{"id":4934,"date":"2022-10-17T18:58:57","date_gmt":"2022-10-17T14:58:57","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=4934"},"modified":"2025-12-23T18:55:27","modified_gmt":"2025-12-23T14:55:27","slug":"la-science-absolue-de-lespace-de-janos-bolyai-1-introduction","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=4934","title":{"rendered":"La \u00ab\u00a0science absolue de l’espace\u00a0\u00bb de Janos Bolya\u00ef – Partie 1 – Horicycles et Horisph\u00e8res"},"content":{"rendered":"\n

Apr\u00e8s plusieurs articles sur la pr\u00e9sentation unificatrice des g\u00e9om\u00e9tries hyperbolique et elliptique de Daniel Perrin, nous reprenons une approche plus classique, historique, des g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes, explicitement construites autour de la notion de droites parall\u00e8les. <\/p>\n\n\n\n

Historiquement, la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique a \u00e9t\u00e9 d\u00e9couverte pratiquement \u00e0 la m\u00eame date par Lobatchevsky et Bolya\u00ef vers 1826 pour les deux, avec une publication en 1829 pour le premier, et en 1832 pour le second. On sait aussi que Gauss avait d\u00e9j\u00e0 travaill\u00e9 sur le sujet bien avant – depuis 1792 d’apr\u00e9s une de ses lettres – et avait la conviction, autour de 1815, qu’une g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne \u00e9tait aussi coh\u00e9rente que la g\u00e9om\u00e9trie eucldieinne, mais avait choisi de ne pas publier sur le sujet.<\/p>\n\n\n\n

Pourquoi Gauss n’a pas voulu publier ses r\u00e9sultats ? Voir le merveilleux papier de Bernard Ycart sur le sujet<\/a> (\u00e0 partir du paragraphe 13) ou \u00e9couter son audio<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

L’histoire a surtout retenu le travail de Nicolas Lobatchevsky, approfondi pendant plus de deux d\u00e9cennies, depuis sa premi\u00e8re \u00ab\u00a0G\u00e9om\u00e9trie imaginaire\u00a0\u00bb de 1829 (en russe) jusqu’\u00e0 sa version la plus aboutie de 1855 – traduite en fran\u00e7ais sous le terme \u00ab\u00a0Th\u00e9orie des parall\u00e8les\u00a0\u00bb avec plusieurs publications interm\u00e9diaires. On se propose ici de pr\u00e9senter le travail de l’autre auteur, Janos Bolya\u00ef, essentiellement parce qu’il s’est int\u00e9ress\u00e9 \u00e0 la constructibilit\u00e9 des segments et des polygones r\u00e9guliers, jusqu’\u00e0 r\u00e9soudre la question de la quadrature du cercle en g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique. Son essai le signale en sous-titre.<\/p>\n\n\n

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Le m\u00e9moire de Bolya\u00ef est construit en 43 paragraphes. Sa g\u00e9om\u00e9trie absolue est d\u00e9velopp\u00e9e sur les 32 premiers paragraphe ensuite, il s’int\u00e9resse aux propri\u00e9t\u00e9s conduisant \u00e0 des constructions hyperboliques. Par essence, ses constructions sont<\/strong> hyperboliques<\/em>. Dans nos illustrations, nous allons souvent les simplifier car nous allons les construire \u00ab\u00a0dans un mod\u00e8le\u00a0\u00bb : en particulier nous aurons acc\u00e8s aux points id\u00e9aux – les points \u00e0 l’infini – qui sont, entre autres, les centres des horicycles, tr\u00e8s utilis\u00e9s par Bolya\u00ef puisque les propri\u00e9t\u00e9s qu’il obtient proviennent de ce que l’horisph\u00e8re – dont les droites sont des horicycles – est de structure euclidienne. On y reviendra plusieurs fois en d\u00e9tail.<\/p>\n\n\n\n

Cet article propose d’illustrer, avec des figures dynamiques, la premi\u00e8re partie du m\u00e9moire de Bolyai, jusqu’au \u00a7 32, pour voir, ensuite – dans un second article<\/a> – comment il arrive \u00e0 la quadrature du cercle : construire un carr\u00e9 d\u2019aire \u00e9gale \u00e0 \\(\\pi\\) et un cercle de m\u00eame aire. Quand on ne dispose pas de mod\u00e8le pour r\u00e9aliser les constructions g\u00e9om\u00e9triques, construire signifie essentiellement prouver que les longueurs en jeu se r\u00e9alisent par des intersections de droites et de cercles hyperboliques.<\/p>\n\n\n\n

