Nous arrivons maintenant \u00e0 l’une des plus belles parties de la th\u00e9orie de la g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne, qui est une autre illustration de l’utilit\u00e9 de l’alg\u00e8bre abstraite. C’est le tour de force de Hilbert, que de construire un corps \u00e0 partir de la g\u00e9om\u00e9trie d’un plan hyperbolique. De la m\u00eame mani\u00e8re que le calcul segmentaire nous a aid\u00e9 \u00e0 comprendre la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne, ce corps nous aidera dans notre \u00e9tude de la g\u00e9om\u00e9trie non-euclidienne. En l’utilisant, nous pouvons prouver des r\u00e9sultats tels que la construction parall\u00e8le de Bolyai(*)<\/sup> ou le th\u00e9or\u00e8me sur les trois hauteurs d’un triangle. […]. Finalement nous pourrons montrer que le plan hyperbolique est uniquement caract\u00e9ris\u00e9 par son corps associ\u00e9, et est en fait isomorphe au mod\u00e8le de Poincar\u00e9 sur ce corps.<\/p>\n\n\n\n (*) il faut entendre \u00ab\u00a0sans hypoth\u00e8se de continuit\u00e9\u00a0\u00bb<\/p>\n\u00ab\u00a0Geometry : Euclid and beyond\u00a0\u00bb – Robin Hartshorne – p 388 (3\u00b0 \u00e9dition) – Springer<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n Cet article reprend la d\u00e9marche et les illustrations telles qu’on les trouve dans l’\u00e9dition critique de r\u00e9f\u00e9rence de Paul Rossier (Dunod – 1971) sur \u00ab\u00a0les fondements de la g\u00e9om\u00e9trie\u00a0\u00bb de Hilbert. On le consid\u00e8rera comme un modeste hommage au \u00ab\u00a0tour de force\u00a0\u00bb de Hilbert.<\/p>\n\n\n\n Bien entendu les illustrations se font dans le mod\u00e8le \u00ab\u00a0r\u00e9el\u00a0\u00bb – donc avec continuit\u00e9 – du disque de Poincar\u00e9.<\/p>\n\n\n\n On consid\u00e8re un plan de Hilbert, c’est-\u00e0-dire une g\u00e9om\u00e9trie plane qui reprend les trois premiers groupes d’axiomes<\/a> : ceux d’incidence (I.1. \u00e0 I.3 seulement car on reste dans un plan), ceux d’ordre (II.1 \u00e0 II.4) et les cinq axiomes de congruence (III.1 \u00e0 III.5). A partir de ce plan g\u00e9n\u00e9ral – et des premiers th\u00e9or\u00e8mes qui en d\u00e9coule (existence de perpendiculaires, milieu, m\u00e9diatrices, sym\u00e9tries orthogonales et centrales, th\u00e9or\u00e8mes de congruence sur les triangles, propri\u00e9t\u00e9s des triangles isoc\u00e8les, bissectrices) – Hilbert ajoute, \u00e0 la place de l’axiome IV<\/strong> sur les parall\u00e8les, un autre axiome IV<\/strong>, d’hyperbolicit\u00e9, (\u00e0 rapprocher de l’axiome \\( \\mathbf{H}\\)<\/strong><\/strong> de Bachmann<\/a> m\u00eame si le contexte est diff\u00e9rent) dans une d\u00e9marche proche de celle de Bolya\u00ef, de la fa\u00e7on suivante :<\/p>\n\n\n\n Axiome IV<\/strong> : Soit \\(b\\) une droite et \\(A\\) un point qui lui est ext\u00e9rieur. Par \\(A\\), il passe deux demi-droites \\(a_1\\) et \\(a_2\\), qui ne sont pas port\u00e9es par une unique droite, et qui ne coupe pas la droite \\(b\\) alors que toute droite int\u00e9rieure \u00e0 l’angle form\u00e9 par \\(a_1\\) et \\(a_2\\) coupe \\(b\\).<\/p>\n\n\n\n Cet axiome est aussi not\u00e9 Axiome L<\/strong> dans les ouvrages anglo-saxons, comme axiome fondamental de la g\u00e9om\u00e9trie de L<\/strong>obatchevsky.<\/em><\/p>\n\n\n\n Cet axiome, associ\u00e9 aux axiomes de congruence, est suffisamment fort pour reconstruire la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique plane d’une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rique.<\/p>\n\n\n\n Hilbert commence par les<\/strong> notations et la d\u00e9finition<\/strong> suivantes : Il poursuit par cette remarque : \u00ab\u00a0De l\u00e0 r\u00e9sulte le fait que si une droite ou une demi-droite est parall\u00e8le \u00e0 une autre droite ou demi-droite, alors la seconde est parall\u00e8le \u00e0 la premi\u00e8re\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n\n Pour la r\u00e9daction de son \u00e9dition critique, l’attention de Mr Rossier a \u00e9t\u00e9 attir\u00e9e sur le fait que cette assertion n’est pas aussi \u00e9vidente que cela. Et donc il la d\u00e9montre (page 225), ce que nous ne reproduirons pas ici. Enfin Hilbert termine cette introduction par la transitivit\u00e9 des demi-droites parall\u00e8les : deux demi-droites parall\u00e8les \u00e0 une m\u00eame troisi\u00e8me sont parall\u00e8les entre elles.