La r\u00e9alisation technique de quelques macros est d\u00e9taill\u00e9e en fin d’article. C’est \u00e0 consid\u00e9rer comme une petite \u00ab\u00a0ouverture du capot\u00a0\u00bb qui n’int\u00e9ressera que quelques lecteurs. C’est peut-\u00eatre aussi une simple mise en m\u00e9moire personnelle.<\/p>\n\n\n\n
Les macros de base propos\u00e9es<\/h2>\n\n\n\n
Cette premi\u00e8re s\u00e9rie de macros comprend cinq dossiers tr\u00e8s classiques sur lesquels on va donner quelques pr\u00e9cisions. Tout d’abord, on ne voit que les quatre premi\u00e8res lignes dans les macros personnelles, donc quand il y a plus de quatre macros, il faut faire d\u00e9rouler les macros.<\/p>\n\n\n\n
Ensuite, d’une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, toutes les macros ont comme premier objet initial le cercle horizon<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Toutes … sauf une ! la macro 3 du dossier Points<\/strong>, celle de sym\u00e9trie orthogonale par rapport \u00e0 une droite hyperbolique qui n’a pas besoin du cercle horizon. Pr\u00e9cisons un peu.<\/p>\n\n\n\n Le dossier 1.Points<\/strong><\/p>\n\n\n\n Sym ortho Arc 1 pt <\/strong>: le premier objet est une droite hyperbolique, soit un arc de cercle euclidien, et le second objet est le point.<\/p>\n\n\n\n Sym ortho Cercle 1 pt<\/strong> : elle aussi demande seulement un cercle et un point. Mais elle ne sera en g\u00e9n\u00e9rale utilis\u00e9e – pour des situations bien sp\u00e9cifiques – qu’avec le cercle horizon. C’est pour cela qu’elle n’est pas comptabilis\u00e9e comme \u00ab\u00a0diff\u00e9rente\u00a0\u00bb. Dans cet article, on s’en servira deux fois dans la section \u00ab\u00a0pavage non constructible\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n\n Le fait qu’il y ait ces deux macros 3 et 5<\/strong> du dossier Points<\/strong> pour un m\u00eame r\u00e9sultat, vient de la diff\u00e9rence des objets constitutifs des arcs de cercle et des cercles.<\/p>\n\n\n Intersection de deux droites<\/strong> : comme on l’a largement d\u00e9taill\u00e9 sur la page Continuit\u00e9 et d\u00e9terminisme<\/a> de pr\u00e9sentation de DGPad, dans le contexte des droites hyperboliques il faut utiliser une macro pour que le point d’intersection de deux droites ou segments hyperboliques soit ind\u00e9pendante de l’orientation euclidienne des objets utilis\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n La distance entre deux points est plac\u00e9e dans le dossier 5.<\/p>\n\n\n\n Le dossier 2.Droites<\/strong><\/p>\n\n\n\n Rien de particulier \u00e0 pr\u00e9ciser. On peut n\u00e9anmoins signaler que si une droite devait \u00eatre d\u00e9finie par deux points id\u00e9aux, on peut utiliser la macro Segment<\/strong>, cela utilisera moins d’objets interm\u00e9diaires. Le dossier 9 Avec Id\u00e9aux<\/strong> est pr\u00e9sent\u00e9 plus loin.<\/p>\n\n\n\n Le dossier 3.Cycles<\/strong><\/p>\n\n\n\n Il y a trois macros de cercles,<\/strong> une premi\u00e8re, usuelle, par centre et point, et une seconde par centre et rayon donn\u00e9 sous forme d’une expression, et une troisi\u00e8me par centre et \\(ch(r)\\) le cosinus hyperbolique du rayon car c’est souvent par son \\(ch\\) qu’une longueur est donn\u00e9e, en particulier en trigonom\u00e9trie hyperbolique. Cette macro permet de construire, par exemple, un triangle d’angles donn\u00e9s quelconques. Ci-dessous on a utilis\u00e9 les deux macros de cercle avec une expression, juste pour tester leur validit\u00e9.