Cet article pr\u00e9sente quelques r\u00e9sultats th\u00e9oriques suppl\u00e9mentaires, dont des g\u00e9om\u00e9tries euclidiennes sans carr\u00e9s, les g\u00e9om\u00e9tries finies de Bachmann, ou encore une g\u00e9om\u00e9trie avec quatre types de pinceaux diff\u00e9rents. <\/p>\n\n\n\n
La lecture de cet article suppose que l’on ait lu la partie sur la s\u00e9paration des g\u00e9om\u00e9tries<\/a> et parcouru, m\u00eame un peu rapidement, les pages sur le plongement projectif<\/a> des plans de Bachmann<\/p>\n\n\n\n L\u2019alg\u00e9brisation issue des axiomes de g\u00e9om\u00e9trie a d\u00e9j\u00e0 largement \u00e9t\u00e9 \u00e9tudi\u00e9e par l\u2019\u00e9cole de Hilbert, dans diff\u00e9rentes directions. On a d\u00e9j\u00e0 rendu compte dans ce site du cas non argu\u00e9sien<\/a> avec le mod\u00e8le de Hilbert et celui de Moulton. Le th\u00e9or\u00e8me obtenu par Bachmann sur le plongement de tout plan m\u00e9trique dans un plan id\u00e9al projectif est essentiel puisqu\u2019il permet d\u2019appliquer les r\u00e9sultats g\u00e9n\u00e9raux relatifs \u00e0 l\u2019alg\u00e9brisation de la g\u00e9om\u00e9trie sur les plans projectifs. Il s\u2019agit alors, pour Bachmann, d\u2019\u00e9tudier d\u00e9sormais d’une part \u00e0 quels types de g\u00e9n\u00e9ralisation peut conduire son axiomatique, d’autre part de mettre en \u00e9vidence des figures caract\u00e9ristiques de certaines propri\u00e9t\u00e9s des corps rencontr\u00e9s..<\/p>\n\n\n\n Tout plan m\u00e9trique \u00e9tant un sous-ensemble d\u2019un plan projectif (son plan id\u00e9al), et son groupe isomorphe \u00e0 un sous-groupe du plan id\u00e9al, il en r\u00e9sulte qu\u2019\u00e0 tout plan m\u00e9trique (de Bachmann) correspond un corps \\(\\mathbb{K}\\) (commutatif par Pappus<\/a>, de caract\u00e9ristique diff\u00e9rente de 2 par Fano) et une forme quadratique \\(q\\) sur \\(\\mathbb{K}\\) telle que le plan peut \u00eatre identifi\u00e9 \u00e0 un sous-ensemble des coordonn\u00e9es projectives(*)<\/sup> et l\u2019orthogonalit\u00e9 \u00e0 l\u2019annulation de la forme bilin\u00e9aire associ\u00e9e \u00e0 \\(q\\).<\/p>\n\n\n\n (*) Avec la distinction – dans le vocabulaire de Bachmann – du cas \u00ab\u00a0singulier\u00a0\u00bb, \u00e0 savoir la v\u00e9rification de l’axiome \\(\\mathbf{R}\\), o\u00f9 \\(q\\) est anisotrope sur \\(\\mathbb{K}^2\\) du cas \u00ab\u00a0ordinaire\u00a0\u00bb (cas \\(\\neg \\mathbf{R}\\)) sur \\(\\mathbb{K}^3\\), d’indice 1 (hyperbolique) ou 0 (elliptique).<\/p>\n\n\n\n Cet article est un parcours, partiel et subjectif, des r\u00e9sultats de Bachmann sur les relations entre les corps de nombres obtenus, les figures caract\u00e9ristiques associ\u00e9es, et les propri\u00e9t\u00e9s initiales suppl\u00e9mentaires du groupe, parcours illustr\u00e9 de quelques exemples concrets.