{"id":6592,"date":"2023-11-04T15:10:49","date_gmt":"2023-11-04T11:10:49","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=6592"},"modified":"2026-06-08T20:31:39","modified_gmt":"2026-06-08T16:31:39","slug":"quadrilateres-de-saccheri-et-lambert-theoreme-de-engel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=6592","title":{"rendered":"Quadrilat\u00e8res de Saccheri et Lambert Th\u00e9or\u00e8me de Engel"},"content":{"rendered":"\n

Cet article est centr\u00e9 sur des calculs trigonom\u00e9triques pour aboutir \u00e0 la d\u00e9monstration du th\u00e9or\u00e8me de Engel, celui-ci servant ensuite, dans un autre article, \u00e0 la construction g\u00e9om\u00e9triques<\/em> de triangles d’angles donn\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

Rappels sur la trigonom\u00e9trie hyperbolique<\/h2>\n\n\n\n

Ces formules ont \u00e9t\u00e9 pr\u00e9sent\u00e9es dans ce premier article<\/a> sur le manuscrit de Bolya\u00ef. On trouve une d\u00e9monstration de ces r\u00e9sultats, avec nos outils et notations contemporaines, dans tout ouvrage consacr\u00e9 aux g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes. <\/p>\n\n\n\n

Ainsi, cet article reprend, pour la d\u00e9monstration du th\u00e9or\u00e8me de Engel, la preuve de Martin Jay Greenberg dans son Euclidean and Non Euclidean Geometries <\/em>(3\u00b0 \u00e9ditions p.411 et suivantes)<\/p>\n\n\n\n

Autour de l’angle de parall\u00e9lisme<\/strong> <\/p>\n\n\n\n

On se souvient que Bolya\u00ef avait des notations tr\u00e8s personnelles que m\u00eame son traducteur, Jules Hou\u00ebl, commentait comme ici :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

La formule montr\u00e9e par Bolya\u00ef s’\u00e9crit maintenant \\(\\displaystyle tan \\left( \\frac{\\Pi(x)}{2} \\right) = e^{-x}\\).<\/p>\n\n\n\n

Autres expressions \u00e9quivalentes <\/em><\/p>\n\n\n\n

\\(\\displaystyle sin \\, \\Pi(x)=\\frac{1}{ch \\, x} \\quad tan \\, \\Pi(x)=\\frac{1}{sh \\, x} \\quad cos \\, \\Pi(x)=th \\, x\\).<\/p>\n\n\n\n

La fonction r\u00e9ciproque de \\(\\Pi\\), not\u00e9e \\(\\Delta\\) depuis Lobatchevsky, qui donne la longueur d’un segment correspondant \u00e0 l’angle de parall\u00e9lisme \\(\\alpha\\), v\u00e9rifie \\(\\Delta(\\alpha) = ch^{-1} \\displaystyle \\left( \\frac{1}{sin \\, \\alpha} \\right)\\) (formule due \u00e0 Lobatchevsky). Dans cet article, elle sera utilis\u00e9 uniquement pour une v\u00e9rification num\u00e9rique dans une illustration u th\u00e9or\u00e8me de Engel, m\u00eame si il y avait aussi un moyen de s’en passer.<\/p>\n\n\n\n

Trigonom\u00e9trie dans un triangle<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La formule des sinus<\/em> : \\(\\displaystyle \\frac{sin \\, A}{sh \\, a} = \\frac{sin \\, B}{sh\\, b} = \\frac{sin \\, C}{sh \\, c}\\).<\/p>\n\n\n\n

Relations entre angles et c\u00f4t\u00e9s<\/em><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ouvrir la figure associ\u00e9e<\/a> \u00e0 cette illustration, dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Cas du triangle rectangle<\/em><\/p>\n\n\n\n

Relations qui dans le cas du triangle rectangle se simplifient et donnent :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ouvrir la figure associ\u00e9e<\/a> \u00e0 cette illustration, dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Dans un triangle \\(ABC\\), rectangle en \\(A\\), outre les trois relations pr\u00e9sent\u00e9es dans la figure pr\u00e9c\u00e9dente, on a aussi les relations :<\/p>\n\n\n\n

\\(\\displaystyle cos \\, \\widehat{C} = \\frac{th \\, AC}{th\\, BC} \\quad et \\quad tan \\, \\widehat{C} = \\frac{th \\, AB}{sh \\, BC}\\).<\/p>\n\n\n\n