<\/p>\n\n\n On peut commencer par reproduire cette simple construction avec la figure propos\u00e9e en fin de cette section. On peut simplement pr\u00e9f\u00e9rer lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n Dans ce dossier Cycles<\/strong>, il y a aussi l’\u00e9quidistante, et simplement l’horicycle par centre (qui est un point id\u00e9al) et un point. <\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n Le dossier 4.Pinceaux<\/strong><\/p>\n\n\n\n Pour ces macros, il faut donner d’abord le cercle horizon comme d’habitude puis, selon les macros, deux ou plusieurs droites hyperboliques. Par exemple pour la macro des hauteurs : 2 Dtr de Pab Ortho<\/strong>, on montre le cercle horizon, deux droites d\u00e9finissant un pinceau et la droite dont on veut la perpendiculaire issue du pinceau. L’intersection de deux pinceaux attend 4 droites apr\u00e8s le cercle horizon.<\/p>\n\n\n\n Cycle Pinceau Pt<\/strong> construit le cycle (cercle ou \u00e9quidistante selon que le pinceau soit \u00ab\u00a0\u00e0 centre\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0\u00e0 axe\u00a0\u00bb) image d’un point par un pinceau. La macro est \u00ab\u00a0minimaliste\u00a0\u00bb dans la mesure o\u00f9 l’on n’a pas ajout\u00e9 l’horicycle qui n\u00e9cessiterait un traitement un peu plus lourd alors que, sauf si elle est provoqu\u00e9e – par exemple par une aimantation – la situation ne se rencontre jamais en manipulation directe. \u00c9tant donn\u00e9 un trilat\u00e8re – les trois droites en orange – on construit ses bissectrices, par la macro pr\u00e9sent\u00e9e apr\u00e8s celle-ci, ce sont les droites bleues plus \u00e9paisses. On cherche \u00e0 avoir un point du cycle inscrit, ind\u00e9pendamment du type de cycle. Pour cela on prend la perpendiculaire \u00e0 une droite du trilat\u00e8re issue du pinceau de deux des bissectrices. Cela donne la droite rose, avec le point \u00ab\u00a0pied\u00a0\u00bb (par la macro Intersection de deux droites<\/strong>). La macro Cycle Pinceau Pt<\/strong> appliqu\u00e9e au cercle horizon, deux des trois bissectrices et le point \u00ab\u00a0pied\u00a0\u00bb donne l’\u00e9quidistante \u00e0 gauche avec ses deux points id\u00e9aux, et en m\u00eame temps le cercle \u00e0 droite avec l’intersection des droites du pinceau quand il devient \u00ab\u00a0\u00e0 centre\u00a0\u00bb. On n’a pas ajout\u00e9 dans la macro l’axe des bissectrices quand le pinceau est \u00ab\u00a0\u00e0 axe\u00a0\u00bb car il est souvent d\u00e9j\u00e0 trac\u00e9. Mais si on devait le faire, il suffit de construire le segment (plut\u00f4t que la droite) passant par les deux points id\u00e9aux marqu\u00e9s d’une petite croix. Et bien entendu, on illustre que le cycle construit est tangent aux deux autres droites du trilat\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n Biss Orient 2 drt Or<\/strong> construit un axe de sym\u00e9trie de deux droites, soit sa bissectrice quand les deux droites ne sont pas s\u00e9cantes ou une des deux bissectrices si elles sont s\u00e9cantes. On sait qu’il y a l\u00e0 une difficult\u00e9 compte tenu des limites th\u00e9oriques qui existent entre la continuit\u00e9 et le d\u00e9terminisme<\/a>. C’est pour cela que cette macro utilise – si on l’a anticip\u00e9, et c’est pr\u00e9f\u00e9rable – des droites orient\u00e9es (voir le dossier 9 Avec Id\u00e9aux<\/strong>) ce qui permet de r\u00e9aliser une bissectrice de