<\/p>\n\n\n\n On remarque que cette d\u00e9finition et ces propri\u00e9t\u00e9s sont analogues \u00e0 celles utilis\u00e9es par Bolya\u00ef<\/a>.<\/p>\n\n\n\n Les extr\u00e9mit\u00e9s – D\u00e9finition<\/strong><\/p>\n\n\n\n Chaque demi-droite d\u00e9termine une extr\u00e9mit\u00e9<\/strong>. Toutes les demi-droites parall\u00e8les entre elles d\u00e9terminent la m\u00eame extr\u00e9mit\u00e9. On note \\((A, \\alpha)\\) une demi-droite d’origine \\(A\\) et d’extr\u00e9mit\u00e9 \\(\\alpha\\). Une droite poss\u00e8de deux extr\u00e9mit\u00e9s. Nous d\u00e9signerons par \\((\\alpha, \\beta)\\) une droite d’extr\u00e9mit\u00e9s \\(\\alpha\\) et \\(\\beta\\).<\/p>\n\n\n\n Congruence de figures avec une extr\u00e9mit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n On se donne deux couples de points \\((A, B)\\) et \\((A’, B’)\\) ainsi que deux extr\u00e9mit\u00e9s \\(\\alpha\\) et \\(\\alpha’\\) tels que: L’angle form\u00e9 par \\([BA]\\) et la demi-droite \\((B, \\alpha)\\) est alors \u00e9gal \u00e0 l’angle form\u00e9 par \\([B’A’]\\) et la demi-droite \\((B’, \\alpha’)\\). On dit que les deux figures <\/strong>\\(\\mathbf{AB\\alpha}\\) et <\/strong>\\(\\mathbf{A’B’\\alpha’}\\) sont congruentes<\/strong>.<\/p>\n\n\n Dans le mod\u00e8le de Poincar\u00e9, les extr\u00e9mit\u00e9s sont tout simplement les points id\u00e9aux sur le cercle horizon.<\/em><\/p>\n\n\n\n Rappel<\/strong> : le mod\u00e8le est conforme, les angles sont ceux des tangentes des arcs de cercles, ici repr\u00e9sent\u00e9s par les mesures entre les tangentes, ce qui explique que les marques ne vont pas jusqu’aux arcs eux-m\u00eames (\u00e0 l’origine, pour \u00e9viter des lourdeurs de construction dans les figures complexes)<\/p>\n\n\n\n Le m\u00e9moire de Hilbert commence alors par une s\u00e9rie de 5 lemmes sur les premi\u00e8res propri\u00e9t\u00e9s de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, pour arriver au r\u00e9sultat de la composition de trois sym\u00e9tries orthogonales de droites parall\u00e8les qui permet ensuite de d\u00e9finir les op\u00e9rations du corps des extr\u00e9mit\u00e9s. Les lecteurs un peu press\u00e9s peuvent r\u00e9server cette premi\u00e8re section \u00e0 une seconde lecture, m\u00eame si on y voit comment Hilbert utilise ses axiomes de congruence.<\/p>\n\n\n\n Lemme 1. Si deux droites coupent une troisi\u00e8me en formant des angles alternes congruents, elles ne sont pas parall\u00e8les.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Preuve<\/strong> : Supposons que ces deux droites soient parall\u00e8les d’un c\u00f4t\u00e9. Consid\u00e9rons le milieu du segment coup\u00e9 par la s\u00e9cante. Autour de ces points, faisons tourner l’une des droites d’un demi-tour : ceci est r\u00e9alisable en utilisant un triangle avec extr\u00e9mit\u00e9 selon la propri\u00e9t\u00e9 pr\u00e9c\u00e9dente. Alors les deux droites seraient parall\u00e8les selon aussi le second \u00f4t\u00e9, ce qui est exclu par l’axiome IV<\/strong>.<\/p>\n\n\n Angles alternes congruents et non parall\u00e9lisme<\/em><\/p>\n\n\n\n Lemme 2 : Il existe une perpendiculaire commune \u00e0 deux droites non s\u00e9cantes et non parall\u00e8les.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Nous reproduisons la d\u00e9monstration de Hilbert, illustr\u00e9e d’une figure dynamique, pour voir l’utilisation forte qu’il fait des axiomes de congruence et d’ordre. Certaines notations sont propres \u00e0 cette figure, en particulier les extr\u00e9mit\u00e9s des droites ne sont pas nomm\u00e9es dans la preuve de Hilbert.