{"id":5132,"date":"2022-11-05T17:55:14","date_gmt":"2022-11-05T13:55:14","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=5132"},"modified":"2025-12-23T20:02:18","modified_gmt":"2025-12-23T16:02:18","slug":"cercles-de-pavages-hyperboliques-constructibilite","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=5132","title":{"rendered":"Cercles de pavages hyperboliques – Constructibilit\u00e9"},"content":{"rendered":"\n

Dans diff\u00e9rentes pages des menus, celle sur les pavages dans DP<\/strong><\/a>, mais aussi dans plusieurs pages du menu PSH<\/strong>, sur les pavages (comme P54_P45<\/a> ou P38_P83<\/a> entre autres) on a plusieurs fois renvoy\u00e9 \u00e0 un futur article sur les constructions pr\u00e9liminaires aux pavages : la construction des cercles de pavage. <\/p>\n\n\n

[latexpage]<\/p>\n\n\n\n

Quel type de construction ?<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Chaque activit\u00e9 particuli\u00e8re induit ses probl\u00e9matiques sp\u00e9cifiques. Pour un site de g\u00e9om\u00e9trie, qui plus est sur les GNE<\/strong>, la r\u00e9alisation des figures questionne r\u00e9guli\u00e8rement les choix retenus pour les constructions. Essaie-t-on de r\u00e9aliser une construction g\u00e9om\u00e9trique – typiquement \u00ab\u00a0r\u00e8gle et compas\u00a0\u00bb, \u00e9ventuellement intersection de coniques- o\u00f9 choisi-t-on une construction plus analytique ? C’est pour aborder cette question sur les cercles de pavages avec un peu plus de recul que l’on pr\u00e9sente cette page apr\u00e8s avoir illustr\u00e9 le m\u00e9moire de Bolya\u00ef , dont on rappelle qu’il a \u00e9t\u00e9 le premier \u00e0 s’\u00eatre questionn\u00e9 sur la constructibilit\u00e9, au sens de Gauss – des segments en g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique.<\/p>\n\n\n\n

Nous avons illustr\u00e9 le travail de Bolya\u00ef sur deux articles, le premier<\/a>, acc\u00e8s sur les horicycles et les horisph\u00e8res se termine sur les formules trigonom\u00e9triques dans un triangle hyperbolique. Le second <\/a>aborde la caract\u00e9risation des segments constructibles pour montrer la quadrature du cercle. Apr\u00e8s avoir propos\u00e9 une construction g\u00e9om\u00e9trique pour un cercle d’aire \\(\\pi\\), Bolya\u00ef,concluait \u00e0 la quadrature \u00ab\u00a0sous l’hypoth\u00e8se de la fausset\u00e9 de l’axiome XI\u00a0\u00bb en calculant le rayon du carr\u00e9 d’aire \\(\\pi\\), montrant en m\u00eame temps qu’il est constructible. L’article se termine en remarquant qu’il ne propose pas de construction du carr\u00e9 correspondant comme il l’a fait du cercle.<\/p>\n\n\n\n

Ayant un crit\u00e8re de constructibilit\u00e9, on peut se poser la question de savoir si on construit – pour les cas constructibles – un cercle de pavage de mani\u00e8re g\u00e9om\u00e9trique ou plus simplement de mani\u00e8re analytique avec les formules des angles de parall\u00e9lisme par exemple …<\/p>\n\n\n\n

Calcul des rayons des cercles de pavage constructibles<\/h2>\n\n\n\n

On reprend certaines notations de Bolya\u00ef : on pr\u00e9fixe ainsi, comme lui, de \\(\\Sigma\\) la constructibilit\u00e9 euclidienne et de \\(S\\) la constructibilit\u00e9 hyperbolique. Les r\u00e9sultats du m\u00e9moire de Bolya\u00ef sont alors les suivants :<\/p>\n\n\n\n

\u2022 Les angles sont \\(S\\)-constructibles si et seulement si ils sont \\(\\Sigma\\)-constructibles.
\u2022 Un segment \\(r\\) est \\(S\\)-constructible si et seulement si \\(sh(r)\\) est \\(\\Sigma\\)-constructible, ce qui est \u00e9quivalent \u00e0 \\(ch(r)\\) ou \\(e^r\\) sont \\(\\Sigma\\)-constructibles.<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9composition du polygone de P(n,k)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Le pavage \\(P(n,k)\\) est constitu\u00e9 de polygones r\u00e9guliers (convexes) \u00e0 \\(n\\) c\u00f4t\u00e9s tel qu’autour de chaque sommet il y a \\(k\\) tels polygones identiques. On a d\u00e9j\u00e0 montr\u00e9 dans cette page<\/a> d’introduction aux pavages, qu’un pavage \\(P(n,k)\\) existe si et seulement si \\(\\displaystyle \\frac{1}{n}+\\frac{1}{k}<\\frac{1}{2}\\).<\/p>\n\n\n\n

