{"id":5230,"date":"2022-11-28T21:17:14","date_gmt":"2022-11-28T17:17:14","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=5230"},"modified":"2025-12-23T20:24:47","modified_gmt":"2025-12-23T16:24:47","slug":"pavages-reguliers-construits-sur-des-horicycles","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=5230","title":{"rendered":"Pavages r\u00e9guliers construits sur des horicycles"},"content":{"rendered":"\n

Apr\u00e8s les pavages r\u00e9guliers constructibles<\/a>, puis les pavages orthogonaux non r\u00e9guliers<\/a>, cette page s’int\u00e9resse \u00e0 des pavages r\u00e9guliers \\(P(\\infty,k)\\) qui n’ont plus des cercles comme support, mais des horicyles.<\/p>\n\n\n\n

Le principe de la construction<\/h2>\n\n\n\n

La construction est \u00e9l\u00e9mentaire, totalement g\u00e9om\u00e9trique et sans calculs. C’est surtout pour une certaine esth\u00e9tique propre \u00e0 ces figures que l’on se propose de les pr\u00e9senter dans ce petit article. Comme pour les pavages pr\u00e9c\u00e9dents, on travaille dans le disque de Poincar\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

On se donne un point \\(A\\) du plan hyperbolique et un point id\u00e9al \\(I\\), soit un point du cercle horizon dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9. On va donc construire des horicycles d’axe \\((AI)\\). Ainsi, pour le pavage \\(P(\\infty,k)\\) de centre \\(I\\) de sommet \\(A\\), on construit l’horicycle tel que le premier arc d’horicycle de sommet \\(A\\) fasse un angle de \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{k}\\) avec la droite \\((AI)\\) de telle sorte que \\((AI)\\) soit axe de sym\u00e9trie du polygone infini \u00e0 construire. Ce qui donne, pour les premi\u00e8res constructions :<\/p>\n\n\n\n

Pour \\(k=3\\)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\\(u_A\\) est le projet\u00e9 orthogonal de \\(I\\) sur la tangente \u00e0 \\((AI)\\) en \\(A\\), ce qui permet de construire l’angle \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{3}\\) et ainsi construire le premier horicycle de ce pavage, celui de centre \\(I\\) passant par \\(A\\). On construit ainsi les deux premiers sommets du polygone autour de \\(A\\), puis les deux autres horicycles de ce pavage \\(P(\\infty,3)\\), celui de centre \\(J\\) et celui de centre \\(K\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

D\u00e9but de la construction de \\(P(\\infty,3)\\).
On notera que les axes de horicycles se prolongent par des arcs de polygones d’un autre horicycle.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Pour \\(k=4\\)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans ce cas, les pavages sont compos\u00e9s de polygones orthogonaux. Ils ont alors des propri\u00e9t\u00e9s plus sp\u00e9cifiques. Par exemple, dans ce cas, les centres d’horicycles \\(J\\) et \\(K\\) sont align\u00e9s avec \\(A\\), de m\u00eame pour les centres \\(I\\) et \\(L\\) et les deux droites sont orthogonales. En pratique, \\(L\\) est l’inverse de \\(I\\) par rapport \u00e0 l’arc de cercle \\((JK)\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

D\u00e9but de la construction de \\(P(\\infty,4)\\). <\/em><\/p>\n\n\n\n

De m\u00eame, les points \\(P, A, Q\\) sont align\u00e9s, ainsi que \\(R, A, S\\) et les deux droites associ\u00e9es sont orthogonales. Ces droites seront aussi, bien entend, des \u00ab\u00a0droites des centres\u00a0\u00bb dans le cas d’une figure plus aboutie.<\/p>\n\n\n\n

Pour \\(k=5\\)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Il y a donc un horicycle de plus passant par \\(A\\). Selon la construction, il est avant ou apr\u00e8s celui de centre \\(L\\). Ici on a conserv\u00e9 la construction ant\u00e9rieure de \\(L\\) (inverse de \\(I\\) selon \\((JA)\\)), ce qui fait que le nouvel horicycle, de centre \\(M\\), est avant celui de centre \\(L\\) (depuis le point \\(I\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Comme dans le cas impair pr\u00e9c\u00e9dent, les axes des horicycles sont align\u00e9s avec les arcs du pavage d’autres horicycles passant par \\(A\\). Ainsi \\(R, A, M\\) sont align\u00e9s. De m\u00eame, \\(I, A, N\\) ou encore \\(Q, A, L\\) sont align\u00e9s ainsi que \\(P, A, K\\) et \\(J, A, S\\).<\/p>\n\n\n\n

Figure de synth\u00e8se<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La figure est r\u00e9gl\u00e9e sur \\(k=5\\). Pour les autres valeurs, on a laiss\u00e9 volontairement apparaitre les points qui ont \u00e9t\u00e9 construits post\u00e9rieurement : tous les points de \\(k=5\\) ne sont pas cach\u00e9s pour \\(k=4\\) ou \\(k=3\\).<\/p>\n\n\n