 les points oppos\u00e9s sont identifi\u00e9s. Pour rendre compte du mod\u00e8le plan, on part de la sph\u00e8re. Les points oppos\u00e9s sont identifi\u00e9s, et on projette la sph\u00e8re st\u00e9r\u00e9ographiquement depuis le p\u00f4le Nord sur le plan tangent au p\u00f4le Sud. <\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Les points \\(A\\) et \\(B\\) de la sph\u00e8re sont projet\u00e9s en \\(psA\\) et \\(psB\\) (\\(ps\\) pour \u00ab\u00a0projection st\u00e9r\u00e9ographique\u00a0\u00bb) Mais comme \\(A\\) est dans l’h\u00e9misph\u00e8re Nord, on projette aussi son sym\u00e9trique \\(sA\\) par rapport au centre de la sph\u00e8re, ce qui donne le point \\(aA\\) \u00e0 l’int\u00e9rieur du cercle, \\(a\\) pour antipodie – ici antipodie spatiale compos\u00e9e commutative de la sym\u00e9trie centrale de centre \\(O\\) et de la \\(ps\\). Dans le plan, \\(aA\\) est l’antipodie plane de \\(psA\\) c’est-\u00e0-dire la compos\u00e9e – toujours commutative – de la sym\u00e9trie de centre le centre du cercle et de l’inversion du m\u00eame cercle. Le point elliptique<\/strong> correspondant au point \\(A\\) de la sph\u00e8re est celui des deux (entre \\(psA\\) et \\(aA\\)) qui est \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur du disque de Klein, lui-m\u00eame projet\u00e9 de l’\u00e9quateur.<\/p>\n\n\n\n

On rappelle que les points oppos\u00e9s du cercle \\(Hz\\) sont identifi\u00e9s : pour la g\u00e9om\u00e9trie elliptique les points \\(ell_1\\) et \\(ell_2\\) sont un seul et m\u00eame point car c’est le cas des points de l’\u00e9quateur \\(e_1\\) et \\(e_2\\) sur la sph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

La droite elliptique passant par les points \\(psB\\) et \\(aA\\) (deux points du disque) est l’arc de cercle passant par ces deux points et coupant le cercle \\(Hz\\) en les points oppos\u00e9s \\(ell_1\\) et \\(ell_2\\) .<\/p>\n\n\n\n

Dans toute la suite – comme pour le cas hyperbolique – le disque du mod\u00e8le elliptique est centr\u00e9 sur l’origine du rep\u00e8re, ainsi le sym\u00e9trique d’un point \\(A\\) est le point \\(-A\\). Dans les macro constructions, le premier objet \u00e0 montrer est ce cercle de Klein.<\/p>\n\n\n\n

L’antipodie plane<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Elle se traite en une seule ligne en incorporant l’oppos\u00e9 d’un point dans la formule<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Le point elliptique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Le point elliptique est donc celui des deux points entre \\(A\\) et \\(antiA\\) qui est \u00e0 l’int\u00e9rieur du cercle<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Le sym\u00e9trique d’un point par rapport \u00e0 une droite<\/strong> est le point elliptique associ\u00e9 \u00e0 l’inverse du point par rapport \u00e0 la droite. <\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Cette illustration est essentiellement propos\u00e9e pour montrer le traitement effectu\u00e9 selon que l’inverse est pris selon un cercle (avec le cercle \\(Hz\\) en particulier) ou selon un arc de cercle. En effet, si le nom d’un cercle est une variable qui repr\u00e9sente son rayon, ce n’est pas le cas d’un arc de cercle. On prend donc un point \u00ab\u00a0du bord de la droite\u00a0\u00bb, le point \\(bAB\\) – qui est un point de d\u00e9finition de l’arc donc ne cr\u00e9e pas de point suppl\u00e9mentaire – et on utilise la distance \\(d(cAB, bAB)\\) \u00e0 la place du rayon. C’est aussi la raison pour laquelle on dispose de deux macros d’inversion, m\u00eame si on pourrait les unifier mais au pris d’ajouter quelques objets dans des situations o\u00f9 ce n’est pas n\u00e9cessaire.<\/p>\n\n\n\n

