{"id":6410,"date":"2023-09-19T20:51:37","date_gmt":"2023-09-19T16:51:37","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=6410"},"modified":"2025-12-24T12:39:18","modified_gmt":"2025-12-24T08:39:18","slug":"propriete-metrique-absolue-des-cycles-exinscrits-de-triangles","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=6410","title":{"rendered":"Propri\u00e9t\u00e9 m\u00e9trique absolue des cycles exinscrits de triangles"},"content":{"rendered":"\n

On se propose de montrer – de mani\u00e8re absolue, c’est-\u00e0-dire pour les g\u00e9om\u00e9tries hyperbolique, euclidienne et elliptique – une propri\u00e9t\u00e9 des milieux des sommets d’un triangle vis \u00e0 vis des points de contact du cercle inscrit et des cycles exinscrits avec les droites du triangle, dont voici une illustration hyperbolique.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

On notera que les points de contact \\(D_x, E_x, F_x\\) sont construits ind\u00e9pendamment du type de cycle (cercle ou \u00e9quidistante) par une cons\u00e9quence du Th21b de cette page<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Lecture absolue de la projection
orthogonale d’un milieu – Application<\/h2>\n\n\n\n

On sait que la projection orthogonale d’un milieu est le milieu des projet\u00e9s seulement dans le cas de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne. Commen\u00e7ons par reprendre (rapidement) l’argumentaire euclidien dans le contexte qui nous int\u00e9resse : <\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ci-contre \\(O\\) est le centre du cercle inscrit de \\(ABC\\), \\(O_a\\) le centre du cercle exinscrit oppos\u00e9 au sommet \\(A\\). Dans le cas euclidien, on montre que le milieu \\(J\\) de \\(B\\) et \\(C\\) est aussi le milieu des contacts \\(h_A\\) et \\(E_a\\) du cercle inscrit et du cercle exinscrit avec \\((BC)\\) g\u00e9n\u00e9ralement avec deux propri\u00e9t\u00e9s sp\u00e9cifiquement euclidiennes : la cocyclicit\u00e9 et le conservation du milieu par projection orthogonale. En effet, en appelant \\(P\\) l’intersection de la bissectrice \\([OO_a]\\) et du cercle circonscrit \u00e0 \\(ABC\\), par des consid\u00e9rations d’angles, on voit qu’il est aussi sur la m\u00e9diatrice de \\([BC]\\). Par ailleurs les points \\(O, B, O_a, C\\) sont cocycliques sur le cercle de diam\u00e8tre \\(OO_a\\). Son centre est \u00e0 la fois sur la bissectrice et la m\u00e9diatrice. C’est donc le point \\(P\\) (sauf si le triangle est isoc\u00e8le en \\(A\\) car la m\u00e9diatrice et la bissectrice sont confondues, mais on arrive au m\u00eame r\u00e9sultat par un autre argument). Il en r\u00e9sulte le milieu \\(J\\) de \\([BC]\\), comme projet\u00e9 orthogonal de \\(P\\), est aussi le milieu de \\(h_A\\) et \\(E_a\\) comme projet\u00e9s orthogonaux de \\(O\\) et \\(O_a\\).<\/p>\n\n\n\n

Mias les deux principaux arguments sont uniquement euclidiens. Pour obtenir un th\u00e9or\u00e8me absolu, il faut un regard diff\u00e9rent sur la situation. Pour cela, on va essentiellement utiliser le th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev<\/a>. En effet, on dispose de deux pinceaux \\(\\mathscr{P}_{(OB)(OC)}\\) et \\(\\mathscr{P}_{(O_aB)(O_aC)}\\) avec les angles droits en \\(B\\) et \\(C\\), et la droite \\((OO_a)\\) qui appartient aux deux pinceaux. Or le th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev dit que la droite \\((OO_a)\\) appartient aux deux pinceaux (quand on sait qu’elle appartient \u00e0 l’un deux) si le produit des trois droites \\((OB), (OO_a), (OC)\\) est orthogonal \u00e0 \\((BC)\\). Donc ce produit est la droite \\((Oh_A)\\). De m\u00eame le produit des droites \\((O_aB), (O_aO), (O_aC)\\) va \u00eatre la droite \\((O_aE_a)\\).<\/p>\n\n\n\n

