{"id":4590,"date":"2022-07-23T22:53:52","date_gmt":"2022-07-23T18:53:52","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=4590"},"modified":"2025-12-29T17:40:59","modified_gmt":"2025-12-29T13:40:59","slug":"modeles-projectifs-ke-et-kh-2a-les-cercles-v2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=4590","title":{"rendered":"Mod\u00e8les projectifs KE et KH – 2a – Les cercles"},"content":{"rendered":"\n

Dans cet article on poursuit l’exploration des mod\u00e8le projectifs elliptiques (KE<\/strong>) et hyperbolique (KH<\/strong>) comme introduits dans ce premier article sur les droites<\/a>. On rappelle qu’\u00e0 partir du travail de Daniel Perrin (sp\u00e9cifiquement du fichier DPPartie4<\/a> qui nous sert de r\u00e9f\u00e9rence), on s’int\u00e9resse \u00e0 des illustrations ou des explorations dynamiques autour de ses r\u00e9sultats. <\/p>\n\n\n\n

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Dans ce chapitre on aborde l\u2019un des objets essentiels d\u2019une g\u00e9om\u00e9trie m\u00e9trique : les cercles. On verra qu\u2019ils ont des aspects divers, tant en g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, o\u00f9 ils ont (au moins) trois apparences selon la position de leur centre : cercles, horicycles, \u00e9quidistantes, qu\u2019en g\u00e9om\u00e9trie elliptique o\u00f9, selon les mod\u00e8les, ils peuvent \u00eatre en plusieurs morceaux. Cela ne manquera pas d\u2019avoir des r\u00e9percussions sur leurs intersections et donc sur les constructions \u201c\u00e0 la r\u00e8gle et au compas\u201d.<\/p>\nDaniel Perrin – Partie 4 – Chapitre 7 – page 257<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

A propos de l’organisation de cet article<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans cette partie 4 de son ouvrage, Daniel Perrin consacre deux chapitres aux invariants que sont les longueurs et les angles, chapitres qu’il a plac\u00e9 avant celui sur les cercles (ce sont les chapitres 4 et 5). Comme ils sont plus techniques, voire plus conceptuels, nous avons r\u00e9serv\u00e9 ce th\u00e8me plut\u00f4t \u00e0 un troisi\u00e8me article<\/a>. Il en r\u00e9sulte que certains points du chapitre 7 – quelques points sur les distances, mais aussi la puissance d’un point – ne seront abord\u00e9s qu’ult\u00e9rieurement. <\/p>\n\n\n\n

Premi\u00e8res constructions<\/h2>\n\n\n\n

On retient de la pr\u00e9sentation de Daniel Perrin que le cercle de centre \\(O\\) passant par \\(A\\) :
\u2022 est le lieu des images de \\(A\\) dans les sym\u00e9tries orthogonales des droites passant par \\(O\\) (page 257 avec un vocabulaire de groupe : orbite des stabilisateurs de \\(O\\)).
\u2022 en pratique, ce cercle est repr\u00e9sent\u00e9 par une conique.
\u2022 Dans KH<\/strong>, \u00e0 cause de l’annulation de la forme quadratique sur le cercle unit\u00e9, un KH<\/strong>-cercle est soit \u00e0 l’int\u00e9rieur du cercle unit\u00e9, soit \u00e0 l’ext\u00e9rieur, un KH<\/strong>-cercle ne coupe pas le cercle unit\u00e9, alors que cette restriction ne s’applique pas \u00e0 KE<\/strong> qui n’a aucun point isotrope.<\/p>\n\n\n\n

On peut commencer par une construction na\u00efve en prenant de nombreux sym\u00e9triques par rapport \u00e0 des droites passant par \\(O\\). Ci-dessous dans KE<\/strong>.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On rappelle que les mod\u00e8les sont construits \u00e0 partir d’un cercle dit ‘unit\u00e9\u00a0\u00bb (toutefois de rayon modifiable <\/em>
\u00e0 la souris dans toutes les figures de ces articles) et centre \\(O_{cu}\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

\\(sxA\\) est le KE<\/strong>-sym\u00e9trique orthogonal de \\(A\\) par rapport \u00e0 la droite \\((Ox)\\)et \\(sO_t\\) est l’image du point \\(t\\) par la KE<\/strong>-sym\u00e9trie centrale de centre \\(O\\). On construit la conique passant par 5 des 10 points construits. Pour construire une macro des KE<\/strong> et KH<\/strong> cercles, on peut faire bien plus simple car trivialement la droite \\((O_{cu}O)\\) est aussi un axe de sym\u00e9trie et, cette droite passant par le centre du cercle unit\u00e9, les KE<\/strong> et KH<\/strong> orthogonalit\u00e9s sont toutes les deux la sym\u00e9trie orthogonale euclidienne ce qui va simplifier la construction.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ci-dessus 4 points (carr\u00e9s rouges) sont des sym\u00e9triques euclidiens de points de la coniques <\/em>
par rapport \u00e0 la droite des centres \\((OO_{cu})\\)).<\/em><\/p>\n\n\n\n

On peut alors commencer \u00e0 faire deux macros KE<\/strong>-cercle (vert) et KH<\/strong>-cercle (rouge).<\/p>\n\n\n