Un polygone de \\(P(n,k)\\) a pour angle au centre \\(\\displaystyle \\frac{2\\pi}{n}\\) et pour angle au sommet \\(\\displaystyle \\frac{2\\pi}{k}\\). Il est donc compos\u00e9 de \\(n\\) triangles isoc\u00e8les de m\u00eame angle au sommet et d’angle \u00e0 la base \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{k}\\). On reprend la d\u00e9marche de Bolya\u00ef en d\u00e9composant ce triangle isoc\u00e8le en deux triangles rectangles d’angles \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{n}\\) et \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{k}\\).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Exemple d’un hexagone \\((n=6)\\) orthogonal \\((k=4)\\).
On s’int\u00e9resse au triangle rectangle d’angles 30\u00b0 et 45\u00b0.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Calcul du rayon de pavage<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On rappelle les r\u00e9sultats trigonom\u00e9triques d\u00e9j\u00e0 vus<\/a><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Et donc en notant \\(r_{nk}\\) le rayon du cercle de pavage de \\(P(n,k)\\) et \\(ch_{nk}=ch(r_{nk})\\) on a \\(ch_{nk}=\\displaystyle cotan \\left( \\frac{\\pi}{n} \\right) \\; cotan \\left( \\frac{\\pi}{k} \\right)\\), ce qui, pour \\(n\\) \u00e9gal \u00e0 4, se simplifie en \\(ch_{4k}=\\displaystyle cotan \\left( \\frac{\\pi}{k} \\right)\\). Une premi\u00e8re cons\u00e9quence est que les rayons des cercles de pavage de \\(P(n,k)\\) et de \\(P(k,n)\\) sont \u00e9gaux.<\/p>\n\n\n\n

On a donc, pour les premiers angles constructibles usuels :<\/p>\n\n\n\n

\\(ch_{45} = \\displaystyle \\frac{4}{(\\sqrt{5}-1) \\sqrt{2(5-\\sqrt{5})}}\\), \\( \\quad ch_{46} =\\sqrt{3} \\quad\\) et \\(\\quad ch_{48} = \\sqrt{\\displaystyle \\frac{2+\\sqrt{2}}{2-\\sqrt{2}}} =1+\\sqrt{2} \\).<\/p>\n\n\n\n

mais aussi<\/p>\n\n\n\n

\\(ch_{38} = \\displaystyle \\frac{1}{\\sqrt{6}- \\sqrt{3}}\\), \\(\\quad ch_{55} = \\displaystyle 1+2 \\frac{\\sqrt{5}}{5}\\), \\(\\quad ch_{56} = \\displaystyle \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{5-2 \\sqrt{5}}}\\), \\( \\quad ch_{66} =3 \\).<\/p>\n\n\n\n

Toutes ces valeurs sont \\(\\Sigma\\)-constructibles, et donc les rayons \\(r_{nk}\\) des cercles de pavages correspondants sont bien \\(S\\)-constructibles.<\/p>\n\n\n\n

Construction g\u00e9om\u00e9trique <\/strong>
d’un cercle de pavage g\u00e9n\u00e9rique Cnk<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Tout d’abord, les calculs pr\u00e9c\u00e9dents sont g\u00e9n\u00e9raux, hyperboliques, ind\u00e9pendants du mod\u00e8le dans lequel on va repr\u00e9senter la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique. Dans un mod\u00e8le, on ne va pas reconstruire \u00ab\u00a0\u00e0 la r\u00e8gle et au compas\u00a0\u00bb ce qui est connu comme constructible, on utilisera les expressions directement. Mais on s’assure de n’utiliser que des \u00e9tapes, \u00e0 chaque fois, constructibles. On travaille dans le disque de Poincar\u00e9. Pour les angles hyperboliques, il n’y a pas de probl\u00e8me, le mod\u00e8le est conforme.<\/p>\n\n\n\n

