{"id":4768,"date":"2022-09-30T18:19:18","date_gmt":"2022-09-30T14:19:18","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=4768"},"modified":"2025-12-28T18:57:44","modified_gmt":"2025-12-28T14:57:44","slug":"modeles-projectifs-ke-et-kh-4-spin-de-triangles","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=4768","title":{"rendered":"Mod\u00e8les projectifs KE et KH – 4 – Spin de triangles"},"content":{"rendered":"\n

On poursuit l’illustration du travail de Daniel Perrin sur les mod\u00e8les projectifs munis d’une forme quadratique non d\u00e9g\u00e9n\u00e9r\u00e9e. Ce quatri\u00e8me article est consacr\u00e9 \u00e0 un nouvel invariant, mis en \u00e9vidence par Daniel Perrin dans son chapitres 4 . On rappelle que l’objectif de ces pages sur KE<\/strong>–KH<\/strong> est d’illustrer dynamiquement les propri\u00e9t\u00e9s de ces mod\u00e8les sans vraiment entrer dans l’argumentaire math\u00e9matique pour lequel nous renvoyons au texte de Daniel Perrin.<\/p>\n\n\n\n

Avant d’aborder cet article, il convient d’avoir lu, bien entendu, le premier article de pr\u00e9sentation<\/a>, sur les points et droites de KE<\/strong> et KH<\/strong>, ainsi que l’article pr\u00e9sentant les invariants que sont les longueurs et les angles<\/a>. Pour les constructions nous allons utiliser un compas, et donc des cercles. On peut se limiter au simple fait de savoir que, dans ces deux mod\u00e8les, les cercles sont repr\u00e9sent\u00e9s par des coniques euclidiennes. On peut aussi parcourir le premier article<\/a> sur les cercles. La r\u00e9f\u00e9rence est toujours le PDF DPPartie4<\/a> de ce livre de Daniel Perrin<\/a>, en cours de publication. Les num\u00e9ros des pages mentionn\u00e9es sont celles de ce fichier.<\/p>\n\n\n\n

Spin de trois points – Premi\u00e8re application :
le troisi\u00e8me cas d’\u00e9galit\u00e9 des triangles<\/h2>\n\n\n\n
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\u2026 C\u2019est ce que vont montrer les divers cas d\u2019isom\u00e9trie des triangles. Comme en g\u00e9om\u00e9trie euclidienne, il s\u2019agit de savoir \u00e0 quelle condition trois points peuvent \u00eatre envoy\u00e9s sur trois autres par un \u00e9l\u00e9ment de PO(q) et l\u00e0 encore il suffira (presque!) de se donner trois param\u00e8tres (longueurs ou angles). Le mot \u201cpresque\u201d renvoie \u00e0 la pr\u00e9sence du spin. En v\u00e9rit\u00e9, dans le cas du corps des nombres r\u00e9els, les cas d\u2019isom\u00e9trie peuvent \u00eatre \u00e9nonc\u00e9s sans r\u00e9f\u00e9rence au spin en utilisant les angles de demi-droites, \u00e0 l\u2019exception du troisi\u00e8me cas d\u2019isom\u00e9trie, celui qui ne fait intervenir que les longueurs. Les formules d\u2019Al-Kashi permettront de faire le lien entre ces divers r\u00e9sultats.<\/p>\nDaniel Perrin – Partie 4 – Page 152 <\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

La donn\u00e9e des trois longueurs \\(I(A,B), I(A,C), I(B,C)\\), dans le cas g\u00e9n\u00e9ral – et plus particuli\u00e8rement dans KE<\/strong> – ne d\u00e9termine un triangle \u00ab\u00a0qu’\u00e0 un signe pr\u00e9s\u00a0\u00bb. Il faut donc un invariant suppl\u00e9mentaire qui rende compte de cette question de signe. Daniel Perrin propose alors la d\u00e9finition suivante :<\/p>\n\n\n\n

Pour trois points non isotropes \\(A, B, C\\) on appelle spin<\/strong> de ces trois points le nombre<\/p>\n\n\n\n

\\(S(A, B, C) = \\displaystyle \\frac{\\varphi(A,B)\\varphi(B,C)\\varphi(A,C)}{q(A)q(B)q(C)}\\)<\/p>\n\n\n\n

Comme le spin de trois points est ind\u00e9pendant de l’ordre de ces points, on parlera aussi bien du spin du triangle \\(ABC\\) \u2026 m\u00eame quand ces trois points sont align\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

On a \\(S(A, B, C)^2 =I(A,B), I(A,C), I(B,C)\\) de sorte que la donn\u00e9e des longueurs d\u00e9termine le spin au signe pr\u00e8s. Daniel Perrin pr\u00e9cise alors :<\/p>\n\n\n\n

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L\u2019appellation, qui fait r\u00e9f\u00e9rence au spin des particules en physique, veut justement \u00e9voquer cette ambigu\u00eft\u00e9 de signe. Dit savamment, le ph\u00e9nom\u00e8ne, au moins en g\u00e9om\u00e9trie elliptique, c\u2019est que l\u2019application qui \u00e0 un triangle associe les longueurs de ses c\u00f4t\u00e9s est un rev\u00eatement de degr\u00e9 2, autrement dit que la donn\u00e9e des longueurs des c\u00f4t\u00e9s ne d\u00e9termine pas un triangle, mais deux.<\/p>\nDaniel Perrin – Partie 4 – Page 153<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