<\/p>\n\n\n\n Soient donc deux droites \\(a\\) et \\(b\\), non s\u00e9cantes et non parall\u00e8les. Dans la figure ci-dessous, on a not\u00e9 \\(a_{\\alpha}, a_{\\beta}, b_{\\alpha}, b_{\\beta}\\) les extr\u00e9mit\u00e9s de ces deux droites. De deux points \\(A\\) et \\(P\\) de \\(a\\) on m\u00e8ne les pieds des perpendiculaires \u00e0 \\(b\\), respectivement \\(B\\) et \\(B’\\) . On se place dans le contexte o\u00f9 \\(PB’>AB\\), et on construit alors \\(A’\\), entre \\(P\\) et \\(B’\\) tel que \\(A’B’=AB\\). On construit ensuite la droite \\(a’\\) (sur l’illustration ci-dessous d’extr\u00e9mit\u00e9s \\(a’_{\\alpha}, a’_{\\beta}\\)) qui passe par \\(A’\\) et qui coupe \\([A’B’]\\) en grandeur et en sens avec le m\u00eame angle que \\(a\\)coupe \\([BA]\\) en \\(A\\). Dans un premier temps, nous allons montrer que \\(a’\\) coupe \\(a\\).<\/p>\n\n\n Illustration du pr\u00e9ambule \u00e0 la preuve du lemme 2<\/em><\/p>\n\n\n\n Hilbert note ensuite \\(a_1\\) la demi-droite issue de \\(P\\), de support \\(a\\) et qui porte \\(A\\), c’est-\u00e0-dire la demi droite \\([Pa_{\\alpha})\\) ci-dessus tant que \\(P\\) reste \u00e0 la droite de \\(A\\) sur la figure. Par \\(B\\), menons la demi-droite \\(h\\) parall\u00e8le \u00e0 \\(a_1\\). Soit \\(h’\\) la demi-droite issue de \\(B’\\) et qui coupe \\(B\\) selon le m\u00eame angle que \\(h\\).<\/p>\n\n\n Construction de \\(T\\). Parall\u00e9lisme de \\(h’\\) et \\(a’\\)<\/em><\/p>\n\n\n\n La demi-droite \\(h’\\) n’est parall\u00e8le ni \u00e0 \\(h\\) ni \u00e0 \\(a_1\\) et elle ne coupe pas \\(h\\). Par l’axiome IV<\/strong> ci-dessus, elle coupe \\(a_1\\) en un point \\(T\\). Par construction, les droites \\(h’\\) et \\(a’\\) sont parall\u00e8les car les figures \\(ABa_{\\alpha}\\) et \\(A’B’a’_{\\alpha}\\) sont congruentes. Dans l’illustration ci-dessus les extr\u00e9mit\u00e9s \\(h’_{\\alpha}\\) – verte – et \\(a’_{\\alpha}\\) – rouge – construites ind\u00e9pendamment, sont confondues. Selon l’axiome II.4<\/strong> (axiome de Pach), la droite \\(a’\\) coupant le c\u00f4t\u00e9 \\([PB’]\\) du triangle \\(PB’T\\), elle coupe l’autre c\u00f4t\u00e9 \\([PT]\\) en un point \\(Q\\), ce qui prouve la premi\u00e8re assertion : les droite \\(a\\) et \\(a’\\) sont s\u00e9cantes.<\/p>\n\n\n Fin de la preuve du lemme 2 : construction de \\((MN)\\), la perpendiculaire commune aux deux droites \\(a\\) et \\(b\\)<\/em><\/p>\n\n\n\n De ce point \\(Q\\) on construit la perpendiculaire \\((QR)\\) sur \\(b\\), puis le point \\(R’\\) de \\(b\\) tel que \\(BR’=B’R\\), de tel sorte que le sens de \\(B\\) vers \\(R’\\) soit celui de \\(B’\\) vers \\(R\\). De m\u00eame, on reporte – point \\(Q’\\) – la longueur \\(A’Q\\), \u00e0 partir de \\(A\\) sur la droite \\(a\\), dans le m\u00eame sens. On appelle \\(M\\) et \\(N\\) les milieux de \\([QQ’]\\) et \\([RR’]\\). La droite \\((MN)\\) est la perpendiculaire commune cherch\u00e9e \u00e0 \\(a\\) et \\(b\\). Illustration de la figure finale propos\u00e9e ci-dessous \u00e0 la manipulation<\/em><\/p>\n\n\n\n Ouvrir la figure compl\u00e8te<\/a> associ\u00e9e \u00e0 ce lemme 2 dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n Lemme 3. Il existe une droite simultan\u00e9ment parall\u00e8les \u00e0 deux demi-droites donn\u00e9es, non parall\u00e8les entre elles; ou encore il existe une droite d’extr\u00e9mit\u00e9s donn\u00e9es <\/strong>\\(\\mathbf{\\alpha}\\) et <\/strong>\\(\\mathbf{\\beta}\\).<\/strong><\/p>\n\n\n\n Preuve. Il s’agit de montrer que par deux extr\u00e9mit\u00e9s quelconques \\(\\alpha\\) et \\(\\beta\\) de deux demi-droites, il passe une droite. Voici la d\u00e9marche de Hilbert. La preuve consiste \u00e0 montrer que ces deux droites \\(a\\) et \\(b\\) ne sont ni s\u00e9cantes ni parall\u00e8les, et donc, par le lemme 3, ont une perpendiculaire commune, cette droite ayant alors comme extr\u00e9mit\u00e9s \\(\\alpha\\) et \\(\\beta\\).<\/p>\n\n\n\n Par construction, les configurations \\(O A \\beta\\) et \\(O B \\alpha\\) sont congruentes, on a donc les \u00e9galit\u00e9s d’angles \\(\\angle O A \\beta = \\ angle O B \\alpha\\) et donc \\(\\angle \\alpha A \\beta = \\angle \\alpha B \\beta \\) .