<\/p>\n\n\n\n C\u2019est le nom que donne Bachmann \u00e0 la transitivit\u00e9 de l\u2019action du groupe \\(\\Gamma\\) sur les drapeaux, c’est-\u00e0-dire les couples droite-point \\((d, A)\\) avec \\(A \\mid d\\). Cette propri\u00e9t\u00e9 n\u2019est pas demand\u00e9e a priori <\/em>dans l\u2019axiomatique de Bachmann et il montre qu\u2019elle est \u00e9quivalente \u00e0 la transitivit\u00e9 sur les droites et <\/em>sur les points. Cette hypoth\u00e8se est n\u00e9cessaire en g\u00e9n\u00e9ral. Bachmann fournit ainsi dans ses Appendices (p. 281) un exemple de g\u00e9om\u00e9trie semi-euclidienne o\u00f9 il y a transitivit\u00e9 sur les droites mais pas sur les points, et pour laquelle, le corps associ\u00e9 est pythagoricien.<\/p>\n\n\n\n Corps pythagoricien<\/strong> : corps d\u00e9fini par Hilbert dans ses \u00ab\u00a0fondements\u00a0\u00bb, avec \u00ab\u00a0la cinqui\u00e8me op\u00e9ration\u00a0\u00bb \\(\\left( \\sqrt{1+\\omega^2} \\right)\\), pour montrer l’ind\u00e9pendance de l’axiome d’Archim\u00e8de et du groupe d’axiomes associ\u00e9s \u00e0 la congruence. Bachmann \u00e9tudie les liens avec \u00ab\u00a0la pythagoricit\u00e9\u00a0\u00bb du corps et la libre mobilit\u00e9. La g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9 de son approche rend ces liens complexes (cas euclidien p. 216, cas elliptique p. 258).<\/p>\n\n\n\n Pour plus de d\u00e9tail on consultera avec int\u00e9r\u00eat le chapitre 4 (Propri\u00e9t\u00e9s de transitivit\u00e9 : le cas d’un corps quelconque) de la partie 4<\/a> de l’ouvrage de Daniel Perrin<\/a> d\u00e9j\u00e0 mentionn\u00e9 plusieurs fois dans ce site<\/a>.<\/p>\n\n\n\n L\u2019importance de la transitivit\u00e9 en g\u00e9om\u00e9trie r\u00e9sulte dans le fait (Meyer<\/a> \u2013 1907) que, sans elle, les cas d\u2019\u00e9galit\u00e9 des triangles sont faux. Meyer a construit une telle g\u00e9om\u00e9trie(*)<\/sup> dans laquelle des triangles aux c\u00f4t\u00e9s homologues sont congruents sans que les angles homologues le soient : le troisi\u00e8me cas \u00ab d\u2019\u00e9galit\u00e9 \u00bb des triangles n\u2019est pas v\u00e9rifi\u00e9. Depuis on estime qu\u2019une g\u00e9om\u00e9trie riche contient au moins la transitivit\u00e9 sur les droites.<\/p>\n\n\n\n (*) Dite g\u00e9om\u00e9trie cayleyenne \u00e0 deux absolus distincts<\/em>, probablement repr\u00e9sentable en g\u00e9om\u00e9trie dynamique (articles \u00e0 programmer ult\u00e9rieurement) car elle conserve tous les axiomes y compris de continuit\u00e9 sauf la congruence des triangles. Les cas de d\u00e9g\u00e9n\u00e9rescence des deux coniques induisent des g\u00e9om\u00e9tries particuli\u00e8res, aussi \u00e9tudi\u00e9es par Meyer, qui donnent des informations suppl\u00e9mentaires sur l\u2019ind\u00e9pendance des axiomes d\u2019incidence. <\/p>\n\n\n\n On se place donc dans le cas singulier<\/em>, c’est-\u00e0-dire sous l\u2019hypoth\u00e8se de l\u2019axiome R<\/strong><\/a>, et le plan m\u00e9trique est associ\u00e9 \u00e0 \\(E=\\mathbb{K}^2\\), muni d\u2019une forme quadratique \\(q\\) d\u00e9finie par \\(q(x,y)=x^2+\\alpha y^2\\), avec \\(-\\alpha \\notin \\mathbb{K}^{*2}\\) <\/em>(soit \\(-\\alpha\\) n\u2019est pas un carr\u00e9 dans \\(\\mathbb{K}\\) pour que \\(q\\) soit anisotrope). Le groupe \\(\\Gamma\\) est le groupe des isom\u00e9tries affines \\(Is(q)\\), engendr\u00e9 par l\u2019ensemble des sym\u00e9tries orthogonales, stable par conjugaison. D\u2019une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale (\\((\\Gamma, \\Delta)\\) v\u00e9rifie tous les axiomes de Bachmann.