Pour construire le cercle de pavage \\(C_{nk}\\) de centre un point \\(O\\), on va commencer par construire le rayon – la longueur – \\(r_{nk}\\) depuis le centre du cercle horizon car on sait que les droites sont alors des diam\u00e8tres du cercle, et on va pouvoir – dans ce cas – exprimer facilement \\(r_{nk}\\) depuis \\(ch(r_{nk})\\). Ensuite une sym\u00e9trie orthogonale hyperbolique par rapport \u00e0 la m\u00e9diatrice du centre du cercle horizon et du point \\(O\\) ach\u00e8vera la construction. Voici le d\u00e9tail du calcul de \\(r_{nk}\\) sur un diam\u00e8tre du cercle, dans le cas o\u00f9 il est de rayon unit\u00e9.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Puisque \\(k\\) est constructible d\u00e8s que \\(ch_{nk}\\) l’est, le rayon \\(r_{nk}\\) du cercle de pavage de \\(P(n,k)\\) est bien constructible dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9. <\/p>\n\n\n\n

Reste un dernier point, celui de la m\u00e9diatrice entre un point et le centre du cercle horizon. En effet, la construction standard ne peut s’appliquer car on ne peut prendre l’inverse du centre d’un cercle par rapport \u00e0 ce cercle. Nous avons d\u00e9j\u00e0 utilis\u00e9 une macro sp\u00e9cifique, mais un peu gourmande en objets interm\u00e9diaires que l’on se propose, \u00e0 l’occasion, d’optimiser – donc en la rendant peut-\u00eatre un peu \u00e9sot\u00e9rique, construction r\u00e9alis\u00e9e \u00ab\u00a0manuellement\u00a0\u00bb et plut\u00f4t calculatoire que g\u00e9om\u00e9trique, en rempla\u00e7ant les inversions par le calcul alg\u00e9brique associ\u00e9, en restant toujours constructible bien entendu. L’objectif sous-jacent est de rendre la construction du cercle de pavage la plus fluide possible pour que l’on puisse passer d’un pavage \u00e0 l’autre par un pop-up ou un simple curseur. Le lecteur non concern\u00e9 peut zapper la partie technique suivante, qui est peut-\u00eatre aussi, simplement, une m\u00e9morisation personnelle plac\u00e9e en lieu s\u00fbr (sur le net) …<\/p>\n\n\n\n

Dans l’illustration suivante, le point \\(T_{nk}\\) est la position sur le rayon \\(O_{Hz}U_{Hz}\\) du point d’abscisse \\(t_{nk}\\) (le \\(k\\) de ci-dessus) rapport \u00e0 un cercle horizon de rayon quelconque. Ensuite
\u2022 \\(mInvO\\) est le milieu entre \\(O\\) et son inverse par rapport au cercle horizon.
\u2022 \\(mAA\\) est le milieu entre le centre \\(O_{Hz}\\) et son inverse par rapport au cercle de centre \\(mInvO\\) passant par \\(O\\).
\u2022 \\(P_1\\) et \\(P_2\\) sont les intersections des cercles de centre \\(O_{Hz}\\) passant par \\(O\\) et de centre \\(mAA\\) passant par \\(O_{Hz}\\). Alors la droite hyperbolique \\((P_1P_2)\\) est la m\u00e9diatrice cherch\u00e9e, de \\(O_{Hz}\\) et \\(O\\). Son centre euclidien est le point \\(o_{AB}\\) (calcul\u00e9). Alors l’inverse \\(A_{nk}\\), du point \\(T_{nk}\\), par ce cercle (non trac\u00e9, inverse aussi calcul\u00e9) est un point du cercle de pavage, qui est donc le cercle hyperbolique de centre \\(O\\) passant par \\(A_{nk}\\), de centre euclidien \\(Ce_{nk}\\).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ci-dessus : construction optimis\u00e9e du cercle de pavage
Ci-dessous : code de la macro associ\u00e9e<\/em><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Voyons maintenant quelques premi\u00e8res applications. <\/p>\n\n\n\n

La suite de l’article contient trois figures assez lourdes, car il y a plusieurs pavages dans une m\u00eame figure. Ne pas h\u00e9siter \u00e0 recharger la figure par l’icone de recharge (\u00e0 gauche), en g\u00e9n\u00e9ral il faut cliquer 2 fois. On peut aussi les ouvrir dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Les pavages P(6,4) , P(6,5) et P(6, 6)
dans une m\u00eame figure
<\/h2>\n\n\n