![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/Presente_lnPhi_KB.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nOuvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n On sait, d’une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale (Th 25 de cette page<\/a>), que l’orthocentre \\(I\\) de \\(MNP\\) est aussi le centre du cercle inscrit du triangle podaire \\(ABC\\) associ\u00e9. Mais dans cette figure sp\u00e9cifique, le cercle inscrit \u00e0 \\(MNP\\) est aussi cercle circonscrit \u00e0 \\(ABC\\). En effet la perpendiculaire \u00e0 un c\u00f4t\u00e9 de \\(MNP\\) issu du sommet id\u00e9al oppos\u00e9 est \u00e0 la fois hauteur du triangle id\u00e9al, mais aussi axe de sym\u00e9trie des deux c\u00f4t\u00e9s du triangle et donc bissectrice du triangle id\u00e9al. Il en r\u00e9sulte que \\(I\\) est non seulement centre du cercle inscrit \u00e0 \\(ABC\\) mais aussi centre du cercle inscrit \u00e0 \\(MNP\\) et donc centre du cercle circonscrit \u00e0 \\(ABC\\). Autrement dit le triangle \\(ABC\\) est \u00e9quilat\u00e9ral. Une autre fa\u00e7on pr\u00e9senter ce r\u00e9sultat aurait \u00e9t\u00e9 de dire que les droites de \\(MNP\\) et \\(ABC\\) ont les hauteurs de \\(MNP\\) comme perpendiculaires communes. <\/p>\n\n\n\n Pour ce qui est des calculs on envoie le centre \\(I\\) du cercle en le centre \\(O_{hz}\\) du disque de Poincar\u00e9 par une sym\u00e9trie orthogonale hyperbolique (droite orange ci-dessous), ce qui transforme le triangle \\(ABC\\) en un triangle \\(A_1B_1C_ 1\\). On se propose de calculer les longueurs des c\u00f4t\u00e9s de ce triangle. Bien entendu le triangle \\(A_1B_1C_ 1\\) est aussi \u00e9quilat\u00e9ral, et donc sa hauteur \\((A_1K)\\) est aussi m\u00e9diane, m\u00e9diatrice, bissectrice.<\/p>\n\n\n On peut supposer le cercle horizon de rayon 1. Pour calculer les longueurs hyperboliques, on travaille dans le contexte euclidien. Ainsi le triangle \\(M_1N_1P_ 1\\), image par la m\u00eame sym\u00e9trie orthogonale hyperbolique que ci-dessus, de \\(MNP\\) est \u00e9quilat\u00e9ral et donc ses c\u00f4t\u00e9s mesurent \\(\\sqrt{3}\\). Il en r\u00e9sulte que les c\u00f4t\u00e9s du triangle des milieux \\(A_1B_1C_ 1\\) mesurent la moiti\u00e9. Un calcul rapide montre aussi que \\(\\displaystyle O_{hz}A_1=\\frac{1}{2}\\) et donc \\(\\displaystyle O_{hz}K=\\frac{1}{4}\\).<\/p>\n\n\n\n Pour rappel, dans ce mod\u00e8le, la distance hyperbolique des deux points \\(B_1\\) et \\(C_1\\) est donn\u00e9e par \\(d(B_1,C_1) = \\displaystyle \\frac{1}{2} \\left\\vert ln \\left(\\frac{B_1R}{B_1S} : \\frac{C_1R}{C_1S}\\right) \\right \\vert\\).<\/p>\n\n\n\n On commence par calculer \\(\\displaystyle KR=KS=\\frac{\\sqrt{15}}{4}\\). Il en r\u00e9sulte que \\(\\displaystyle B_1S=\\frac{\\sqrt{15}+\\sqrt{3}}{4}\\) et \\(\\displaystyle B_1R=\\frac{\\sqrt{15}-\\sqrt{3}}{4}\\). Comme, par sym\u00e9trie, \\(\\displaystyle \\frac{C_1R}{C_1S} = \\frac{B_1S}{B_1R}\\), on peut \u00e9crire \\(d(B_1,C_1) = \\displaystyle \\frac{1}{2} . 2 \\, ln \\left(\\frac{\\sqrt{15}+\\sqrt{3}}{\\sqrt{15}-\\sqrt{3}} \\right)\\), soit, apr\u00e8s simplification \\(d(B_1,C_1) = \\displaystyle ln \\, \\varphi^2 = 2 \\, ln \\, \\varphi\\), o\u00f9 \\(\\varphi\\) est le nombre d’or \\(\\displaystyle \\varphi=\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}\\).