Les illustrations dynamiques sont faites dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9 (DP<\/strong>). Pour manipuler les figures, il est pr\u00e9f\u00e9rable d’avoir lu avant les premi\u00e8res pages du menu DP<\/strong>, au moins cette introduction<\/a> puis cette premi\u00e8re page<\/a> sur les droites.<\/p>\n\n\n\n

Les notations de Bolyai sont surprenantes. Il ne donne pas de d\u00e9finitions pr\u00e9cises comme Lobatchevsky, n\u2019utilise pas les fonctions trigonom\u00e9triques hyperboliques, et en d\u00e9finitive, son m\u00e9moire est plus difficile \u00e0 suivre que celui de Lobatchevsky, essentiellement \u00e0 cause de ses notations. Pourtant il contient des tr\u00e9sors d\u2019ing\u00e9niosit\u00e9, y compris pour trouver des th\u00e9or\u00e8mes absolus nouveaux et significatifs. Pour arriver \u00e0 ses fins en terme de constructibilit\u00e9, Bolyai montre des propri\u00e9t\u00e9s originales sur les horicycles, et en particulier, il va transformer un arc d’horicycle en tangente d\u2019un angle, donnant ainsi diverses constructions \u00e0 travers lesquelles on peut voir une grande ma\u00eetrise de la g\u00e9om\u00e9trie \u00e9tudi\u00e9e : c\u2019est la raison pour laquelle, nous allons explorer le m\u00e9moire de Bolyai, mais tout en conservant les notations standards dues \u00e0 Lobatchevsky.<\/p>\n\n\n\n

On notera que Bolya\u00cf travaille essentiellement sur des demi-droites parall\u00e8les (seconde notation ci-dessous), une approche clairement visionnaire : plus tard la m\u00eame d\u00e9marche sera \u00e0 l’origine des \u00ab\u00a0bouts\u00a0\u00bb ou des \u00ab\u00a0terminaisons\u00a0\u00bb de Hilbert dans ses \u00ab\u00a0Fondements\u00a0\u00bb. Le texte de Bolya\u00ef est concis et ses notations sont tr\u00e8s sp\u00e9cifiques comme on peut le voir ci-dessous.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pour ma part … parce que cela fait longtemps que je fr\u00e9quente ces probl\u00e9matiques … c’est gr\u00e2ce \u00e0 une ancienne pr\u00e9sentation d\u00e9taill\u00e9e de Klauss Volkert<\/a> dans ses deux articles \u00ab\u00a0Et pourtant quelques uns sont quarrables\u00a0\u00bb de l’Ouvert de l’IREM de Strasbourg (1996 – n\u00b084 et 85 – articles t\u00e9l\u00e9chargeables ici<\/a> et l\u00e0<\/a>) que j’ai pu d\u00e9couvrir en d\u00e9tail ce m\u00e9moire. M\u00eame si, bien entendu, les constructions historiques sont aussi pr\u00e9sentes dans de nombreux ouvrages anglo-saxons sur les GNE<\/strong>, je voulais discr\u00e8tement remercier ce d\u00e9fricheur qui m’a montr\u00e9 la voie …<\/p>\n\n\n\n

La g\u00e9om\u00e9trie absolue de Bolya\u00ef<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Un autre argument pour pr\u00e9senter le travail de Bolya\u00ef – et qui explique aussi parfois sa fa\u00e7on de r\u00e9diger est que Bolyai ne s’int\u00e9resse pas uniquement \u00e0 une g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne, comme Lobatchesky, mais au contraire, il est le premier \u00e0 clairement d\u00e9finir ce qu\u2019il appelle la g\u00e9om\u00e9trie absolue<\/em>, c\u2019est-\u00e0-dire la g\u00e9om\u00e9trie d\u2019Euclide, sans r\u00e9f\u00e9rence au V\u00b0 postulat (que Bolyai, note l\u2019axiome XI suivant l\u2019\u00e9dition d\u2019Euclide qu\u2019il utilisait). Il dit pr\u00e9cis\u00e9ment :<\/p>\n\n\n\n