<\/p>\n\n\n Illustration du lemme 3<\/em><\/p>\n\n\n\n Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n 3.1.<\/strong> Les droites \\(a\\) et \\(b\\) ne sont pas s\u00e9cantes. 3.2.<\/strong> Les droites \\(a\\) et \\(b\\) ne sont pas parall\u00e8les. 3.3.<\/strong> Fin de la d\u00e9monstration Lemme 4. Soient <\/strong>\\(\\mathbf{a}\\) et <\/strong>\\(\\mathbf{b}\\) deux droites et <\/strong>\\(\\mathbf{O}\\) un point entre<\/strong> \\(\\mathbf{a}\\) et <\/strong>\\(\\mathbf{b}\\). On note <\/strong>\\(\\mathbf{O_a}\\) et <\/strong>\\(\\mathbf{O_b}\\) les sym\u00e9triques de <\/strong>\\(\\mathbf{O}\\) par rapport \u00e0 <\/strong>\\(\\mathbf{a}\\) et <\/strong>\\(\\mathbf{b}\\). Soit <\/strong>\\(\\mathbf{M}\\) le milieu de <\/strong>\\(\\mathbf{[O_a O_b]}\\). Alors la demi-droite issue de <\/strong>\\(\\mathbf{M}\\) et parall\u00e8le \u00e0 <\/strong>\\(\\mathbf{a}\\) et <\/strong>\\(\\mathbf{b}\\) est perpendiculaire \u00e0 <\/strong>\\(\\mathbf{[O_a O_b]}\\).<\/strong><\/p>\n\n\n Preuve<\/em> : On note \\(P\\) et \\(Q\\) les intersections de \\([O_a O_b]\\) avec les droites \\(a\\) et \\(b\\). Comme \\(PO<PQ+QO\\), on a \\(PO_a<PO_b\\) et de m\u00eame \\(QO_b<QO_a\\), et donc \\(M\\), comme \\(O\\), appartient \u00e0 la r\u00e9gion du plan entre les droites \\(a\\) et \\(b\\). <\/p>\n\n\n\n Lemme 5. Soient trois droites <\/strong>\\(\\mathbf{a, b}\\) et <\/strong>\\(\\mathbf{c}\\) ayant toutes la m\u00eame extr\u00e9mit\u00e9 <\/strong>\\(\\mathbf{\\alpha}\\). On note <\/strong>\\(\\mathbf{s_a, s_b, s_c}\\) les sym\u00e9trie orthogonales par rapport \u00e0 ces droites. Alors il existe une droite <\/strong>\\(\\mathbf{d}\\) telle que <\/strong>\\(\\mathbf{s_c s_b, s_a=s_d}\\), et <\/strong>\\(\\mathbf{d}\\) a pour extr\u00e9mit\u00e9 <\/strong>\\(\\mathbf{\\alpha}\\).<\/strong><\/p>\n\n\n Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet (pour tester les cas particuliers abord\u00e9s plus loin)<\/p>\n\n\n\n Dans l’axiomatique de Bachmann, ce r\u00e9sultat est obtenu, de mani\u00e8re absolue, avant s\u00e9paration des g\u00e9om\u00e9tries. <\/p>\n\n\n\n Th 14 : th\u00e9or\u00e8me de transitivit\u00e9<\/strong> Commentaire sur ce r\u00e9sultat : un des int\u00e9r\u00eats de ce th\u00e9or\u00e8me \u2013 et aussi une des forces de cette axiomatique \u2013 est sa preuve dans le cas g\u00e9n\u00e9ral, en particulier ind\u00e9pendamment du type pinceau, m\u00eame s\u2019il est \u00ab sans support \u00bb. Comme c\u2019est le seul cas d\u00e9sormais significatif, nous l\u2019illustrerons dans ce cas ; en pratique dans le cas o\u00f9\\(P_{ab}\\) est un pinceau de deux droites parall\u00e8les dans le cas hyperbolique.<\/p>\nPour plus de d\u00e9tails, consulter cette page sur le th\u00e9or\u00e8me de Hjelmselv<\/a><\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n Il est montr\u00e9 ici, pour le cas hyperbolique, \u00e0 partir du lemme pr\u00e9c\u00e9dent.<\/p>\n\n\n\n Preuve : On suppose dans un premier temps que la droite \\(b\\) est entre les droites \\(a\\) et \\(c\\). Soit \\(O\\) un point de \\(b\\), on construit, comme pr\u00e9c\u00e9demment, les sym\u00e9triques \\(O_a\\) et \\(O_c\\) de \\(O\\) prr rapport \u00e0 \\(a\\) et \\(c\\). On note alors \\(d\\) la droite passant par le milieu de \\(O_a\\) et \\(O_c\\) et d’extr\u00e9mit\u00e9 \\(\\omega\\). On sait alors, par le lemme 4 que latex]O_a[\/latex] et \\(O_c\\) sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 latex]d[\/latex], et donc que la compos\u00e9e des 4 sym\u00e9tries orthogonales \\(s_d s_c s_b s_a\\) est l’identit\u00e9.<\/p>\n\n\n Hilbert poursuit en montrant que le lemme 5 reste valable si \\(a=c\\) et si c’est \\(c\\) qui est entre \\(a\\) et \\(b\\), de sorte que \u00ab\u00a0la d\u00e9monstration est ainsi compl\u00e8te.\u00a0\u00bb<\/p>\n\n\n\n Ce lemme acquis, Hilbert aborde la construction des op\u00e9rations du corps des extr\u00e9mit\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n On se donne deux extr\u00e9mit\u00e9s, que Hilbert nomme \\(0\\) (le chiffre) et \\(\\infty\\). Soient \\(d\\) la droite de ces deux extr\u00e9mit\u00e9s (lemme 3). Soit \\(O\\) un point de cette droite. On note alors \\(+1\\) et \\(-1\\) les extr\u00e9mit\u00e9s de la perpendiculaire \u00e0 \\(d\\) passant par \\(O\\).