La premi\u00e8re application que donne Daniel Perrin est le cas d’\u00e9galit\u00e9 des triangles ayant trois c\u00f4t\u00e9s deux \u00e0 deux de m\u00eames longueurs.<\/p>\n\n\n\n

Troisi\u00e8me cas d’\u00e9galit\u00e9 des triangles – version longueurs<\/strong><\/p>\n\n\n\n

D’une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, si deux triangles ont leurs c\u00f4t\u00e9s de m\u00eame longueur et ont m\u00eame spin, alors ils sont isom\u00e9triques (\u00ab\u00a0sont \u00e9gaux\u00a0\u00bb avec le vocabulaire d’Euclide).<\/p>\n\n\n\n

Bien entendu, il y a, de base, la condition suppl\u00e9mentaire que les points doivent avoir m\u00eame signe [pour la forme quadratique associ\u00e9e]. Cela n’induit une contrainte que pour pour<\/strong> KH<\/strong>, les points doivent \u00eatre tous les trois soit \u00e0 l’int\u00e9rieur du cercle unit\u00e9 soit \u00e0 l’ext\u00e9rieur.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Avant de poursuivre sur les autres applications, donnons une premi\u00e8re illustration dynamique, dans les deux mod\u00e8les KE<\/strong> et KH<\/strong>, pour v\u00e9rifier que (m\u00eame dans KH<\/strong>) que deux triangles peuvent avoir des c\u00f4t\u00e9s de m\u00eame longueur mais pas le m\u00eame spin.<\/p>\n\n\n\n

Illustration de ce troisi\u00e8me cas d’\u00e9galit\u00e9<\/h2>\n\n\n\n

A –<\/strong> Dans le mod\u00e8le elliptique KE<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On se donne un triangle \\(ABC\\) (trois droites), on calcule la longueur entre les sommets (en bleu). On se donne ensuite un point \\(A_1\\). Depuis ce point, par une des m\u00e9diatrices de \\(A\\) et \\(A_1\\), on construit \\(B_{1e}\\) et \\(C_{1e}\\) les images de \\(B\\) et \\(C\\). Par construction les deux triangles \\(ABC\\) et \\(A_1B_{1e}C_{1e}\\) sont isom\u00e9triques. On v\u00e9rifie, par le calcul, que l’on a bien \\(A_1B_{1e}=AB, A_1C_{1e}=AC\\) et \\(B_{1e}C_{1e}=BC\\) (en marron).<\/p>\n\n\n\n

On construit alors le cercle de centre \\(A_1\\) passant par \\(B_{1e}\\), c’est la conique en bleu clair : c’est l’ensemble des points \\(N\\) tel que \\(A_1N=AB\\). De m\u00eame, avec le cercle de centre \\(A_1\\) passant par \\(C_{1e}\\), c’est la conique en orange. C’est l’ensemble des points \\(P\\) tel que \\(A_1P=AC\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On ajoute alors un triangle \\(MNP\\). A ce stade de l’expos\u00e9, on devrait tracer les droites associ\u00e9es et non pas les segments, car les KE<\/strong>-segments n’ont pas encore \u00e9t\u00e9 d\u00e9finis. On a choisi de tracer les segments euclidiens usuels pour \u00e9viter d’alourdir la figure. Depuis le point \\(N\\), on construit le KE<\/strong>-cercle de centre \\(N\\) et de rayon \\(BC\\). C’est la conique rose. Elle coupe la conique orange en g\u00e9n\u00e9ral en 4 points \\(Nc_1, Nc_2, Nc_3, Nc_4\\) (soit les points \\(C_i\\) depuis \\(N\\)).<\/p>\n\n\n\n

Les points \\(M,N,P\\) sont aimant\u00e9s par plusieurs objets, mais la figure est surtout construite pour que l’on place \\(M\\) en \\(A_1\\), \\(N\\) sur la conique bleue et \\(P\\) sur l’un des 4 points \\(Nc_1, Nc_2, Nc_3, Nc_4\\). Dans ce cas les deux triangles \\(ABC\\) et \\(MNP\\) ont leurs c\u00f4t\u00e9s deux \u00e0 deux \u00e9gaux. L’int\u00e9r\u00eat de la figure est que certains triangles ont m\u00eame spin d’autres ont un spin oppos\u00e9. <\/p>\n\n\n\n

Voici deux petites galeries d’illustrations de ce que l’on peut r\u00e9aliser avec la figure dynamique suivante. On a ajout\u00e9 le spin angulaire \\(S^*\\) d\u00e9fini un peu plus loin.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

Illustration 1 : le cercle rose est repr\u00e9sent\u00e9 par une hyperbole – P sur les 4 points.
Deux cas sont avec m\u00eame spin, deux cas avec des spins oppos\u00e9s<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Autre illustration<\/em><\/p>\n\n\n\n\n\n\n

Illustration 2 : le cercle rose est repr\u00e9sent\u00e9 par une ellipse – P sur les 4 points.
Deux cas sont avec m\u00eame spin, deux cas avec des spins oppos\u00e9s<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Dans certains cas, les deux coniques rose et orange n’ont que deux intersections. Dans ce cas les triangles ont m\u00eame spin., sur les deux intersections.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Manipulation de la figure<\/strong><\/p>\n\n\n