deux droites qui reste le plus \u00ab\u00a0longtemps possible\u00a0\u00bb dans la continuit\u00e9 d’une des deux bissectrices quand ces deux droites deviennent s\u00e9cantes. Mais on sait que, quelque soit le traitement pr\u00e9vu, cela ne peut maintenir compl\u00e8tement continuit\u00e9 et d\u00e9terminisme. Cette macro a \u00e9t\u00e9 mise au point pour plus de continuit\u00e9 dans les \u00ab\u00a0quadrisectrices\u00a0\u00bb (bissectrices de bissectrices) dans la construction de Malfatti de trilat\u00e8res dans le disque de Poincar\u00e9<\/a> (voir par exemple la galerie au sujet de \u00ab\u00a0la construction\u00a0\u00bb).<\/p>\n\n\n\n Produit abc A<\/strong>, est une macro plus dans l’esprit \u00ab\u00a0Bachmann\u00a0\u00bb car elle renvoie le produit de trois droites. Les objets initiaux sont, le cercle horizon, les trois droites dans l’ordre o\u00f9 l’on veut le produit et un point de la premi\u00e8re droite choisie.<\/p>\n\n\n\n Le dossier 5.Calculs<\/strong><\/p>\n\n\n\n Ce sont d’abord trois macros de base, la distance de 2 points<\/strong>, le cosinus hyperbolique de la distance de deux points ch de distance 2 pts<\/strong> et la mesure d’un angle<\/strong>, en ne donnant, apr\u00e8s le cercle horizon, que 3 points, les centres des arcs de cercles \u00e9tant recalcul\u00e9s dans la macro. Plusieurs autres macros sur les angles peuvent \u00eatre d\u00e9couvertes dans les figures du site, elles n’ont pas \u00e9t\u00e9 reprises, \u00e9tant souvent sp\u00e9cifiques d’une situation.<\/p>\n\n\n\n Les quatre derni\u00e8res macros compl\u00e8tent le \u00ab\u00a0clavier math\u00e9matique\u00a0\u00bb qui s’ouvre quand on active l’outil expression avec les lignes trigonom\u00e9triques hyperboliques les plus utilis\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Le dossier 9.Avec Points id\u00e9aux<\/strong><\/p>\n\n\n\n Ces macros sont les m\u00eames que celles du dossier 2 sur les droites, o\u00f9 l’on fait appara\u00eetre les points id\u00e9aux. Toutefois, la premi\u00e8re renvoie une droite orient\u00e9e<\/strong> : soient deux points \\(A\\) et \\(B\\) la macro renvoie la droites avec ses points id\u00e9aux \\(IdAor\\) et \\(IdBor\\) qui restent, respectivement du c\u00f4t\u00e9 de \\(A\\) et \\(B\\) quelque soit l’orientation de l’arc de cercle repr\u00e9sentant la droite, ce qui n’est pas le cas des autres macros de droites du dossier 2. Lancer la figure de base avec toutes ces macros<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n Dans les deux sections suivantes on propose diff\u00e9rentes constructions, d’abord, dans la premi\u00e8re, sur des figures de bases, et dans la seconde, on propose un (d\u00e9but) de pavage non constructible \u00e0 la r\u00e8gle et au compas.<\/p>\n\n\n\n Premier contact – Le cycle circonscrit d’un triangle<\/strong><\/p>\n\n\n\n On peut commencer par des figures de triangles : le cycle circonscrit est l’occasion d’utiliser une macro de pinceau : Cycle par pinceau et point<\/strong> : deux m\u00e9diatrices et un sommet du triangle, cela cr\u00e9e donc \u00e0 la fois le cercle, comme \u00e0 gauche, et l’\u00e9quidistante, comme \u00e0 droite.<\/p>\n\n\n Comment forcer le cycle circonscrit \u00e0 devenir un horicycle ?<\/strong><\/p>\n\n\n\n Cette figure \u00e9l\u00e9mentaire est l’occasion de montrer comment incorporer le cas des m\u00e9diatrices \u00ab\u00a0sans support\u00a0\u00bb dans une figure – plus g\u00e9n\u00e9ralement \u00ab\u00a0le cas sans support\u00a0\u00bb dans n’importe quelle figure. Pour cela, il faut reprendre cette figure avec une des m\u00e9diatrices – celle de \\(A\\) et \\(B\\) – avec ses points id\u00e9aux.