<\/p>\n\n\n\n Dans ce contexte Bachmann montre (p. 210-217) que les conditions suivantes sont \u00e9quivalentes :<\/p>\n\n\n\n Tout d\u2019abord si \\(-1\\) n\u2019est pas un carr\u00e9 dans \\(\\mathbb{K}\\), prenons \\(\\alpha=1\\). On est dans les conditions du th\u00e9or\u00e8me : puisque \\(1\\) est un carr\u00e9, il existe des carr\u00e9s et des rotations d\u2019angle \\(\\pi\/2\\) de centre chaque point du plan. C\u2019est en particulier le cas pour \\(\\mathbb{K}=\\mathbf{F}_3\\), \\(-1\\) est somme de carr\u00e9s mais n\u2019est pas un carr\u00e9. On trouve donc que le plan minimal de Bachmann, \u00e0 9 points, dont on a d\u00e9j\u00e0 vu<\/a> qu\u2019il \u00e9tait euclidien, \u00e9tant associ\u00e9 \u00e0 \\(\\mathbf{F}_3\\) contient des carr\u00e9s (et des rotations). Toujours dans ce cas o\u00f9 \\(-1\\) n\u2019est pas un carr\u00e9, si \\(\\alpha\\) est un carr\u00e9, on peut toujours se ramener \u00e0 \\(\\alpha=1\\) par un changement de variables.<\/p>\n\n\n\n Si \\(-1\\) est un carr\u00e9, comme \\(-\\alpha\\) n\u2019en est pas un par hypoth\u00e8se, \\(\\alpha\\) n\u2019est jamais un carr\u00e9 et donc aucun rectangle de la g\u00e9om\u00e9trie n\u2019est un carr\u00e9, et il n\u2019existe aucune rotation d\u2019angle \\(\\pi\/2\\). C\u2019est par exemple le cas pour les corps \\(\\mathbf{F}_p\\) o\u00f9 \\(p\\) est congru \u00e0 1 modulo 4, et donc pour les g\u00e9om\u00e9tries euclidiennes sur ces corps-l\u00e0.<\/p>\n\n\n\n D\u2019une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale les corps finis sont non pythagoriciens et donc les g\u00e9om\u00e9tries finies (euclidiennes) associ\u00e9es sont non transitives.<\/p>\n\n\n\n Un autre exemple de corps o\u00f9 \\(-1\\) est un carr\u00e9 est \\(\\mathbb{K}=\\mathbb{Q}(i)\\). Prenons \\(\\alpha=2\\). Comme ni \\(2\\) ni \\(-2\\) ne sont des carr\u00e9s dans \\(\\mathbb{K}\\), on est dans l\u2019alternative du th\u00e9or\u00e8me o\u00f9 il n\u2019existe pas de carr\u00e9s. On peut v\u00e9rifier que le quadrilat\u00e8re de sommets \\(A(0, 0), B(0, 1), C(1, 1), D(1, 0)\\) est un rectangle, mais que ce n\u2019est pas un carr\u00e9 : ses diagonales ne sont pas orthogonales (c\u2019est la d\u00e9finition de Bachmann) mais aussi \\(AB=CD=\\sqrt{2}\\) et \\(AD=BC=1\\).<\/p>\n\n\n\n Le plan associ\u00e9 est bien euclidien : il v\u00e9rifie l\u2019axiome de connexion \\(\\mathbf{C}\\). On rappelle que la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne v\u00e9rifie les axiomes du rectangle et de connexion. En effet on v\u00e9rifie que, si deux droites n\u2019ont pas un point commun, elles ont une perpendiculaire commune (par exemple parce que le vecteur \\((-1, 1\/2a)\\) est orthogonal au vecteur \\((1, a)\\)).<\/p>\n\n\n\n Par ailleurs \\(\\mathbb{K}\\) <\/em>n\u2019est pas pythagoricien (\\(2=1+1^2\\) n’est pas un carr\u00e9), donc la g\u00e9om\u00e9trie engendr\u00e9e sur \\(E\\) <\/em>n\u2019est pas transitive. Le vecteur \\(u=(1,0)\\) sera transform\u00e9 par isom\u00e9trie en un vecteur de m\u00eame norme (\\(q(u)=1\\)). Or sur la droite dirig\u00e9e par le vecteur \\((x, y)\\), il n\u2019y a de vecteur unit\u00e9 que si \\(q(x, y)=x^2+2y^2\\) est un carr\u00e9.