<\/p>\n\n\n\n Ainsi le triangle original \\(ABC\\) est \u00e9quilat\u00e9ral, de c\u00f4t\u00e9 de longueur \\(2 \\, ln \\, \\varphi\\), ind\u00e9pendamment de la position des points \\(M, N, P\\).<\/strong><\/p>\n\n\n\n Enfin, de par \\(\\displaystyle O_{hz}A_1=\\frac{1}{2}\\) et donc \\(\\displaystyle O_{hz}K=\\frac{1}{4}\\), il vient, de la m\u00eame fa\u00e7on \\(\\displaystyle IA=IB=IC = \\frac{ln \\, 3}{2}\\) et \\(IK_a=IK_b=IK_c =\\displaystyle \\frac{1}{2} ln \\left( \\frac{5}{3} \\right)\\).<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Calcul num\u00e9rique<\/strong><\/p>\n\n\n\n On connait les formules de trigonom\u00e9trie hyperbolique – pr\u00e9sent\u00e9es par exemple \u00e0 la fin du premier article sur le m\u00e9moire de Bolya\u00ef <\/a>– et donc, appliqu\u00e9es au triangle \u00e9quilat\u00e9ral \\(ABC\\), il vient :<\/p>\n\n\n\n \\(cos \\, A : \\displaystyle \\frac{ch^2 \\, a-ch\\, a}{sh^2\\, a} = \\frac{ch \\, a}{sh \\, a}.\\frac{ch \\, a -1}{sh \\, a} =\\displaystyle \\frac{th \\displaystyle \\frac{a}{2}}{th \\, a}\\).<\/p>\n\n\n\n Ici \\(a=ln \\, \\varphi^2\\), d’o\u00f9 \\(ch \\, a = \\displaystyle \\frac{\\varphi^2+\\varphi^{-2}}{2}= \\displaystyle\\frac{3}{2}\\) et \\(sh \\, a = \\displaystyle \\frac{\\varphi^2-\\varphi^{-2}}{2}=\\varphi-\\displaystyle \\frac{1}{2}\\).<\/p>\n\n\n\n \\(cos A= \\displaystyle \\frac{3}{2}. \\frac{1}{2(\\varphi- \\displaystyle \\frac{1}{2})^2}=\\frac{3}{5}\\) car \\(\\varphi^2-\\varphi =1\\)<\/p>\n\n\n\n Mesure de l’angle sur la figure<\/strong><\/p>\n\n\n\n On sait que seuls les angles dont le sommet est le centre du disque de Klein-Beltrami sont conformes. Donc pour mesurer l’angle en \\(A\\), on transporte le triangle \\(ABC\\) en un triangle isom\u00e9trique de sommet \\(O_{Hz}\\) par la sym\u00e9trie orthogonale d’axe la m\u00e9diatrice de \\(O_{Hz}\\) et \\(A\\). On mesure ainsi l’angle \\(im_BO_{Hz}im_C\\) et son cosinus … co\u00efncide bien avec la valeur calcul\u00e9e ci-dessus.<\/p>\n\n\n\n Le cosinus de l’angle du triangle podaire \\(ABC\\) d’un triangle id\u00e9al \\(MNP\\) mesure 0,6.<\/em><\/p>\n\n\n\n Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Construite dans KB<\/strong>, la figure s’envoie naturellement sur la pseudosph\u00e8re par les macros de conjugaison d\u00e9j\u00e0 d\u00e9taill\u00e9es ici<\/a>. On obtient rapidement ce type de figure, dans laquelle on a choisi de prendre un des points id\u00e9aux fixe : le seul point accessible par la pseudosph\u00e8re, le point \\(I_{dl}, \\; dl\\) pour disque limite<\/em> :<\/p>\n\n\n En pratique, dans la figure, on peut d\u00e9placer les points id\u00e9aux \\(M_{dl}\\) et \\(N_{dl}\\) ce qui \u00e9loigne les points \\(A, B, C\\) de l’\u00e9quateur, et peut m\u00eame faire enrouler le triangle \\(ABC\\) autour de la pseudosph\u00e8re vu qu’il garde les m\u00eames dimensions.<\/p>\n\n\nLongueur des c\u00f4t\u00e9s du triangle podaire<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/Calculs_KB_TRpodaire_ID.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nAngle du triangle \u00e9quilat\u00e9ral<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/Mesure_Angle_A.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\nLa figure dans d’autres mod\u00e8les<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/PS_KB_lnPhi1.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/PS_KB_lnPhi2.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/DP_lnPhi.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n