<\/p>\n\n\n\n D\u00e9finition de l’addition.<\/strong> Soient \\(\\alpha\\) et \\(\\beta\\) deux extr\u00e9mit\u00e9s autres que \\(\\infty\\). Soient \\(O_{\\alpha}\\) et \\(O_{\\beta}\\) les sym\u00e9triques de \\(O\\) par rapport aux droites \\((\\alpha, \\infty)\\) et \\((\\beta, \\infty)\\). On consid\u00e8re la droite passant par le milieu de \\([O_{\\alpha}O_{\\beta}]\\) et d’extr\u00e9mit\u00e9 \\(\\infty\\). La seconde extr\u00e9mit\u00e9 de cette droite s\u2019appelle somme des deux extr\u00e9mit\u00e9s \\(\\alpha\\) et \\(\\beta\\) que l’on nomme \\(\\alpha+\\beta\\).<\/p>\n\n\n\n Enfin, l’extr\u00e9mit\u00e9 de la sym\u00e9trique par rapport \u00e0 la droite \\((0, \\infty)\\) d’une demi-droite(*)<\/sup> d’extr\u00e9mit\u00e9 \\(\\alpha\\) est d\u00e9sign\u00e9 par \\(-\\alpha\\).<\/p>\n\n\n On a alors les relations <\/p>\n\n\n\n \\(\\alpha + 0 =\\alpha\\) Ainsi l’addition des extr\u00e9mit\u00e9s est commutative<\/p>\n\n\n\n Associativit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n On note \\(s_x\\) la sym\u00e9trie orthogonale par rapport \u00e0 la droite d’extr\u00e9mit\u00e9s \\(x\\) et \\(\\infty\\) pour \\(x= \\alpha, \\beta, 0\\). Alors, par le lemme 5, il existe une droite \\((\\sigma, \\infty)\\) telle que \\(s_{\\sigma}=s_{\\beta} \\, s_0 \\, s_{\\alpha}\\). Or l’image de \\(O_{\\alpha}\\) par la composition de ces trois sym\u00e9tries est le point \\(O_{\\beta}\\), si bien que \\(\\sigma =\\alpha + \\beta\\), soit encore \\(s_{\\alpha + \\beta}=s_{\\beta} \\, s_0 \\, s_{\\alpha}\\).<\/p>\n\n\n\n Soit \\(\\gamma\\) une autre extr\u00e9mit\u00e9. En utilisant la relation pr\u00e9c\u00e9dente, on peut \u00e9crire : On a donc \\(s_{\\alpha+(\\beta+\\gamma)}=s_{\\alpha+(\\beta)+\\gamma)}\\), soit encore \\(\\alpha+(\\beta+\\gamma)=\\alpha+(\\beta)+\\gamma)\\).<\/p>\n\n\n\n La somme <\/strong>\\(\\mathbf{\\alpha+\\beta}\\) est ind\u00e9pendante du point <\/strong>\\(\\mathbf{O}\\)<\/p>\n\n\n\n La relation \\(s_{\\alpha + \\beta}=s_{\\beta} \\, s_0 \\, s_{\\alpha}\\) montre que la construction de la somme de deux extr\u00e9mit\u00e9s est ind\u00e9pendante du choix du point \\(O\\) de la droite \\((0 \\infty)\\). Si \\(O’\\) est un autre point de la droite, en notant \\(O’_{\\alpha}\\) et \\(O’_{\\beta}\\) les sym\u00e9triques de \\(O’\\) par rapport aux droites \\((\\alpha, \\infty)\\) et \\((\\beta, \\infty)\\), alors la m\u00e9diatrice de \\([O’_{\\alpha}O’_{\\beta}]\\) est la droite \\((\\alpha+\\beta, \\infty)\\).<\/p>\n\n\n Ind\u00e9pendance de la d\u00e9finition de \\(\\alpha + \\beta\\) du point \\(O\\)<\/em> sur \\((0, \\infty)\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n Ouvrir <\/a>cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n On peut d\u00e9placer \\(O’\\) pour voir illustrer la propri\u00e9t\u00e9, mais en fait d\u00e9placer simplement \\(O\\) aurait suffit \u00e0 illustrer l’ind\u00e9pendance de la d\u00e9finition par rapport au point \\(O\\).<\/p>\n\n\n\n Sym\u00e9trique de <\/strong>\\(\\mathbf{(\\alpha, \\infty)}\\) par rapport \u00e0 <\/strong>\\(\\mathbf{(\\beta, \\infty)}\\)<\/p>\n\n\n\n Soit \\(P\\) un point de la droite sym\u00e9trique de \\((\\alpha, \\infty)\\) par rapport \u00e0 la droite \\((\\beta, \\infty)\\). Ce point est, par d\u00e9finition, invariant par rapport \u00e0 la compos\u00e9e \\(s_{\\beta} \\, s_0 \\, s_{-\\alpha} \\, s_0 \\, s_{\\beta}\\). Or la formule pr\u00e9c\u00e9dente montre que \\(s_{\\beta} \\, s_0 \\, s_{-\\alpha} \\, s_0 \\, s_{\\beta}=s_{2\\beta-\\alpha} \\). Autrement dit cette compos\u00e9e revient \u00e0 une sym\u00e9trie par rapport \u00e0 la droite \\((2\\beta-\\alpha, \\infty)\\). Le point \\(P\\) appartient donc \u00e0 cette droite.