<\/p>\n\n\n\n En particulier les droites dirig\u00e9es par \\(v=(0, 1)\\) o\u00f9 \\(w=(1, 1)\\) ne peuvent \u00eatre image d\u2019une droite dirig\u00e9e par \\(u\\) car ni \\(2\\), ni \\(3\\) ne sont des carr\u00e9s dans \\(\\mathbb{Q}(i)\\).<\/p>\n\n\n\n On a donc, avec \\(\\mathbb{K}=\\mathbb{Q}(i)\\) et \\(E=\\mathbb{K}^2\\) muni de la forme \\(x^2+2y^2\\), un exemple d\u00e9nombrable de g\u00e9om\u00e9trie euclidienne non transitive, sans carr\u00e9, et sur un corps non ordonnable(*)<\/sup> : la notion de g\u00e9om\u00e9trie euclidienne est largement \u00e9tendue par rapport aux repr\u00e9sentations usuelles que l\u2019on en a.<\/p>\n\n\n\n (*) Th\u00e9or\u00e8me d\u2019Artin-Schreier<\/strong> : un corps commutatif \\(\\mathbb{K}\\) <\/em>de caract\u00e9ristique diff\u00e9rente de 2 poss\u00e8de un ordre total compatible avec la structure de corps si et seulement si \\(-1\\) n\u2019est pas somme de carr\u00e9s dans \\(\\mathbb{K}\\). Dans la section pr\u00e9c\u00e9dente, nous avons vu que sous l\u2019hypoth\u00e8se de l\u2019axiome du rectangle, on construit facilement des plans euclidiens (de Bachmann) finis \u00e0 partir des corps \\(\\mathbb{K}=\\mathbf{F}_q\\). La question abord\u00e9e ici est celle des autres structures finies : peut-on avoir des g\u00e9om\u00e9tries finies (de Bachmann) elliptiques ou hyperboliques ?<\/p>\n\n\n\n On se place dans un contexte fini, et dans l\u2019hypoth\u00e8se \\(\\neg \\; \\mathbf{R}\\) <\/strong>c\u2019est-\u00e0-dire, du point de vue du plan id\u00e9al, dans les plans projectifs ordinaires <\/em>o\u00f9 l\u2019orthogonalit\u00e9 est associ\u00e9e \u00e0 la polarit\u00e9 et les sym\u00e9tries orthogonales aux homologies harmoniques d\u2019axe et de centre une droite et son p\u00f4le. \u00c0 ce plan id\u00e9al est associ\u00e9 son corps \\(\\mathbb{K}\\) <\/em>de coordonn\u00e9es homog\u00e8nes, n\u00e9cessairement fini (et de caract\u00e9ristique diff\u00e9rente de 2 par Fano). Le plan m\u00e9trique initial peut alors \u00eatre regard\u00e9 comme l\u2019int\u00e9rieur d\u2019une conique \\(\\mathscr{C}\\), associ\u00e9e \u00e0 une forme quadratique \\(q\\) sur \\(\\mathbb{K}^3\\), regard\u00e9 comme le plan projectif \\(\\mathbf{P}^2(\\mathbb{K})\\).<\/p>\n\n\n\n Conique ou ovale ?<\/strong> Traditionnellement le vocabulaire anglo-saxon de combinatoire en g\u00e9om\u00e9trie finie utilise la notion d\u2019ovales. Nous conserverons le vocabulaire alg\u00e9brique : il s\u2019agit bien d\u2019une conique sur un corps fini. En fait, les ovales, comme d\u00e9finies en g\u00e9om\u00e9trie finie peuvent ne pas \u00eatre des coniques, mais seulement en caract\u00e9ristique 2, \u00e0 partir de \\(\\mathbf{F}_8\\), cas exclu ici. (Burkard Polster \u2013 A geometrical picture book \u2013 Springer \u2013 p.133)<\/p>\n\n\n\n Le groupe \\(\\Gamma=PO(q)\\) est isomorphe \u00e0 \\(O^+(q)\\) (ou encore<\/a> \\(PLG(2,\\mathbb{K})\\). Il s’agit de voir pourquoi, pour aucun ensemble d’involutions \\(\\Delta\\), g\u00e9n\u00e9rateur de \\(\\Gamma\\), et stable par conjugaison, le couple \\((\\Gamma, \\Delta)\\) ne peut \u00eatre une g\u00e9om\u00e9trie de Bachmann.