Construction d’une droite elliptique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La droite passant par \\(A\\) et \\(B\\) est l’arc de cercle passant par les points \\(A, B\\) et \\(antiA\\). Comme on dispose d’un outil de construction \u00ab\u00a0Cercle par 3 points\u00a0\u00bb, la construction se fait donc avec tr\u00e8s peu d’objets<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Contrairement \u00e0 ce qui a \u00e9t\u00e9 fait pour les macros hyperboliques du disque de Poincar\u00e9, ici, le premier des deux points s\u00e9lectionn\u00e9s est un objet de d\u00e9finition de l’arc repr\u00e9sentant la droite, ce qui servira pour la construction du p\u00f4le d’une droite.<\/p>\n\n\n\n

Construction du p\u00f4le d’une droite<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pour des raisons de sym\u00e9trie, le p\u00f4le d’une droite est sur la droite des centres – du cercle du mod\u00e8le et du cercle repr\u00e9sentant la droite. Toute droite ayant un point constituant \u00e0 l’int\u00e9rieur du cercle (ci-dessous \\(A\\)), on prend la perpendiculaire \u00e0 la droite en ce point – c’est-\u00e0-dire le cercle orthogonal. Son centre est l’intersection de la m\u00e9diatrice de \\(A\\) et \\(antiA\\), et de la perpendiculaire \u00e0 \\(c_{AB}A\\) en \\(A\\). Ce cercle coupe la demi-droite \\([O_{Hz} \\, c_{AB})\\) en le p\u00f4le de la droite.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

La perpendiculaire \u00e0 une droite passant par un point \\(M\\) – autre que le p\u00f4le de la droite – est la droite passant par \\(M\\) et le p\u00f4le de la droite.<\/p>\n\n\n\n

Les m\u00e9diateurs et les milieux<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La m\u00e9diatrice de \\(A\\) et \\(B\\) est un axe de sym\u00e9trie. On peut construire facilement d’abord celui qui passe \u00ab\u00a0entre\u00a0\u00bb les deux points, au sens euclidien, et ensuite le second. Tout d’abord si la sym\u00e9trie – sous forme d’inversion – \u00e9change \\(A\\) et \\(B\\) le centre du cercle associ\u00e9 est sur la droite \\((AB)\\). Le cercle passe aussi par le p\u00f4le de \\((AB)\\) puisque la m\u00e9diatrice est orthogonale \u00e0 la droite, et donc son centre est sur la m\u00e9diatrice du p\u00f4le de et son antipodie.
On a donc le centre par intersection de deux droites (ci-dessous orange et rouge bordeaux).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Le cercle de l’illustration, circonscrit \u00e0 \\(A, B\\) et \\(Pole_{AB}\\) ne sert pas dans cette construction. Il a \u00e9t\u00e9 ajout\u00e9 pour d\u00e9crire un autre argument. En notant provisoirement \\(K\\) le centre du cercle d’inversion cherch\u00e9, comme on doit avoir aussi \\(KA.KB = KP^2\\) par d\u00e9finition de l’inversion, ce point \\(K\\) – propri\u00e9t\u00e9 de la puissance d’un point – est aussi sur la perpendiculaire \u00e0 \\(c_{ABC}Pole_{AB}\\) en le p\u00f4le. Cette droite (verte ci-dessus) passe aussi par le centre cherch\u00e9 mais n’est pas utilis\u00e9 dans la constrution finale.c<\/p>\n\n\n\n