<\/p>\n\n\n Sym\u00e9trie orthogonale d’une extr\u00e9mit\u00e9 par rapport \u00e0 une droite<\/em><\/p>\n\n\n\n Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n Une cons\u00e9quence – qui sera utilis\u00e9e dans la preuve de la partie 4 – est que, pour \\(x\\) et \\(\\alpha\\) deux extr\u00e9mit\u00e9s, \\(\\displaystyle s_{\\frac{\\alpha}{2}} \\, s_0(x)=x+\\alpha\\).<\/p>\n\n\n\n D\u00e9finition<\/strong>. Une extr\u00e9mit\u00e9 est dite positive<\/em> si elle est du m\u00eame c\u00f4t\u00e9 de la droite \\((0, \\infty)\\) que l’extr\u00e9mit\u00e9 \\(+1\\), et elle est n\u00e9gative<\/em> si elle est du m\u00eame c\u00f4t\u00e9 que l\u2019extr\u00e9mit\u00e9 \\(-1\\),<\/p>\n\n\n\n Soient alors \\(\\alpha\\) et \\(\\beta\\) deux extr\u00e9mit\u00e9s, autres que \\(0\\) et \\(\\infty\\). Les deux droites \\((\\alpha, -\\alpha)\\) et \\((\\beta, -beta)\\) coupent la droite \\((0, \\infty)\\) en \\(A\\) et \\(B\\) respectivement. On reporte en \\(C\\) le segment \\([OA]\\) depuis \\(B\\) et dans le m\u00eame sens que de \\(O\\) \u00e0 \\(A\\). La perpendiculaire \u00e0 \\((0, \\infty)\\) en \\(C\\). On appelle produit des deux extr\u00e9mit\u00e9s \\(\\alpha\\beta\\) les deux extr\u00e9mit\u00e9s de cette droite, \u00ab\u00a0en ob\u00e9issant \u00e0 la r\u00e8gle des signes\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n D\u00e9finition du produit de deux extr\u00e9mit\u00e9s. Les distances ne sont que des illustrations <\/em>a posteriori du mod\u00e8le.<\/em> Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n Hilbert pose ensuite, pour la coh\u00e9rence de la d\u00e9finition, \\(\\alpha . 0 = 0 . \\alpha = 0\\). Les axiomes de congruence des segments (les axiomes III.1<\/strong> \u00e0 III.3<\/strong>) assurent imm\u00e9diatement que \\(\\alpha \\beta=\\beta \\alpha\\) et que \\(\\alpha (\\beta \\gamma) =(\\alpha \\beta) \\gamma\\).<\/p>\n\n\n\n La multiplication des extr\u00e9mit\u00e9s est donc commutative et associative.<\/em><\/p>\n\n\n\n On voit tout de suite que \\(1 \\, . \\, \\alpha = \\alpha\\) et que \\((-1) \\, \\alpha = -\\alpha\\). <\/p>\n\n\n\n A propos du produit <\/strong>\\(\\mathbf{\\alpha \\beta=-1}\\)<\/p>\n\n\n\n Si l’\u00e9quation \\(\\alpha \\beta=-1\\) est satisfaite, la droite \\((\\alpha, \\beta)\\) passe par \\(O\\). <\/p>\nHilbert – Traduction Paul Rossier – \u00c9dition critique p 230<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n Cette propri\u00e9t\u00e9, juste mentionn\u00e9e ici, sera essentielle, dans la derni\u00e8re partie du m\u00e9moire, pour montrer que l’\u00e9quation tangentielle d’un point est lin\u00e9aire, c’est la raison pour laquelle nous avons attirer l’attention sur cette propri\u00e9t\u00e9 dans la manipulation de la figure pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n\n La propri\u00e9t\u00e9 est imm\u00e9diate, en anticipant sur le paragraphe suivant : si \\(\\alpha \\beta=-1\\) c’est que \\(\\displaystyle \\beta=\\frac{-1}{\\alpha}\\). Or l’inverse est obtenu par la sym\u00e9trie par rapport \u00e0 la droite \\((+1, -1)\\) et l’oppos\u00e9 par la sym\u00e9trie par rapport \u00e0 la droite \\((0, \\infty)\\), la compos\u00e9e des deux est la sym\u00e9trie centrale par rapport au point \\(O\\) d’o\u00f9 l’alignement entre \\(\\alpha, O, \\beta\\) quand \\(\\alpha \\beta=-1\\).<\/p>\n\n\n\n Division et racine carr\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n\n L’expos\u00e9 de Hilbert se poursuit par cette phrase : \u00ab\u00a0La possibilit\u00e9 de la division est imm\u00e9diate\u00a0\u00bb. M\u00eame si c’est imm\u00e9diat, on peut en rendre compte :<\/p>\n\n\nIntroduction<\/h2>\n\n\n\n
Partageons la droite \\(b\\) en deux demi-droites \\(b_1\\) et \\(b_2\\) issue de l’un quelconque de ses points \\(B\\) de telle sorte que \\(a_1\\) et \\(b_1\\) soient d’un m\u00eame c\u00f4t\u00e9 de la droite \\((AB)\\), \\(a_2\\) et \\(b_2\\) de l’autre. La demi-droite \\(a_1\\) sera dite parall\u00e8le<\/strong> \u00e0<\/strong> la demi-droite \\(b_1\\), et de m\u00eame \\(a_2\\) parall\u00e8le \u00e0 <\/strong>\\(b_2\\), ou encore les deux demi-droites \\(a_1\\) et \\(a_2\\) sont parall\u00e8les \u00e0 la droite \\(b\\).<\/p>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Hilbert_DrtParalleles-1024x409.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