<\/p>\n\n\n Pour tester rapidement la manipulation suivante on peut lancer la figure en cet \u00e9tat<\/a> dans un nouvel onglet. Avec la palette de construction (donc fl\u00e8che gauche du tableau de bord activ\u00e9e) utiliser l’outil Cercle par trois points<\/strong> en l’appliquant au point carr\u00e9 et construire le cercle circonscrit passant par ce point carr\u00e9, le point \\(B\\) (illustration de gauche en cours de manipulation) et au point \\(A\\) (illustration de droite).<\/p>\n\n\n Le futur horicycle est ainsi trac\u00e9. Reste \u00e0 y \u00ab\u00a0coller\u00a0\u00bb le point \\(C\\). Cela se fait avec l’outil Aimantation<\/strong> de la palette de comportement comme ceci :<\/p>\n\n\n Pr\u00e9f\u00e9rer lancer la figure finale (avec les am\u00e9liorations conditionnelles)<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n Dans la suite on ne d\u00e9taillera pas les constructions.<\/p>\n\n\n\n Le cercle inscrit et les cycles exinscrits<\/strong><\/p>\n\n\n\n Lancer la figure de base avec toutes ses macros<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n On peut continuer sur les triangles comme cette figure d\u00e9j\u00e0 propos\u00e9e dans le menu DP<\/strong>. On utilise la m\u00eame d\u00e9marche que ci-dessus avec la macro Cycle par pinceau et point<\/strong>.<\/p>\n\n\n \u00e0 gauche trois \u00e9quidistantes circonscrites, \u00e0 droite, un cercle, une \u00e9quidistante et un horicycle<\/em>.<\/p>\n\n\n\n Jouer avec les macros du dossier 5 <\/strong><\/p>\n\n\n\n On peut s’amuser aussi \u00e0 illustrer les formules de g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique comme les ont montr\u00e9es Bolya\u00ef et Lobatchevsky. Voici un rappel de ces formules d\u00e9j\u00e0 illustr\u00e9es \u00e0 la fin de cet article sur le manuscrit de Bolya\u00ef<\/a> :<\/p>\n\n\n\n Lancer la figure de base avec toutes ses macros<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n ou encore dans le triangle rectangle<\/p>\n\n\n Le triangle podaire d’un trilat\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n On propose de poursuivre avec les trilat\u00e8res, mais ces figures peuvent se faire aussi sur des triangles. Le pinceau des hauteurs d’un trilat\u00e8re est aussi le pinceau des bissectrices du triangle des pieds des hauteurs. Il y a un cycle inscrit ou exinscrit.<\/p>\n\n\n\n Lancer la figure de base avec toutes ses macros<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n \u00e0 gauche le cercle inscrit classique (des triangles), \u00e0 droite une \u00e9quidistante exinscrite au triangle podaire<\/em><\/p>\n\n\n\n Le point de Gergonne d’un trilat\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n On commence par construire le cycle inscrit (\u00e0 gauche le cercle, \u00e0 droite une \u00e9quidistante) puis les points de contact (\u00e0 gauche \\(h_A, h_B, h_C\\), \u00e0 droite \\(e_A, e_B, e_C\\), ce sont des points diff\u00e9rents), puis les droites des pinceaux de deux droites passant par le point de contact de la troisi\u00e8me droite.<\/p>\n\n\n\n Lancer la figure de base avec toutes ses macros<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n Le remplissage de droite est juste esth\u00e9tique, il n’a pas de sens math\u00e9matique. Dans un prochain article, on proposera plusieurs dossiers de remplissages pour faire cela automatiquement.