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Nous avons choisi, pour cet article, de ne pas d\u00e9tailler la preuve de ce r\u00e9sultat (dans les appendices de l’ouvrage de Bachmann p. 274-286) mais juste de donner quelques indications. L’objectif de plus long terme est de revenir sur ce th\u00e8me en proposant des illustrations dynamiques avec des figures finies manipulables de ce qui est seulement indiqu\u00e9 ci-dessous.<\/p>\n\n\n\n On consid\u00e8re donc la conique \\(\\mathscr{C}\\) associ\u00e9e \u00e0 \\(q\\). Une droite projective \\(d\\) <\/em>peut, par rapport \u00e0 \\(\\mathscr{C}\\), lui \u00eatre s\u00e9cante (2 points d\u2019intersection), tangente (un point d\u2019intersection) ou ext\u00e9rieure (aucun point d\u2019intersection). On s\u00e9pare ainsi les points du plan \\(\\mathbf{P}^2\\) de la fa\u00e7on suivante :<\/p>\n\n\n\n \\(\\begin{array}{|c | c | c|} \\hline \\mathscr{I} & \\text{les points } \\mathit{interieurs} & \\text{il ne passe } \\; \\mathit{aucune} \\text{ tangente a } \\mathscr{ C}\\\\ \\hline \\mathscr{C} & \\text{les points } \\mathit{sur} \\text{ la conique} & \\text{il passe une } \\mathit{unique} \\text{ tangente a } \\mathscr{ C} \\\\ \\hline \\mathscr{E} & \\text{les points } \\mathit{exterieurs} & \\text{il passe } \\mathit{deux} \\; \\text{ tangentes a } \\mathscr{ C} \\\\ \\hline \\end{array}\\)<\/p>\n\n\n\n Dans le cas \\(\\mathbb{K}=\\mathbf{F}_q\\), on montre que \\(\\mid \\mathscr{C} \\mid =q+1, \\; \\mid \\mathscr{I} \\mid =\\displaystyle \\frac{q(q-1)}{2}, \\mid \\mathscr{E} \\mid =\\displaystyle \\frac{q(q+1)}{2}\\). Une premi\u00e8re \u00e9tape de la d\u00e9monstration consiste en un lemme g\u00e9n\u00e9rique, valable pour tout corps commutatif \\(\\mathbb{K}\\) de caract\u00e9ristique diff\u00e9rente de 2, sur l’action du groupe \\(\\Gamma\\) et la position des points par rapport \u00e0 la conique. On a ainsi :<\/p>\n\n\n\n i) <\/em>Le groupe \\(\\Gamma\\) laisse stable chacun des trois ensembles \\(\\mathscr{I}, \\; \\mathscr{C}, \\; \\mathscr{E}\\). Par exemple, si dans \\(\\mathbb{K}\\) tous les \u00e9l\u00e9ments sont des carr\u00e9s (en particulier si le corps est alg\u00e9briquement clos), il n’existe que des points ext\u00e9rieurs \u00e0 la conique \\(\\mathscr{C}\\), on peut toujours mener deux tangentes \u00e0 \\(\\mathscr{C}\\) en chaque point du plan n’appartenant pas \u00e0 \\(\\mathscr{C}\\).<\/p>\n\n\n\n Une deuxi\u00e8me \u00e9tape consiste \u00e0 montrer que les classes de conjugaison des involutions dans \\(\\Gamma\\) sont en bijection avec \\(\\mathbb{K}^* \\, \/ \\, \\mathbb{K}^{*2}\\). Les r\u00e9flexions par rapport aux s\u00e9cantes forment une classe de conjugaison. Dans les cas \\(\\mathbb{K}=\\mathbb{R}\\) <\/strong>ou \\(\\mathbb{K}=\\mathbf{F}_q\\) il y a exactement deux classes de conjugaison qui correspondent aux droites s\u00e9cantes et aux droites ext\u00e9rieures (ou aux points de \\(\\mathscr{E}\\) et de \\(\\mathscr{I}\\) selon le point de vue).