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Nous d\u00e9signerons par \\(\\Sigma\\) le syst\u00e8me de g\u00e9om\u00e9trie qui repose sur l\u2019hypoth\u00e8se de la v\u00e9rit\u00e9 de l\u2019axiome XI d\u2019Euclide, et par \\(S\\) le syst\u00e8me fond\u00e9 sur l\u2019hypoth\u00e8se contraire. Tous les r\u00e9sultats que nous \u00e9noncerons, sans d\u00e9signer express\u00e9ment si c\u2019est dans le syst\u00e8me \\(\\Sigma\\) ou le syst\u00e8me \\(S\\) qu\u2019ils ont lieu, devront \u00eatre consid\u00e9r\u00e9s comme \u00e9nonc\u00e9s d\u2019une mani\u00e8re absolue, c\u2019est-\u00e0-dire qu\u2019ils seront donn\u00e9s comme vrais, soit qu\u2019on se place dans le syst\u00e8me \\(\\Sigma\\), soit qu\u2019on se place dans le syst\u00e8me \\(S\\).<\/p>\nScience absolue de l’espace – Bolya\u00ef – \u00a7 15<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Chez Bolyai, comme pour tous ses contemporains, le contraire de la v\u00e9rit\u00e9 de l\u2019axiome d\u2019Euclide s\u2019entend \u00ab toutes choses \u00e9gales par ailleurs \u00bb, c\u2019est-\u00e0-dire avec toutes les autres demandes <\/em>d\u2019Euclide (postulats). Dans son travail, Saccheri, d\u00e9j\u00e0, en 1733, rejetait d\u00e9finitivement ce qu\u2019il appelait \u00ab l\u2019hypoth\u00e8se de l\u2019angle obtus \u00bb car elle conduit clairement \u00e0 une contradiction avec le caract\u00e8re non born\u00e9 des droites : il rejetait ainsi ce qui sera ult\u00e9rieurement les possibilit\u00e9s de g\u00e9om\u00e9trie elliptique. Nous avons un peu la m\u00eame chose ici, le contraire de l\u2019axiome d\u2019Euclide n\u2019est pas \u00ab aucune parall\u00e8le ou au moins deux \u00bb mais bien seulement la seconde alternative. De m\u00eame une autre demande du livre V sur les proportions conduisant \u00e0 l\u2019archim\u00e9die de \\(\\mathbb{R}\\) <\/strong>est implicitement conserv\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n

Apr\u00e8s bien d\u2019autres, Bolyai utilise que de nombreuses propri\u00e9t\u00e9s sont absolues (les cas d\u2019\u00e9galit\u00e9 des triangles, l\u2019unicit\u00e9 de la perpendiculaire \u00e0 une droite passant par un point donn\u00e9, la caract\u00e9risation des m\u00e9diatrices, celle des bissectrices). En pratique, dans les 48 propositions du livre I d\u2019Euclide, les 28 premi\u00e8res propositions – et ensuite la 31\u00b0 – n\u2019utilisent pas le V\u00b0 postulat. Ces propositions constituent donc un corpus que, depuis Bolyai, on appelle traditionnellement la g\u00e9om\u00e9trie absolue<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

La d\u00e9finition de droites parall\u00e8les<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Le m\u00e9moire de Bolya\u00ef commence par la d\u00e9finition de droites parall\u00e8les et de l’angle de parall\u00e9lisme, m\u00eame s’il n’est pas d\u00e9fini comme tel.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ce qui peut s’\u00e9crire, pour les parall\u00e8les, dans un vocabulaire contemporain :<\/p>\n\n\n\n

Si la demi-droite \\([AM)\\) n\u2019est pas coup\u00e9e par la demi-droite \\([BN)\\) mais qu\u2019elle est coup\u00e9e par toute autre demi-droite \\([BP)\\) comprise dans l\u2019angle \\(\\angle ABN\\), on dira que \\([BN)\\) est parall\u00e8le \u00e0 \\([AM)\\) et donc \\((BN) \/\/ (AM)\\).<\/p>\n\n\n\n

Voici une illustration dynamique des deux parties de la proposition 1<\/p>\n\n\n