<\/p>\n\n\n\n Les points bissecteurs d’un trilat\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n C’est plus technique, mais cela peut \u00eatre int\u00e9ressant. <\/p>\n\n\n\n Lancer la figure de base avec toutes ses macros<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n On construit les points bissecteurs d’un trilat\u00e8re, les points \\(I, J, K\\) ci-dessous, en suivant les d\u00e9tails de cette reprise d’une page sur l’axiomatique de Bachmann.<\/p>\n\n\n On peut aussi choisir d’ouvrir cette figure AVEC les macros de cette page<\/a> pour faire la manipulation suivante :<\/p>\n\n\n\n Simplement prendre un point sur l’une des droites de base du trilat\u00e8re, puis, avec la macro de point Sym\u00e9trie centrale<\/strong>, faire le sym\u00e9trique de ce point par rapport aux deux points bissecteurs concern\u00e9s par cette droite et v\u00e9rifier (de visu), en d\u00e9pla\u00e7ant le point, que l’image appartient \u00e0 l’autre droite dont le point est bissecteur avec la droite choisie. <\/p>\n\n\n\n On rappelle qu’en notant \\(r_{nk}\\) le rayon du cercle de pavage de \\(P(n,k)\\) et \\(ch_{nk}=ch(r_{nk})\\) on a \\(ch_{nk}=\\displaystyle cotan \\left( \\frac{\\pi}{n} \\right) \\; cotan \\left( \\frac{\\pi}{k} \\right)\\). On a d\u00e9j\u00e0 r\u00e9alis\u00e9 de nombreux pavages constructibles<\/strong> dans ce pr\u00e9c\u00e9dent article<\/a>. Mais ici, avec le compas de rayon \\(ch(r)\\), on se propose de construire la g\u00e9n\u00e9ration 1 du \u00ab\u00a0plus petit\u00a0\u00bb pavage r\u00e9alisable, \u00e0 savoir \\(P(7,3)\\), puisque \\(\\displaystyle \\frac{1}{7} + \\frac{1}{3} = \\frac{10}{21} < \\frac{1}{2}\\), et c’est le plus proche de \\(\\displaystyle \\frac{1}{2}\\) de tous les pavages possibles.<\/p>\n\n\n\n On a donc \\(ch_{73}=\\displaystyle cotan \\left( \\frac{\\pi}{7} \\right) \\; cotan \\left( \\frac{\\pi}{3} \\right)\\).<\/p>\n\n\n\n Lancer une nouvelle figure avec les macros pr\u00e9c\u00e9dentes et quelques autres<\/a> (pour la surprise finale !) dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n Le cercle de pavage<\/strong><\/p>\n\n\n\n On continue de travailler en degr\u00e9s, donc on entre cette expression, puis on construit le cercle de pavage par la macro Cercle Centre ChR<\/strong> depuis un point \\(O\\).<\/p>\n\n\n On prend ensuite un point \\(M\\) sur le cercle, puis on construit le segment \\([OM]\\), et, avec la gomme activ\u00e9e, on montre le centre du cercle qui est a priori cach\u00e9. Il n’est pas nomm\u00e9 \\(oOM\\) par d\u00e9faut, on l’a renomm\u00e9 avec la palette d’aspect des objets (icone roue du tableau de bord).<\/p>\n\n\n\n La rotation de centre <\/strong>\\(\\mathbf{O}\\) d’angle<\/strong> \\(\\mathbf{\\displaystyle \\frac{2\\pi}{7}}\\).<\/p>\n\n\n\n C’est la seule partie qui n\u00e9cessite de connaitre un peu plus le logiciel. Tout d’abord pour \u00e9viter les probl\u00e8mes d’orientation on va obtenir la premi\u00e8re image de la rotation par la sym\u00e9trie orthogonale de \\(M\\) par rapport \u00e0 la bissectrice de l’angle, donc par une rotation d’angle moiti\u00e9 \\(\\displaystyle \\frac{2\\pi}{14}\\), soit \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{7}\\). Cela se construit sur la base que le mod\u00e8le est conforme, donc avec les tangentes euclidiennes aux droites hyperbolique. En pratique on fait comme ceci :<\/p>\n\n\n On a donc la tangente euclidienne \u00e0 \\([OM]\\) et l’angle voulu par rapport \u00e0 cette tangente pour construire la droite hyperbolique tangente \u00e0 cette demi-droite passant par \\(O\\).