On construit ainsi, en tr\u00e8s peu d’objets, les deux centres des m\u00e9diatrices. Pour le second, on n’a pas besoin du centre \\(c_{ABC}\\), on utilise simplement la perpendiculaire \u00e0 \\(cMed_1 \\, Pole_{AB}\\) en le p\u00f4le. Les points \\(I\\) et \\(J\\), intersection des deux m\u00e9diatrices et de la droite \\((AB)\\) sont les milieux des deux points \\(A\\) et \\(B\\).<\/p>\n\n\n\n

Les macros angles – longueurs – distances – segments<\/h2>\n\n\n\n

Les angles \u00e9tant conformes (par la projection st\u00e9r\u00e9ographique) la construction est \u00e9l\u00e9mentaire<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

L’angle en \\(A\\) est le suppl\u00e9mentaire de l’angle form\u00e9 par les centres des droites elliptiques \\(c_{AC}Ac_{AB}\\) et si on veut l’afficher sur la figure, il faut prendre les perpendiculaires aux rayons et prendre l’angle \\(h_{AC}Ah_{AB}\\).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pour le fun … les marques d’un triangle tripolaire …<\/em><\/p>\n\n\n\n

Dans les pages du menu ELL<\/strong>, l’angle avait \u00e9t\u00e9 construit en pr\u00e9vision de la longueur puisque la longueur entre deux points \\(A\\) et \\(B\\) est l’angle \\(\\angle APB\\) o\u00f9 \\(P\\) est le p\u00f4le de \\((AB)\\).<\/p>\n\n\n\n

Longueur avec les nombres complexes<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La longueur d’une droite est \u00e9gale \u00e0 \\(\\pi\\), pour un cercle de rayon 1. On garde la m\u00eame longueur pour un cercle quelconque, puisque c’est fondamentalement proportionnel \u00e0 un angle. Comme on a utilis\u00e9 les nombres complexes dans certaines macros hyperboliques, on se propose de faire de m\u00eame ici. En effet la longueur elliptique entre deux points d’affixe \\(z_1, z_2\\) dans le cercle unit\u00e9 est donn\u00e9e par \\(long(A,B) = \\displaystyle 2 atan \\left \\vert \\frac{z_1-z_2}{1+\\bar{z_1}z_2} \\right \\vert\\), ce qui devient, pour un cercle de rayon \\(Hz\\) :<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Comparaison des deux m\u00e9thodes de calcul de la longueur<\/em><\/p>\n\n\n\n

La distance est alors \\(d(A,B) = min(180-long(A,B), long(A,B))\\).<\/p>\n\n\n\n

Segments<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Le segment elliptique est celle des deux parties de la droite de longueur inf\u00e9rieure \u00e0 90\u00b0, soit la partie euclidienne entre \\(A\\) et \\(B\\), soit l’ext\u00e9rieur, c’est-\u00e0-dire les deux arcs \\(bdA \\, A\\) et \\(bdB \\, B\\). On construit alors trois autres points, les milieux euclidiens des arcs, pour construire ces trois arcs. Sur l’illustration on a fait figur\u00e9 le calcul du milieu \\(mbdAA\\), et la gestion globale du segment elliptique.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Polaire d’un point<\/strong><\/p>\n\n\n\n

L\u00e0 encore, on trouve rapidement une construction \u00e9l\u00e9mentaire, avec peu d’objets interm\u00e9diaires. Voici une construction tr\u00e8s synth\u00e9tique. Soit \\(P\\) un point. Le centre euclidien de la polaire de \\(P\\) est sur la droite passant par \\(P\\) et son antipodique \\(antiP\\). On note \\(pC\\) le milieu de \\(P\\) et \\(antiP\\). Alors l’antipodique de ce point (\\(antipC\\) si dessous) est le centre euclidien cherch\u00e9. En fait, le cercle de centre \\(pC\\) passant par \\(P\\) donne les points \u00ab\u00a0\u00e9quateur\u00a0\u00bb de la polaire … ce qui inspire pour le centre euclidien de la polaire …<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Note technique<\/strong> : on aurait pu construire la polaire \u00e0 partir des points \\(Po_1, Po_m\\) et \\(Po_2\\). Mais \\(Po_m\\) \u00e9tant au milieu de l’arc, certaines macros (dont celle du P\u00f4le<\/strong>) utilisant ce \u00ab\u00a0point d\u00e9finition\u00a0\u00bb ne fonctionnent plus, deux droites dont on utilise l’intersection devenant parall\u00e8les. D’o\u00f9 l’ajout d’un autre point, \\(Po_{const}\\), l\u00e0 encore milieu euclidien sur l’arc des deux points \\(Po_m\\) et \\(Po_1\\).<\/p>\n\n\n\n