<\/p>\n\n\n\n S\u2019il y a une grande similitude structurelle entre le cas r\u00e9el et le cas des corps finis, une diff\u00e9rence majeure appara\u00eet en terme de configuration g\u00e9om\u00e9trique car, sur un corps fini, une droite ext\u00e9rieure contient toujours des points int\u00e9rieurs. Ainsi, sur \\(\\mathbf{F}_q\\), une droite \\(d\\) contient \\(\\displaystyle \\frac{(q-1)}{2}\\) points de \\(\\mathscr{I}\\) si c\u2019est une s\u00e9cante \u00e0 \\(\\mathscr{C}\\) et \\(\\displaystyle \\frac{(q+1)}{2}\\) si elle lui est ext\u00e9rieure.<\/p>\n\n\n\n On aura compris qu’un futur objectif de ce site et d’illustrer dynamiquement ce type de r\u00e9sultats, ainsi que les suivants. C’est pour cela que cet article pr\u00e9paratoire est propos\u00e9.<\/em><\/p>\n\n\n\n La derni\u00e8re \u00e9tape de la preuve consiste en une discussion selon trois possibilit\u00e9s de construire l’ensemble de g\u00e9n\u00e9rateurs \\(\\Delta\\). On discute alors, dans chaque cas, selon que \\(-1\\) est, ou non, un carr\u00e9. C’est cette discussion que nous aimerions illustrer en g\u00e9om\u00e9trie dynamique. Ainsi, dans le cas fini, il n\u2019existe pas de g\u00e9om\u00e9trie de Bachmann (dans le contexte \u00ac R<\/strong>) parce que le premier axiome d\u2019incidence ne peut pas \u00eatre v\u00e9rifi\u00e9 ou encore :<\/p>\n\n\n\n Les seules g\u00e9om\u00e9tries de Bachmann finies sont les g\u00e9om\u00e9tries euclidiennes classiques sur les corps finis.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Pour un instant sortons du contexte de Bachmann, pour pr\u00e9ciser (un peu) comment sont construites les g\u00e9om\u00e9tries finies munies d\u2019une orthogonalit\u00e9 et voir en quoi ces g\u00e9om\u00e9tries ne rentrent pas dans les typologies de Bachmann.<\/p>\n\n\n\n L\u00e0 encore on comprendra que l’approche propos\u00e9e ici est temporaire, l’objectif \u00e9tant de trouver un moyen d’illustrer cela de mani\u00e8re dynamique sur des g\u00e9om\u00e9tries finies.<\/p>\n\n\n\n La source de cette partie est l’article dit \u00ab\u00a0de combinatoire\u00a0\u00bb Ovals and finite Bolyai-Lobatchevsky planes<\/em> (An. Maths Monthly 69, 1962) de Ostorm, revisit\u00e9 par un vocabulaire et (pour les preuves) des arguments alg\u00e9briques par Daniel Perrin.<\/p>\n\n\n\n On travaille toujours sur \\(\\mathbb{K}=\\mathbf{F}_q\\) <\/strong>et le plan \\(\\mathbf{P}^2(\\mathbb{K})\\). L\u2019id\u00e9e est de s\u2019inspirer du mod\u00e8le de Klein. Le principal probl\u00e8me est celui de l\u2019incidence. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, on a vu dans la tentative de construction de plan fini de Bachmann non euclidien, que l\u2019axiome d\u2019incidence n\u2019est pas v\u00e9rifi\u00e9 par manque de droites (ou exc\u00e8s de points). Comme dans le mod\u00e8le de Klein, on consid\u00e8re comme points de la g\u00e9om\u00e9trie les points \\(\\mathscr{I}\\), int\u00e9rieurs \u00e0 la conique. Pour les droites, il faut ajouter aux s\u00e9cantes (de la tentative pr\u00e9c\u00e9dente) les ext\u00e9rieures puisqu\u2019elles contiennent des