{"id":5012,"date":"2022-10-25T20:59:20","date_gmt":"2022-10-25T16:59:20","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=5012"},"modified":"2025-12-23T19:23:23","modified_gmt":"2025-12-23T15:23:23","slug":"la-science-absolue-de-lespace-janos-bolyai-2-constructibilite-et-quadrature-du-cercle","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=5012","title":{"rendered":"La \u00ab\u00a0science absolue de l’espace\u00a0\u00bb – Janos Bolya\u00ef – 2 – Constructibilit\u00e9 et quadrature du cercle"},"content":{"rendered":"\n

Apr\u00e8s avoir illustr\u00e9 la premi\u00e8re partie<\/a> du m\u00e9moire de Janos Bolya\u00ef, nous abordons maintenant la partie consacr\u00e9e \u00e0 la constructibilit\u00e9 des segments, et \u00e0 la quadrature du cercle en g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique. Il est le seul \u00e0 son \u00e9poque \u00e0 s’int\u00e9resser \u00e0 cette question, et son r\u00e9sultat est largement pass\u00e9 inaper\u00e7u avant d’\u00eatre red\u00e9couvert \u00e0 l’occasion de la publication de la correspondance de Gauss.<\/p>\n\n\n\n

Construction de \\(\\Pi(x)\\) et \\(\\Delta(\\alpha)\\)<\/h2>\n\n\n\n

Cette seconde partie commence par la construction de l’angle de parall\u00e9lisme (\u00a7 34). Bolya\u00ef met en \u00e9vidence – de mani\u00e8re intrins\u00e8que, hyperbolique – la construction suivante, tr\u00e8s simple, justifi\u00e9e par les r\u00e9sultats des \u00a7 25 et \u00a7 27.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Angle de parall\u00e9lisme \\(\\mathbf{\\Pi(AB)}\\)<\/strong>
Depuis \\([AB]\\), on m\u00e8ne les perpendiculaires en \\(A\\) et \\(B\\), notons les \\(\\Delta_A\\) et \\(\\Delta_B\\). Depuis un point \\(M\\) de \\(\\Delta_A\\) – on rappelle que Bolya\u00ef ne travaille en fait que sur des demi-droites – on m\u00eame la perpendiculaire \u00e0 \\(\\Delta_B\\) qu’elle coupe en \\(N\\). Le quadrilat\u00e8re \\(AMNB\\) a trois angles droits, et un angle aigu (en \\(M\\)). <\/p>\n\n\n\n

Alors le cercle de centre \\(B\\) et de rayon \\(AM\\) coupe le segment \\([MN]\\), en un point \\(X\\) tel que \\([BX)\\) est parall\u00e8le \u00e0 \\([AM)\\). Bolya\u00ef prend soin de montrer l’existence de points \\(M\\) sur \\(\\Delta_A\\) pour que ce point d’intersection \\(X\\) existe.<\/p>\n\n\n\n

Illustration du parall\u00e9lisme dans le mod\u00e8le DP<\/strong><\/em> … <\/p>\n\n\n\n

o\u00f9 l’on voit les points id\u00e9aux, et donc \u00ab\u00a0confirme\u00a0\u00bb – illustre bien – que les droites sont parall\u00e8les.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On notera aussi que le cercle coupe la droite \\((MN)\\) en un second point \\(Y\\) tel que <\/em>
la droite \\((BY)\\) est la seconde parall\u00e8le \u00e0 \\((AM)\\) issue de \\(B\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

Bolya\u00ef ne parlent pas de cette seconde parall\u00e8le car il ne travaille \u00ab\u00a0que d’un c\u00f4t\u00e9\u00a0\u00bb, n’utilisant que des demi-droites. Cette construction est aussi celle de la parall\u00e8le (d\u2019un c\u00f4t\u00e9) \u00e0 une droite issue d\u2019un point, propri\u00e9t\u00e9 utilis\u00e9e dans la construction suivante.<\/p>\n\n\n\n

Construction du segment \\(\\mathbf{\\Delta(a)}\\)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Voyons maintenant la construction (\u00a7 35) de la longueur \\(\\Delta(a)\\). On se donne un angle \\(\\angle a = mAn\\), on veut construire sur \\([Am)\\) un point \\(S\\) tel que l\u2019angle de parall\u00e9lisme de \\(AS\\) soit \\(a\\), soit \\(\\Delta(a)=AS\\).<\/p>\n\n\n\n

Soit \\(B\\) un point quelconque sur \\([Am)\\). Notons \\(K\\) le pied de la perpendiculaire \u00e0 \\([An)\\) issue de \\(B\\). Par la construction pr\u00e9c\u00e9dente on sait tracer la parall\u00e8le \u00e0 \\([An)\\) issue de \\(B\\) du c\u00f4t\u00e9 <\/em>de \\(n\\). C\u2019est la demi-droite \\([Bb_1)\\). Bolyai montre alors que l\u2019on peut toujours prendre \\(B\\) sur \\([Am)\\) pour que la droite\\((BK)\\) et la perpendiculaire \u00e0 \\([Bb_1)\\) passant par \\(A\\) soient s\u00e9cantes. Soit \\(H\\) cette intersection.
Alors le pied de la perpendiculaire \u00e0 \\([Am)\\) issue de \\(H\\) est le point \\(S\\) cherch\u00e9. <\/p>\n\n\n\n