<\/p>\n\n\n\n Passant par \\(O\\) : le centre est sur la m\u00e9diatrice de \\(O\\) et de son inverse \\(invO\\) par rapport au cercle horizon : c’est une occasion d’utiliser la 5\u00b0 macro du dossier Point<\/strong> : Sym Ortho Cercle 1pt<\/strong>. Le centre est aussi sur la perpendiculaire en \\(O\\) \u00e0 la demi-droite tangente (demi-droite verte ci-dessous). On a le centre euclidien de la droite hyperbolique cherch\u00e9e : on construit le cercle de centre ce point passant par \\(O\\). C’est la bissectrice de l’angle au centre de l’heptagone entre \\(M\\) et le premier point A de l’heptagone. Et donc, \u00e0 nouveau, l’inverse \u00ab\u00a0Sym Ortho Cercle 1pt<\/strong>\u00a0\u00bb par rapport \u00e0 cette droite (sous sa forme pr\u00e9liminaire du cercle marron) donne le point \\(A\\). On construit, avec la macro Droite 2 pts<\/strong>, la droite \\((OA)\\) : on a ainsi un second axe de sym\u00e9trie de l’heptagone.<\/p>\n\n\n Le premier heptagone et v\u00e9rifications num\u00e9riques<\/strong><\/p>\n\n\n\n Les deux axes de sym\u00e9trie \\((OM)\\) et \\((OA)\\) suffisent pour construire l’heptagone r\u00e9gulier, on arrive alors tr\u00e8s vite \u00e0 cette premi\u00e8re \u00e9tape (\u00e0 gauche).<\/p>\n\n\n On peut choisir aussi de lancer une figure pr\u00e9construite avec l’heptagone central<\/a>.<\/p>\n\n\n\n Puis on termine rapidement la g\u00e9n\u00e9ration 1 de ce pavage<\/p>\n\n\n Petit bonus<\/strong><\/p>\n\n\n\n Les deux figures pr\u00e9c\u00e9dentes au lancement contiennent des macros suppl\u00e9mentaires de remplissage d’heptagones. On montre le cercle horizon et les 7 points de l’heptagone. Ces macros ajoutent des \u00ab\u00a0listes de segments\u00a0\u00bb et donc pas vraiment d’objets (m\u00eame les centres des segments sont recalcul\u00e9s) : chaque remplissage est \u00ab\u00a0un objet\u00a0\u00bb de la construction. C’est une des (nombreuses) subtilit\u00e9s du logiciel. <\/p>\n\n\n On peut donc jouer avec pour faire des choses comme cela :<\/p>\n\n\n On peut lancer cette figure finale<\/a> dans un nouvel onglet … mais c’est aussi tr\u00e8s sympa de la faire soi-m\u00eame …<\/p>\n\n\n\n Compl\u00e9ments : les g\u00e9n\u00e9rations 2 et 3<\/strong><\/p>\n\n\n Lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet (\\(M\\) est anim\u00e9, d\u00e9placer \\(O\\) pendant l’animation)<\/p>\n\n\n\n Et la g\u00e9n\u00e9ration 3<\/strong><\/p>\n\n\n Lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet (\\(M\\) est anim\u00e9, d\u00e9placer \\(O\\) pendant l’animation).<\/p>\n\n\n\n Le lien avec la \u00ab\u00a0quartique de Klein\u00a0\u00bb<\/strong><\/p>\n\n\n\n Si vous ouvrez des ouvrages de g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique ou des articles sur les pavages hyperboliques, ce premier pavage \\(P(7,3)\\) – c’est-\u00e0-dire d’heptagones d’angles de 120\u00b0 – est plut\u00f4t pr\u00e9sent\u00e9 avec des triangles rectangles, en prenant la bissectrice de \\(MOA\\) des figures pr\u00e9c\u00e9dentes. On parle alors du pavage \\(P(2, 3, 7)\\), ce qui signifie alors qu’il est construit \u00e0 partir de triangles d’angles respectivement \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{3},\\frac{\\pi}{7} \\). Il est alors souvent pr\u00e9sent\u00e9 sous cette forme :<\/p>\n\n\n Pour passer du pavage pr\u00e9c\u00e9dent \u00e0 celui-ci, il suffit de prendre le milieu des points \\(A\\) et \\(M\\), le reste se fait par des sym\u00e9triques par rapport \u00e0 un segment ou une droite hyperbolique. Mais on voit bien qu’il y a autre chose dans cette construction. Il s’agit d’une repr\u00e9sentation hyperbolique du groupe simple d’ordre 168 de la quartique de Klein.