Ces formules dans le triangle rectangle seront syst\u00e9matiquement utilis\u00e9es dans la suite de cet article.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Du quadrilat\u00e8re de Saccheri
\u00e0 celui de Lambert<\/h2>\n\n\n\n

Saccheri<\/a> a trouv\u00e9 de nombreux r\u00e9sultats hyperboliques, sur la base de l’\u00e9tude du quadrilat\u00e8re qui porte son nom. R\u00e9sultats qu’il a fini par rejeter en fin d’ouvrage, ne pouvant accepter le concept que, si une telle g\u00e9om\u00e9trie (dite \u00ab\u00a0de l’angle aigu\u00a0\u00bb) avait du sens, elle devait \u00eatre non connectable (la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne v\u00e9rifiant les axiomes du rectange et de connexion<\/a>), puisqu’il avait conscience que certaines droites (les futures parall\u00e8les) devraient avoir alors leur unique perpendiculaire commune … rejet\u00e9e \u00e0 l’infini … \u00ab\u00a0ce qui nuit \u00e0 la nature de la droite\u00a0\u00bb … selon sa formule rest\u00e9e c\u00e9l\u00e8bre.<\/p>\n\n\n\n

On se propose ici de faire quelques calculs dans le quadrilat\u00e8re de Saccheri, pour les appliquer dans celui de Lambert.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

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Preuve du r\u00e9sultat<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Notons \\(m=AB, p=BC, k=CD\\) et \\(d=BD\\). La formule \u00ab\u00a0des cot\u00e9s\u00a0\u00bb dans le triangle \\(BCD\\), on a \\(ch \\,k = ch \\,p \\; ch \\, d – sh \\, p \\; sh \\, d \\; cos \\, \\theta\\).<\/p>\n\n\n\n

Par ailleurs \\( cos \\, \\theta = \\displaystyle sin ( \\frac{\\pi}{2} – \\theta) = \\frac{sh \\, k}{sh \\, d} \\) (formule dans le triangle rectangle \\(BAD\\)) et (Pythagore) \\(ch \\, d = ch \\, p \\; ch \\,m\\).<\/p>\n\n\n\n

Ainsi \\(ch \\,k = ch^2 p \\; ch \\,m – sh^2 p = ch^2 p \\left( ch \\, m -1 \\right)\\), par \\(ch^2-sh^2=1\\).<\/p>\n\n\n\n

Et en utilisant cette relation des angles moiti\u00e9s \\(\\displaystyle 2 sh^2 \\frac{x}{2} = ch \\, x -1\\), on a \\(ch\\, k = ch^2 p \\times \\displaystyle 2 sh^2 \\left( \\frac{m}{2} \\right) +1\\), soit \\(ch \\, k -1 = ch^2 p \\times \\displaystyle 2 sh^2 \\left(\\frac{m}{2} \\right)\\) et donc \\(\\displaystyle 2 sh^2 \\left( \\frac{k}{2} \\right) = ch^2 p \\times 2 sh^2 \\left( \\frac{m}{2} \\right)\\), soit, puisque tout est positif,<\/p>\n\n\n\n

\\(\\displaystyle sh \\left( \\frac{k}{2} \\right)= ch \\, p \\; sh \\left( \\frac{m}{2} \\right)\\)<\/p>\n\n\n\n

De Saccheri \u00e0 Lambert<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans la figure pr\u00e9c\u00e9dente la m\u00e9diatrice de \\([AB]\\), comme axe de sym\u00e9trie de \\(ABCD\\) est aussi perpendiculaire commune \u00e0 \\((AB)\\) et \\((CD)\\) et comme axe de sym\u00e9trie coupe \\([CD]\\) en son milieu. Ainsi, en renommant les points – pour la suite – on a la situation suivante.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

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Calculs dans le quadrilat\u00e8re de Lambert<\/h2>\n\n\n
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