On voit ci-dessous que cette perpendiculaire est aussi parall\u00e8le \u00e0 \\([An)\\) et \\([Bb_1)\\) ce que montre aussi Bolya\u00ef.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Les v\u00e9rifications num\u00e9riques sont assur\u00e9ment inutiles :
la construction est fondamentalement celles de l’orthocentre d’un triangle ayant un point id\u00e9al.<\/em><\/p>\n\n\n\n

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Cette construction est conceptuellement plus d\u00e9licate que celle du \u00a7 34, en particulier car il s’agit d’un r\u00e9sultat sur un triangle id\u00e9al (ayant au moins un sommet \u00e0 l’infini) ou encore – avec notre lecture contemporaine – sur le pinceau des hauteurs d’un trilat\u00e8re – concept tr\u00e8s \u00e9loign\u00e9s des d\u00e9buts de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique<\/p>\n\n\n\n

La principale difficult\u00e9 est d\u2019assurer l\u2019existence de l\u2019intersection des deux hauteurs. Le fait que Bolyai l’\u00e9tudie et en donne une caract\u00e9risation montre qu’il a une vision tr\u00e8s claire de la situation – on pense naturellement \u00e0 certaines constructions de Legendre. Dit avec un regard contemporain, la position limite, quand l’orthocentre est le point id\u00e9al \u00ab\u00a0de l’autre c\u00f4t\u00e9\u00a0\u00bb est r\u00e9alis\u00e9e quand \\(\\angle kAm\\) est l’angle de parall\u00e9lisme … du pied de la hauteur id\u00e9ale rose ci-dessous. D’o\u00f9 son r\u00e9sultat.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

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Nous avons illustr\u00e9 ici les constructions de Bolya\u00ef qui sont \u00ab\u00a0hyperboliques<\/em>\u00a0\u00bb au sens de ind\u00e9pendantes d’un mod\u00e8le dans lequel on travaille. Bien entendu, dans un mod\u00e8le, comme celui du disque de Poincar\u00e9 o\u00f9 on a directement acc\u00e8s \u00e0 l’infini, les constructions de \\(\\Pi(x)\\) et de \\(\\Delta(a)\\) sont bien plus simples et imm\u00e9diates.<\/p>\n\n\n\n

Constructivit\u00e9 des segments<\/h2>\n\n\n\n

On commence par revenir sur la probl\u00e9matique du calcul de l’expression \\(X\\) \u00e9gal au rapport de deux arcs parall\u00e8les d’horicycles concentriques. <\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Rappel de la situation pr\u00e9sent\u00e9e dans l’article pr\u00e9c\u00e9dent<\/em><\/p>\n\n\n\n

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Pour traiter l’aspect constructif des segments, Bolya\u00ef se place d\u00e9sormais dans le cas o\u00f9 l’angle \\(u\\) est droit. Alors l’angle \\(v\\) devient un angle de parall\u00e9lisme, et compte tenu des calculs r\u00e9alis\u00e9s en fin de la premi\u00e8re partie, on peut d\u00e9sormais \u00e9crire :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Dans cette figure on consid\u00e8re l’horicycle de centre \\(I\\) passant par \\(A\\). \\(B\\) est un point de cet horicycle.
Puis on construit \\(H\\) le pied de la perpendiculaire \u00e0 \\([AI)\\) issue de \\(B\\). La parall\u00e8le \u00e0 \\([AH)\\) passant par \\(B\\)
coupe l’horicycle concentrique au premier, passant par \\(H\\) en \\(K\\).<\/em>
Rappel<\/strong> : la r\u00e9f\u00e9rence au \\(ln(X)\\) n’est pas explicitement dans le m\u00e9moire de Bolya\u00ef<\/em><\/p>\n\n\n\n

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Premier exemple de constructibilit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans les paragraphes suivants (le \u00a7 36 comme lemme, puis le \u00a7 37) Bolya\u00ef explique comment, en utilisant le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s sur l’horisph\u00e8re, il peut construire un point particulier sur un horicycle, pour peu que son correspondant soit \\(\\Sigma\\)-constructible sur l’horisph\u00e8re. Ce paragraphe 37 se termine ainsi :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Bolya\u00ef – Fin du \u00a7 37 (dans la traduction de Jules Ho\u00fcel)<\/em>
Rappel : \\(L\\) d\u00e9signe <\/em>des horicycles, \\(F\\) des horisph\u00e8res et \\(R\\) est l’angle droit.<\/p>\n\n\n\n

Et donc l’angle \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{6}\\) est \\(S\\)-constructible car il est \\(\\Sigma\\)-constructible. Bolya\u00ef propose alors la construction suivante :<\/p>\n\n\n