<\/p>\n\n\n\n C’est assez technique et n\u00e9cessiterait un article d\u00e9di\u00e9. En attendant, on peut consulter cette vid\u00e9o de Jos Leys<\/a> ou celle-ci du m\u00eame auteur<\/a> (336 triangles et 24 heptagones) ou, plus li\u00e9e directement aux heptagones, cette vid\u00e9o de Tim Hutton<\/a> (2 min) mais aussi les conf\u00e9rences de Daniel Perrin sur le sujet<\/a> (sur la quartique de Klein, les deux conf\u00e9rences de 2008 et les 7 figures associ\u00e9es – faites alors en Cabri-g\u00e9om\u00e9tre \u00e0 l’\u00e9poque). voici une version dynamique o\u00f9 on peut d\u00e9placer le centre \\(a\\) du premier heptagone et \\(M\\) sur le cercle de pavage, avec les notations de Daniel Perrin dans sa \u00ab\u00a0figure 7\u00a0\u00bb..<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/Macro_Planche1_Calculs.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/TRpar3angles.jpg\")
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Voici un exemple classique d’utilisation : le cycle inscrit d’un trilat\u00e8re<\/p>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/Illustre-Macro-Cycle-Pinceau-1024x508.jpg\")
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La m\u00e9diatrice de 2 points avec ses points id\u00e9aux permet de construire tout de suite, simplement par l’item euclidien \u00ab\u00a0Cercle par 3 points<\/strong>\u00a0\u00bb de la palette d’outils de DGPad, les deux horicycles passant par ces deux points. On notera que l’\u00e9ventuelle inversion des points id\u00e9aux pendant la manipulation n’est pas un probl\u00e8me dans ce cas.<\/p>\n\n\n\nProposition de quelques figures \u00e0 r\u00e9aliser
pour manipuler ces macros<\/h2>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/Cycle-Circonscrit-TR-petit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/CycleCircMedABid.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/AjoutManuelHoricycle-petit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/ExplikAimantation-Petit_Texte-1-1024x664.jpg\")
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<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/LesTrianglesPodaires_petit-1024x505.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/PresenteGergonnePetit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/Bachmann_PointBissecteurs.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nR\u00e9aliser un pavage non constructible<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/IntroPav73Petit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/PrepareRotation-petit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/PrepierPointHeptagone.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/HeptagoneBase.jpg\")
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<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/P237_Kein_Remplis-1.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/MacroSegmentDP.jpg\")
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