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Preuve de \\(L_{2a}, L_{2b}\\)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Les formules du triangle rectangle dans le triangle \\(QPS\\) permettent d’\u00e9crire \\(sin \\, \\theta = \\displaystyle \\frac{sh \\,x}{sh \\, d}\\), soit \\(sh \\, x = sin \\, \\theta \\; sh \\, d = \\displaystyle \\cos \\left( \\frac{\\pi}{2} – \\theta \\right) \\; sh \\, d = \\frac{th \\, v}{th \\, d} sh \\, d = th \\, v \\; ch \\, d\\).
Pythagore dans le triangle \\(QPS\\) permet d’\u00e9crite \\(ch \\, d = ch \\, u \\; ch \\, x\\), soit, au final \\((L_{2a}) \\; \\; th \\, x = th \\, v \\; ch \\, u\\). De m\u00eame, par sym\u00e9trie structurelle de la figure, on a aussit\u00f4t \\((L_{2b}) \\; \\; th \\, w = th \\, u \\; ch \\, v\\).<\/p>\n\n\n\n

Preuve de \\(L_{3a}, L_{3b}\\)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On se place dans le triangle \\(SPR\\). On note \\(\\sigma\\) l’angle \\(\\widehat{RSP}\\). On applique la formule des sinus dans \\(SPR\\) :<\/p>\n\n\n\n

\\(\\displaystyle \\frac{sin \\, \\sigma}{sh \\, PR} = \\frac{sin \\, \\widehat{SPR}}{sh \\, w} = \\frac{cos \\, \\widehat{QPR}}{sh \\, w} = \\frac{th \\, u}{th \\, PR \\; sh \\, w}\\), toujours par la formule du cosinus d’un angle dans un triangle rectangle. Soit apr\u00e8s simplification par \\(sh \\,PR\\) il vient simplement \\(sin \\, \\sigma = \\displaystyle \\frac{th \\, u \\; ch \\, PR}{sh \\, w}\\). Pythagore dans \\(PQR\\) permet d’\u00e9crire \\(ch \\, PR = ch \\, u \\; ch \\, v\\), et en utilisant \\(L_{1a}\\) on peut \u00e9crite \\(sin \\, \\sigma = \\displaystyle \\frac{th \\, u \\; ch \\, u \\; ch \\, v}{sh \\, u \\; ch \\, x}\\), soit \\((L_{3a}) \\; \\; sin \\, \\sigma = \\displaystyle \\frac{ch \\, v}{ch \\, x} \\).<\/p>\n\n\n\n

De m\u00eame, par sym\u00e9trie (\u00ab\u00a0c\u00f4t\u00e9 oppos\u00e9 sur c\u00f4t\u00e9 adjacent\u00a0\u00bb), et \\(L_{1b}\\), on a aussi \\((L_{3b}) \\; \\; sin \\, \\sigma = \\displaystyle \\frac{ch \\, u}{ch \\, w} \\).<\/p>\n\n\n\n

Ces r\u00e9sultats trigonom\u00e9triques peuvent \u00eatre utilis\u00e9s pour r\u00e9aliser des pavages hyperboliques de quadrilat\u00e8res de Lambert<\/strong>. C’est r\u00e9alis\u00e9 dans cet article<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Segments compl\u00e9mentaires<\/h2>\n\n\n\n

Un cas limite du quadrilat\u00e8re de Lambert a historiquement longtemps \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9 pour \u00e9tudier la construction de triangles d’angles donn\u00e9s. Ce cas limite est celui o\u00f9 le point \\(S\\) ci-dessus devient un point id\u00e9al, ou encore quand les segments not\u00e9s \\(x\\) et \\(w\\) ci-dessus deviennent des droites parall\u00e8les. Dans ce cas les segments \\(u\\) et \\(v\\) sont tels que les angles \\(\\Pi(u)\\) et \\(\\Pi(v)\\) sont compl\u00e9mentaires.<\/p>\n\n\n\n

Deux segments seront dits compl\u00e9mentaires<\/strong> si leurs angles de parall\u00e9lisme le sont :
\\(x^*\\) est dit compl\u00e9mentaire de \\(x\\) si \\(\\Pi(x)+\\Pi(x^*) = \\displaystyle \\frac{\\pi}{2}\\). <\/p>\n\n\n\n

On peut alors \u00e9crire \\(x^* = \\Delta \\left( \\displaystyle \\frac{\\pi}{2}-\\Pi(x) \\right) = ch^{-1} \\displaystyle \\left( \\frac{1}{sin \\, \\Pi(x^*)} \\right)\\). Et donc \\(ch \\, x^* = \\displaystyle \\frac{1}{sin (\\displaystyle \\frac{\\pi}{2}-\\Pi(x))} = \\frac{1}{cos \\, \\Pi(x)}= \\frac{1}{th \\, x}\\)<\/p>\n\n\n\n