points de \\(\\mathscr{I}\\) et que l\u2019on cherche tout d\u2019abord \u00e0 r\u00e9aliser l\u2019axiome d\u2019incidence : par deux points il passe une droite. En d\u00e9finitive, on consid\u00e8re toutes les droites projectives sauf les isotropes (correspondant aux tangentes \u00e0 \\(\\mathscr{I}\\)). On notera que cela montre aussi qu\u2019on ne pouvait prendre comme ensemble de points, ni \\(\\mathscr{I}\\) ni \\(\\mathscr{I} \\cup \\mathscr{E}\\) car on trouverait toujours deux points non incidents, sur une tangente.<\/p>\n\n\n\n Nous avons donc la g\u00e9om\u00e9trie d\u2019incidence. Du point de vue de l\u2019incidence le plan \\(\\mathscr{I}\\) est d\u00e9j\u00e0 \u00ab hyperbolique \u00bb car par un point il passe plusieurs non s\u00e9cantes \u00e0 une droite donn\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n En effet, consid\u00e9rons une droite \\(d\\) et un point \\( A \\notin d\\). Le groupe \\(\\Gamma\\) est un groupe de collin\u00e9ations du plan \\(\\mathscr{I}\\) puisque, comme vu dans le lemme de l’\u00e9tape 1 de la section pr\u00e9c\u00e9dente, \\(\\Gamma\\) conserve \\(\\mathscr{I}\\) et les droites ordinaires de \\(\\mathbf{P}^2\\). On a vu qu\u2019il est aussi transitif sur \\(\\mathscr{I}\\) mais pas sur les droites puisqu\u2019il y a deux orbites sous \\(\\Gamma\\) : les s\u00e9cantes et les ext\u00e9rieures.<\/p>\n\n\n\n Voyons maintenant comment transformer ce plan d\u2019incidence en un plan m\u00e9trique (en un sens diff\u00e9rent de Bachmann). Comme dans le mod\u00e8le de Klein, on dira que deux droites \\(d_1\\) et \\(d_2\\) sont perpendiculaires si la compos\u00e9e des r\u00e9flexions \\(\\sigma_{d_1}\\sigma_{d_2}\\) est une involution (\u00e9quivalent comme dans le cas g\u00e9n\u00e9ral de Bachmann \u00e0 \\(d_1\\) et \\(d_2\\) commutent ou encore \u00e0 \\(d_1\\) est stable par \\(\\sigma_{d_2}\\) et \u00e0 \\(D_i \\in d_i\\) avec \\(D_i = d_i^{\\perp}\\)). <\/p>\n\n\n\n Autrement dit, finalement, on conserve la m\u00eame d\u00e9finition que dans l’axiomatique de Bachmann. Mais alors quelle est la diff\u00e9rence par rapport \u00e0 Bachmann ? Simplement que deux droites perpendiculaires peuvent se couper (comme droites de \\(\\mathbf{P}^2\\)) en un point \\(d\\) qui est un point ext\u00e9rieur. Autrement dit pour \\(\\mathscr{I}\\), deux perpendiculaires de \\(\\mathscr{I}\\) ne sont pas n\u00e9cessairement s\u00e9cantes dans le plan \\(\\mathscr{I}\\).<\/p>\n\n\n\n Par ailleurs la polaire de \\(A\\) est la droite \\((D_1D_2)\\), elle est orthogonale aux deux droites \\(d_1\\) et \\(d_2\\), et le plan ainsi construit a aussi des propri\u00e9t\u00e9s elliptiques. On a m\u00eame l\u2019\u00e9quivalent des th\u00e9or\u00e8mes 3 et 4<\/a> de la pr\u00e9sentation de l\u2019axiomatique de Bachmann :<\/p>\n\n\n\n Soit \\(A\\) un point de \\(\\mathscr{I}\\) et \\(q\\) une droite de \\(\\mathscr{I}\\). On suppose que \\(A \\neq D=d^{\\perp}\\). Alors il existe une unique perpendiculaire \u00e0 \\(d\\) passant par \\(A\\). Si \\(A\\) est le p\u00f4le de \\(d\\) (qui est alors une ext\u00e9rieure), toute droite passant par \\(A\\) est perpendiculaire \u00e0 \\(d\\).<\/p>\n\n\n\n Ainsi cette g\u00e9om\u00e9trie a des propri\u00e9t\u00e9s hyperboliques et elliptiques \u00e0 la fois ; on peut dire qu\u2019elle est elliptico-hyperbolique. Voyons, pour terminer, ce qu\u2019il en est pour les pinceaux.<\/p>\n\n\n\nLa libre mobilit\u00e9<\/h2>\n\n\n\n