\u2022 les segments \\([AB]\\) et \\([A’B’]\\) soient congruents
\u2022 l’angle de \\([AB]\\) avec la demi-droite \\((A, \\alpha)\\) soit \u00e9gal \u00e0 l’angle de \\([A’B’]\\) avec la demi droite \\((A’, \\alpha’)\\).<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Figures_Ideales_Congruentes_petit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nLes lemmes pr\u00e9liminaires<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Lemme1_PasOK_petit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Intro_Lemme2new.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Lemme2_Construction_T.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Lemme2_Fin_Preuve.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
En effet, de la congruence des deux quadrilat\u00e8res \\(A’B’QR\\) (notation de Hilbert) et \\(ABQ’R’\\) r\u00e9sulte la congruence des segments [QR][\/latex] et \\([Q’R’]\\) et de la perpendicularit\u00e9 de \\((Q’R’)\\) sur \\(b\\), d’o\u00f9 la congruence des quadrilat\u00e8res \\(QRMN\\) et \\(Q’R’MN\\). Le lemme est ainsi d\u00e9montr\u00e9.<\/p>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/FigFinale_Lemme2.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
Par un point \\(O\\) quelconque, on m\u00e8ne les deux demi-droites \\([O\\alpha)\\) et \\([O\\beta)\\) respectivement parall\u00e8les aux deux demi droites donn\u00e9es initiales (ci-dessous \\([I\\alpha)\\) et \\([J\\beta)\\). Depuis le point \\(O\\), on place deux points \\(A\\) et \\(B\\) sur chacune de ces deux demi-droites, \\(A\\) sur \\([O\\alpha)\\) et \\(B\\) sur \\([O\\beta)\\), tels que \\([OA]\\) et \\([OB]\\) soient congruents (\\(OAB\\) est isoc\u00e8le en \\(O\\)). On joint ensuite \\(A\\) \u00e0 \\(\\beta\\) et \\(B\\) \u00e0 \\(\\alpha\\). Hilbert note ensuite \\(a\\) et \\(b\\) les bissectrices des angles \\(\\alpha A \\beta\\) et \\(\\alpha B \\beta\\). Par construction – voir l’illustration ci-dessous – les configurations \\(O A \\beta\\) et \\(O B \\alpha\\) sont congruentes, on a donc les \u00e9galit\u00e9s d’angles \\(\\angle O A \\beta = \\ angle O B \\alpha\\) et donc \\(\\angle \\alpha A \\beta = \\angle \\alpha B \\beta \\).<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Lemme3.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
Supposons que ces deux droites soient s\u00e9cantes en un point \\(M\\). De l’\u00e9galit\u00e9 des angles \\(\\angle O A B = \\angle O B A\\) (triangle isoc\u00e8le) il en r\u00e9sulte \\(\\angle B A M = \\angle A B M\\) et donc \\([AM]\\) et \\([BM]\\) sont congruents.
Par \\(M\\), on m\u00e8ne la demi-droite d’extr\u00e9mit\u00e9 \\(\\alpha\\). De la congruence des segments pr\u00e9c\u00e9dents et de celle des angles \\(\\angle \\alpha A M\\) et \\(\\angle \\alpha B M\\), les figures \\(\\alpha A M\\) et \\(\\alpha B M\\) sont congruentes, et cette congruence aurait pour cons\u00e9quence celle des angles \\(\\angle \\alpha M A\\) et \\(\\angle \\alpha M B\\), ce qui n’est pas possible. Et donc les droites \\(a\\) et \\(b\\) ne sont pas s\u00e9cantes.<\/p>\n\n\n\n
Si elles l’\u00e9taient, elles d\u00e9termineraient une extr\u00e9mit\u00e9 \\(\\mu\\). Soient \\(C\\) l’intersection des demi-droites \\([A \\beta)\\) et \\([B \\alpha)\\) et \\(D\\) celle de \\(a\\) avec \\([B \\alpha)\\). Nous allons montrer que si les droites droites \\(a\\) et \\(b\\) \u00e9taient parall\u00e8les alors les segments \\([DA]\\) et \\([DB]\\) seraient congruents. Si ce n’\u00e9tait pas le cas, on pourrait reporter \\([DA]\\) sur \\([DB]\\) en \\([DB’]\\). On construit alors la demi-droite \\([B’\\mu)\\). La congruence des figures \\(D A \\alpha\\) et \\(D B’\\mu\\) implique celle des angles \\(\\angle D A \\alpha\\) et \\(\\angle D B’\\mu\\). Ainsi les angles \\(\\angle D B’\\mu\\) et \\(\\angle D B \\mu\\) seraient congruents, ce qui est exclu par le lemme 1.