Avec les relations de trigonom\u00e9trie hyperbolique \\(ch^2-sh^2=1\\) et \\(1 – th^2 = \\displaystyle \\frac{1}{ch^2}\\) on aboutit ensuite rapidement \u00e0 \\(sh x^* = \\displaystyle \\frac{1}{sh \\, x}\\). Et donc \\(th x^* = \\displaystyle \\frac{1}{ch \\, x}\\)<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Ouvrir la figure associ\u00e9e \u00e0 cette illustration<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

La figure ci-dessus est sp\u00e9cifique au mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9 car nous avons explicitement utilis\u00e9 un point id\u00e9al pour construire le point \\(C\\). Mais une construction purement hyperbolique du segment compl\u00e9mentaire est possible car c’est le cas de l’angle de parall\u00e9lisme comme d\u00e9taill\u00e9e dans ce m\u00eame article<\/a> sur Bolya\u00ef.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

On a utilis\u00e9 la notion de pinceau qui n’\u00e9tait bien entendu pas encore d’actualit\u00e9 – juste car on dispose de macros d\u00e9sormais usuelles – mais \u00e0 l’\u00e9poque de Engel, on savait construire la perpendiculaire \u00e0 une droite issue d’une famille de droites parall\u00e8les, puisque c’est aussi une des d\u00e9finitions des horicycles.<\/p>\n\n\n\n

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Le th\u00e9or\u00e8me de Engel<\/h2>\n\n\n\n

On se donne deux angles \\(\\alpha \\) et \\(\\beta\\), avec \\(\\displaystyle \\alpha + \\beta < \\frac{\\pi}{2}\\). Si, certes, il existe toujours un triangle rectangle dont les angles aigus soient \\(\\alpha \\) et \\(\\beta\\), l’existence d’un tel triangle reste assujetti \u00e0 des conditions de longueurs. Historiquement, on a commenc\u00e9 \u00e0 \u00e9tudier la correspondance entre les triangles rectangles et les quadrilat\u00e8res de Lambert. <\/p>\n\n\n\n

Un des premiers r\u00e9sultats associe l’existence d’un triangle rectangle ayant deux angles donn\u00e9s \u00e0 celle d’un quadrilat\u00e8re de Lambert, de la fa\u00e7on suivante ;<\/p>\n\n\n\n

Th\u00e9or\u00e8me de Engel (1867)<\/strong> : Il existe un triangle \\(ABC\\), rectangle en \\(C\\), d’angle en \\(A, \\; \\alpha\\) et d’angle en \\(B, \\; \\beta\\) si et seulement si il existe un quadrilat\u00e8re de Lambert \\(PQRS\\), rectangle en \\(P, Q, R\\) tel que \\(PQ=AC, \\; RS=AB\\) avec \\(\\alpha=\\Pi(QR^*)\\) et \\(\\beta=\\Pi(SP)\\), o\u00f9 \\(QR^*\\) est le compl\u00e9mentaire de \\(QR\\). Dans ce cas on a de plus \\(\\sigma = \\Pi(BC)\\)<\/p>\n\n\n\n

Deux figures d’illustration sont propos\u00e9es apr\u00e8s la preuve<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Simplicit\u00e9 et (grande) subtilit\u00e9 de la configuration \u00e9tudi\u00e9e par Engel<\/em>, en particulier
le parall\u00e9lisme des droites \\((QX)\\) et \\((RS)\\)<\/em><\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

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Preuve du th\u00e9or\u00e8me : les calculs<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\\(X\\) est donc le point du segment \\([PS]\\) tel que \\(QX=RS=w\\). Le triangle \\(ABC\\), rectangle en \\(C\\) est le triangle \\(QPX\\), rectangle en \\(P\\). <\/p>\n\n\n\n