Les macros bissecteurs – Points bissecteurs – Cercle<\/h2>\n\n\n\n

Comme en g\u00e9om\u00e9trie elliptique, on dispose de la polarit\u00e9, on peut reprendre l’argument d\u00e9j\u00e0 d\u00e9taill\u00e9 dans cette page d’introduction au point de vue de Daniel Perrin<\/a>, et en particulier cette conclusion :<\/p>\n\n\n\n

\n

La question de l\u2019existence des bissectrices de deux droites est \u00e9quivalente \u00e0 celles des m\u00e9diatrices et milieux de leurs p\u00f4les.<\/p>\nDaniel Perrin – DPPartie4 – p99 (voir le lien ci-dessus)<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

\u00c9tant donn\u00e9es deux droites \\((AB)\\) et \\((AC)\\), les bissectrices et les points bissecteurs de ces deux droites sont les m\u00e9diatrices et les milieux de leurs p\u00f4les. Compte tenu des macros pr\u00e9c\u00e9dentes, la construction est imm\u00e9diate. Ci-dessous, en rouge les deux bissectrices des droites et leurs points bissecteurs \\(bissA_1\\)\\(bissA_2\\) qui sont \u00e0 la fois les centres de sym\u00e9trie des deux droites et les milieux de leurs p\u00f4les.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Comme milieu des p\u00f4les des droites, les deux points bissecteurs sont sur la polaire de \\(A\\), ce qui, g\u00e9om\u00e9triquement est une \u00e9vidence, car envoyant un point d’une droite sur l’autre droite la sym\u00e9trie centrale par rapport \u00e0 un point bissecteur ne peut envoyer \\(A\\) que sur lui-m\u00eame.<\/p>\n\n\n\n

Autre argument : un point bissecteur \u00e9tant le p\u00f4le de la bissectrice qui ne le contient pas, il se comporte comme la sym\u00e9trie orthogonale par rapport \u00e0 cette bissectrice, et donc laisse \\(A\\) invariant.<\/p>\n\n\n\n

Le cercle<\/strong> \\(\\mathbf{C(O, A)}\\)<\/p>\n\n\n\n

On construit trois points du cercle \u00e0 partir des points de r\u00e9f\u00e9rence \\(O\\) et \\(A\\), pour que cela passe aux macros. \u00e0 gauche le cercle elliptique est un cercle euclidien – que l’on appellera dans les macros le \u00ab\u00a0cercle support\u00a0\u00bb. dans l’illustration de droite, deux points sortes du cercle mod\u00e8le, les points \\(esA_1\\) et \\(esA_2\\) sont obtenus par la macro \u00ab\u00a0Point elliptique\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Contrairement aux autres pages sur les macros des diff\u00e9rents mod\u00e8les de g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes, pour d\u00e9mystifier un peu cette g\u00e9om\u00e9trie si particuli\u00e8re qu’est la g\u00e9om\u00e9trie elliptique – une g\u00e9om\u00e9trie born\u00e9e, non orientable – apr\u00e8s la section de pr\u00e9sentation des macros et de leurs utilisations, on propose au lecteur le d\u00e9tail […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[26,25],"tags":[],"jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_featured_media_url":"","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/6969"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=6969"}],"version-history":[{"count":42,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/6969\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8414,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/6969\/revisions\/8414"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=6969"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=6969"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=6969"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}