On a donc (sous l’hypoth\u00e8se \\(a\\) et \\(b\\) parall\u00e8les) la congruence des segments \\([DA]\\) et \\([DB]\\). Celle-ci implique alors celle des angles \\(\\angle D B A\\) et \\(\\angle D A B\\). Mais comme on a d\u00e9j\u00e0 la congruence des angles \\(\\angle C B A\\) et \\(\\angle C A B\\), on aurait aussi celle des angles \\(\\angle D A B\\) et \\(\\angle C A B\\), ce qui n’est pas. Ainsi les droites \\(a\\) et \\(b\\) ne sont pas parall\u00e8les.<\/p>\n\n\n\n
Les droites \\(a\\) et \\(b\\) n’\u00e9tant ni parall\u00e8les ni s\u00e9cantes, elles ont donc (lemme 2) une perpendiculaire commune \\(c\\) qui coupe \\(a\\) et \\(b\\) respectivement en \\(E\\) et \\(F\\). Reste \u00e0 montrer que les extr\u00e9mit\u00e9s de cette droite \\(c\\) sont bien \\(\\alpha\\) et \\(\\beta\\). Pour cela supposons que \\(\\alpha\\) ne soit pas une extr\u00e9mit\u00e9 de la droite \\(c\\) . On peut alors construire les demi-droites \\([E\\alpha)\\) et \\([F\\alpha)\\). Or comme les segments \\([AE]\\) et \\([BF]\\) sont congruents, les figures \\(E A \\alpha\\) et \\(F B \\alpha\\) sont congruentes, ce qui implique la congruence des angles \\(\\angle A E \\alpha\\) et \\(\\angle B F \\alpha\\), et alors les angles form\u00e9s en \\(E\\) et \\(F\\) par la droite \\(c\\) avec les demi-droites \\([E\\alpha)\\) et \\([F\\alpha)\\) seraient eux aussi congruents, ce qui est impossible, d\u2019apr\u00e8s le lemme 1. Ainsi le lemme 3 est d\u00e9montr\u00e9.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Lemme4.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
Supposons d\u00e9sormais que l’orthogonalit\u00e9 en \\(M\\) ne soit pas r\u00e9alis\u00e9e alors la perpendiculaire \u00e0 \\([O_a O_b]\\) en \\(M\\) coupe \\(a\\) ou \\(b\\). On suppose par exemple qu’elle coupe la droite \\(a\\) en \\(A\\) (droite grise en pointill\u00e9s ci-dessus). On a alors simultan\u00e9ment \\(AO_a = AO\\) (\\(A\\) sur \\(a\\)) mais aussi \\(AO_a = AO_b\\) (\\(A\\) sur la m\u00e9diatrice de \\([O_a O_b]\\)) et donc \\(AO_b = AO\\), soit \\(A\\) serait sur \\(b\\), ce qui contredit l’hypoth\u00e8se initiale de \\(a\\) et \\(b\\) parall\u00e8les. <\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Lemme5Gene.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
Si \\(a \\neq b\\) et si \\(abc\\) et \\(abu\\) sont des droites, alors \\(acu\\) est aussi une droite.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Lemme5_DroitesConfondues.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nAddition des extr\u00e9mit\u00e9s<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Hilbert_defAddition.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
\\(1+(-1)=0 \\quad\\) (*) la r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 la demi-droite sert ici<\/em>
\\(\\alpha + (-\\alpha)=0\\)
\\(\\alpha + \\beta = \\beta + \\alpha\\)<\/p>\n\n\n\n
\\(s_{\\alpha+(\\beta+\\gamma)}=s_{(\\beta+\\gamma)} \\, s_0 \\, s_{\\alpha}=s_{\\gamma} \\, s_0 \\, s_{\\beta} \\, s_0 \\, s_{\\alpha}\\)
\\(s_{(\\alpha(\\beta)+\\gamma}=s_{\\gamma} \\, s_0 \\, s_{(\\alpha+\\beta)}=s_{\\gamma} \\, s_0 \\, s_{\\beta} \\, s_0 \\, s_{\\alpha}\\)<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Somme_Hilbert_Indep_O.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Sym_alpha_beta.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nMultiplication des extr\u00e9mit\u00e9s<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/01\/Def_Multi_RegleSignes.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
La figure respecte \u00ab\u00a0l’application de l’ob\u00e9issance \u00e0 la r\u00e8gle des signe\u00a0\u00bb.<\/em><\/p>\n\n\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Hyp_Hilbert_Division.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Hyp_Hilbert_RacineCarree.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Distributivite_Livre_Hilbert.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n