\u2022 La formule du sinus d’un angle dans un triangle rectangle permet d’\u00e9crire \\(sin \\; \\hat{B} = \\displaystyle \\frac {sh(PQ)}{sh(QX)}=\\frac{sh \\, u}{sh \\, w}\\). Par \\((L_{1a}) \\; \\; sh \\, w = ch \\, x \\; sh \\, u\\), il vient \\(sin \\; \\hat{B} = \\displaystyle \\frac{1}{ch \\, x}\\),
ce qui donne la relation \\((E_2) \\; \\; \\hat{B}=\\Pi(SP)\\).
\u2022 La formule du cosinus dans un triangle rectangle donne \\(cos \\; \\hat{A} = \\displaystyle \\frac {th(PQ)}{th(QX)}=\\frac{th \\, u}{th \\, w}\\). Par \\((L_{2b}) \\; \\; th \\, w = th \\, u \\; ch \\, v\\), on peut \u00e9crire \\(cos \\; \\hat{A} = \\displaystyle \\frac{1}{ch \\, v}\\). Or \\( \\displaystyle \\frac{1}{ch \\, v} = th v^*\\), en utilisant les deux relations d\u00e9j\u00e0 vues \\( sh x^* =\\displaystyle \\frac{1}{sh \\, x} \\) et \\( ch x^* =\\displaystyle \\frac{1}{th \\, x} \\).
On a donc \\(cos \\; \\hat{A} = th v^*\\), ce qui donne la relation \\((E_3) \\; \\; \\hat{A}=\\Pi(QR^*)\\).
\u2022 Enfin, Pythagore dans le triangle \\(ABC\\) s’\u00e9crit \\(ch(BC) \\; ch \\, u = ch \\, w\\), soit \\(ch(BC) = \\displaystyle \\frac{ch \\, w}{ch \\, u} = \\displaystyle \\frac{1}{sin \\, \\sigma}\\) en utilisant \\(L_{3b}\\). Ce qui signifie \\((E_1) \\; \\; \\sigma=\\Pi(BC)\\).<\/p>\n\n\n\n

L’\u00e9quivalence d’existence du th\u00e9or\u00e8me<\/strong><\/p>\n\n\n\n

L’illustration de la figure pr\u00e9c\u00e9dente montre que du quadrilat\u00e8re on passe au triangle trivialement. Dans l’autre sens, depuis le triangle \\(ABC\\), on construit construit les points \\(P\\) et \\(Q\\) tel que \\(PQ=AC\\). Alors la perpendiculaire \u00e0 la perpendiculaire \u00e0 \\((PQ)\\) en \\(Q\\) appartenant au pinceau des droites parall\u00e8les \u00e0 \\((AB)\\). Cela donne les points \\(R\\) et \\(S\\) en m\u00eame temps. Il a d’autres points de vue de constructions \u00e0 partir de l’angle de parall\u00e9lisme. Il serait int\u00e9ressant de trouver un argument constructif depuis ce point de vue.<\/p>\n\n\n\n

Illustrations du th\u00e9or\u00e8me<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On propose deux illustrations, une o\u00f9 l’on part du quadrilat\u00e8re, puis une o\u00f9 l’on part du triangle<\/p>\n\n\n\n

Construction 1<\/strong> (du quadrilat\u00e8re au triangle)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On se donne deux points \\(P\\) et \\(Q\\), et on construit les perpendiculaires \u00e0 la droite \\((PQ)\\) en \\(P\\) et \\(Q\\). On se donne un point \\(R\\) sur celle issue de \\(Q\\) et on termine \u2026 quand il existe, le quadrilat\u00e8re de Lambert \\(PQRS\\).<\/p>\n\n\n\n

Dans cette figure, on construit, \u00e0 la r\u00e8gle et au compas, le triangle \\(ABC\\) \u00e0 partir de ces trois conditions du th\u00e9or\u00e8me : triangle rectangle en \\(C\\), \\(AC=PQ\\) et \\(AB=RS\\) de la fa\u00e7on suivante : \u00e9tant donn\u00e9 un point \\(C\\), on construit \u00e0 l’aide d’une m\u00e9diatrice et d’une sym\u00e9trie orthogonale, le cercle (rouge) de centre \\(C\\) et de rayon \\(PQ\\). On prend alors un point \\(A\\) sur ce cercle. On construit de m\u00eame le cercle (leu) de centre \\(A\\) de rayon \\(RS\\).<\/p>\n\n\n\n

La perpendiculaire \u00e0 \\([AC]\\) en \\(C\\) coupe ce cercle bleu en un point \\(B\\). Voyons que l’on illustre bien un sens du th\u00e9or\u00e8me de Engel.<\/p>\n\n\n