Une version absolue de la propri\u00e9t\u00e9 des milieux<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Par ailleurs, on n’a pas besoin que les pinceaux soient \u00e0 centre comme dans le cas euclidien (m\u00eame si on sait que c’est le cas des bissectrices \u00ab\u00a0int\u00e9rieures\u00a0\u00bb au triangle). Voyons donc une configuration un peu plus g\u00e9n\u00e9rale, par application du th\u00e9or\u00e8me de Hjelmselv.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Une version absolue du r\u00e9sultat pr\u00e9c\u00e9dent : le milieu de \\(B\\) et \\(C\\)<\/em><\/em> est aussi milieu <\/em>
des intersections de \\((BC)\\) avec les produits \\(bac\\) et \\(b_1ac_1\\)<\/em> qui sont les <\/em>
perpendiculaires \u00e0 \\((BC)\\)<\/em> issues des deux pinceaux \\(\\mathscr{P}_{bc}\\) et \\(\\mathscr{P}_{b_1c_1}\\)<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Dans la figure ci-dessus, on se donne deux points \\(B\\) et \\(C\\) d\u00e9finissant chacun les droites \\((Bb)\\) et \\(Cc)\\), les points \\(b, \\,c\\) servant de poign\u00e9es pour les droites du m\u00eame nom. Par \\(B\\) et \\(C\\) on construit les perpendiculaires \\(b_1\\) et \\(c_1\\). On a donc \\(B=bb_1=b_1b\\) et \\(C=cc_1=c_1c\\). On se place dans la situation o\u00f9 les deux pinceaux \\(\\mathscr{P}_{bc}\\) et \\(\\mathscr{P}_{b_1c_1}\\) ont une droite commune, la droite \\(a\\) (ci-dessus en bleu). Par le th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev, on sait que \\(h=bac\\) et \\(h_1=b_1ac_1\\) sont toutes les deux orthogonales \u00e0 la droite \\((BC)\\). On note \\(h_A, E_a\\) les pieds de perpendiculaire sur \\((BC)\\). En utilisant les d\u00e9finitions de \\(B\\) et \\(C\\), on peut \u00e9crire \\(Bh=Bbac=b_1ac=b_1ac_1C =h_1C\\). En notant \\(u\\) et \\(v\\) les perpendiculaires \u00e0 \\((BC)\\) en \\(B\\) et \\(C\\) (en vert fonc\u00e9 ci-dessus), de \\((BC)=uB=vC=Cv\\), on tire \\(uh=h_1v\\).<\/p>\n\n\n\n

Soit alors \\(J\\) un point tel que \\(B^J=C\\) (\\(J\\) un milieu de \\(B,C\\)), par conservation de l’orthogonalit\u00e9 des sym\u00e9tries centrales, on a \\(Ju=vJ\\). Le produit des deux \u00e9galit\u00e9s donne \\(Jh=vJh_1v\\). Mais comme \\((BC) \\mid v, v1, J\\) (th 11 pr\u00e9liminaire<\/a> au th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev), on sait que \\(vJh_1\\) est un point que l’on peut remplacer par son inverse \\(h_1Jv\\) dans l’\u00e9galit\u00e9, et ainsi \\(Jh=h_1J\\). En particulier, en se limitant \u00e0 la droite \\((BC)\\), avec les pieds des perpendiculaires, il vient \\(Jh_A= E_aJ\\), soit \\(h_A^J= E_a\\), autrement dit \\(J\\) est milieu des points \\(h_A, E_a\\) … ce qui est illustr\u00e9 avec la distance dans le disque de Poincar\u00e9.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

M\u00eame configuration avec les deux pinceaux \\(\\mathscr{P}_{bc}\\) et \\(\\mathscr{P}_{b_1c_1}\\) \u00e0 centre.
Pour cela d\u00e9placer les points \\(b, \\,c\\) ou les points \\(B, \\,C\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n

Preuve du th\u00e9or\u00e8me pour les points de
contact des cercles exinscrits <\/h2>\n\n\n\n

Propri\u00e9t\u00e9 g\u00e9n\u00e9rique et preuve sp\u00e9cifique \u00e0 la version euclidienne<\/strong><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

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Preuve euclidienne<\/strong><\/p>\n\n\n\n

D’une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, la droite \\((AC)\\) est globalement invariante par la compos\u00e9e des 5 isom\u00e9tries. et cette compos\u00e9e transforme \\(A\\) en \\(C\\). Cela ne peut \u00eatre que la sym\u00e9trie centrale de centre \\(K\\) ou la sym\u00e9trie orthogonale d’axe la m\u00e9diatrice de \\(A\\) et \\(C\\). Mais comme il y a trois sym\u00e9tries orthogonales et deux sym\u00e9tries centrales, en passant au vectorialis\u00e9 (la sp\u00e9cificit\u00e9 euclidienne), la sym\u00e9trie centrale est exclue, c’est donc la sym\u00e9trie orthogonale en \\(s_d\\).<\/p>\n\n\n\n

Version absolue de cette propri\u00e9t\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n