Les carr\u00e9s dans les
plans m\u00e9triques euclidiens<\/h2>\n\n\n\n\n
Exemple de g\u00e9om\u00e9trie
euclidienne d\u00e9nombrable,
non transitive et sans carr\u00e9<\/h2>\n\n\n\n
Un corps pythagoricien peut toujours \u00eatre ordonn\u00e9.<\/p>\n\n\n\nLes g\u00e9om\u00e9tries finies de Bachmann
sont toutes euclidiennes<\/h2>\n\n\n\n
De m\u00eame une droite \\(d\\) est isotrope, s\u00e9cante ou ext\u00e9rieure si et seulement si son p\u00f4le \\(D=d^{\\perp}\\) est sur \\(\\mathscr{C}\\), ext\u00e9rieur ou int\u00e9rieur, respectivement. Remarquons que toute droite \\(d\\) contient des points ext\u00e9rieurs : si elle n\u2019est pas tangente, elle coupe une tangente en un point qui ne peut \u00eatre qu\u2019ext\u00e9rieur.<\/p>\n\n\n\n
ii)<\/em> Il est transitif sur \\(\\mathscr{C}\\) et sur les tangentes.
iii)<\/em> Si \\(d\\) est une tangente, pour \\(A \\in d, \\; q(A)\\) est un carr\u00e9.
iv)<\/em> Soit \\(A\\) un point du plan \\(\\mathbf{P}^2\\), alors \\(A\\) est sur \\(\\mathscr{C}\\) (resp. dans \\(\\mathscr{I}\\), resp. dans \\(\\mathscr{E}\\)) si et seulement si \\(q(A)\\) est nul (resp. est non carr\u00e9, resp. est un carr\u00e9 non nul).<\/p>\n\n\n\n
Dans tous les cas, c’est l’axiome d’incidence qui ne peut \u00eatre v\u00e9rifi\u00e9 : il y a \u00ab\u00a0trop\u00a0\u00bb de points, ou encore \u00ab\u00a0pas assez\u00a0\u00bb de droites de Bachmann. Par exemple, dans un cas, les droites de Bachmann sont les ext\u00e9rieures et les points de Bachmann sont aussi les ext\u00e9rieurs. Si on prend deux points ext\u00e9rieurs reli\u00e9s par une s\u00e9cante : on a deux points de Bachmann qui ne sont pas reli\u00e9s par une droite de Bachmann. Dans un autre cas, les droites de Bachmann sont les s\u00e9cantes et les points de Bachmann les int\u00e9rieurs. Alors l\u2019axiome d\u2019incidence est encore non v\u00e9rifi\u00e9 car on a vu, dans le cas des corps finis, qu\u2019il existe des points int\u00e9rieurs qui sont reli\u00e9s par une droite ext\u00e9rieure, donc des points de Bachmann qui ne sont pas sur une droite de Bachmann : c\u2019est d\u2019ailleurs ici le seul cas o\u00f9 la situation est vraiment diff\u00e9rente de ce qui se passe sur \\(\\mathbb{R}\\).<\/p>\n\n\n\nLe plan d’Ostorm<\/h2>\n\n\n\n
– Si \\(d\\) est une s\u00e9cante, elle coupe \\(\\mathscr{C}\\) en deux points (de \\(\\mathbf{P}^2\\)), \\(B\\) et \\(C\\). Alors les droites \\((AB)\\) et \\((AC)\\) \u2013 qui sont des droites de \\(\\mathscr{I}\\) car non tangentes \u2013 ne rencontrent pas \\(d\\).
– Si \\(d\\) est une ext\u00e9rieure, on a vu qu\u2019elle contient \\(\\displaystyle \\frac{(q+1)}{2}\\) points ext\u00e9rieurs. Il suffit de joindre \\(A\\) \u00e0 ces points pour avoir des droites de \\(\\mathscr{I}\\) qui ne se coupent pas en des points de \\(\\mathscr{I}\\).<\/p>\n\n\n\n