{"id":4428,"date":"2022-07-04T17:57:42","date_gmt":"2022-07-04T13:57:42","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=4428"},"modified":"2025-12-29T20:02:45","modified_gmt":"2025-12-29T16:02:45","slug":"pseudosphere-et-conjugaison-changement-dorigine-dans-la-projection-sur-kb","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=4428","title":{"rendered":"Pseudosph\u00e8re et conjugaison – Changement d’origine dans la projection sur KB"},"content":{"rendered":"\n

Dans la conjugaison avec le disque de Beltrami, que ce soit dans le menu PS<\/strong> ou dans les anciens articles sur la PS (Malfatti<\/a> ou pentagone orthogonal<\/a>) et m\u00eame plus r\u00e9cemment dans l’article sur l’utilisation des macros de KB<\/strong> par conjugaison<\/a>, nous avons toujours utilis\u00e9 la projection originale de Beltrami. On va vu que celle-ci, en envoyant son origine sur la surface – le point \\(X\\) du rep\u00e8re 3D – en l’origine de son cercle-limite, place de fait l’horicycle image de la pseudosph\u00e8re \u00e0 la droite de l’origine du cercle, avec cette cons\u00e9quence que les autres feuilles que la feuille principale, m\u00eame les deux adjacentes, sont peu visibles dans cette correspondance.<\/p>\n\n\n\n

Quelques figures un peu lourdes (de la section \u00ab\u00a0points multifeuilles\u00a0\u00bb) peuvent ralentir l’arriv\u00e9e des premi\u00e8res figures de l’article. Attendre un peu, si n\u00e9cessaire, les relancer avec l’icone appropri\u00e9e de l’iframe.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Introduction<\/h2>\n\n\n\n

En voyant cette illustration de la projection de la pseudosph\u00e8re sur le plan avec un angle tr\u00e8s faible entre les bornes de la feuille principale, et en lisant ces deux lignes, on comprend vite qu’il est possible d’adapter cette projection.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u00ab\u00a0G\u00e9om\u00e9trie Sup\u00e9rieure\u00a0\u00bb – Nicolai Efimov<\/a> (Ed. MIR – 1981) – page 557<\/em><\/p>\n\n\n\n

Un moyen de le faire, implicitement sugg\u00e9r\u00e9 par cette illustration, est de d\u00e9placer l’origine de la projection de Beltrami, toujours sur l’axe des abscisses, mais \u00e0 gauche du centre du cercle. On trouve alors cette g\u00e9n\u00e9ralisation \u00e0 la projection de Beltrami (il y a 1 \u00e0 la place \\(k\\) dans la version originale) :<\/p>\n\n\n\n

\\(x = \\displaystyle \\frac{\\theta^2+ch^2(u)-k^2}{\\theta^2+ch^2(u)+k^2} \\quad\\) et \\(\\quad y = \\displaystyle \\frac{-2\\theta k}{\\theta^2+ch^2(u)+k^2}\\)<\/p>\n\n\n\n

L’image de l’origine du rep\u00e8re de Beltrami sur la pseudosph\u00e8re dans le disque de Beltrami est alors le point \\(A\\) d’abscisse \\(x_A = \\displaystyle \\frac{1-k^2}{1+k^2}\\).<\/p>\n\n\n\n

Dans le contexte de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique, on fait naturellement l’inverse : on se donne une nouvelle image de l’origine, ci dessous le point \\(O_{ex}\\) (pour \u00ab\u00a0extension de l’origine\u00a0\u00bb), manipulable, on en d\u00e9duit la valeur de \\(k^2\\) ce qui permet d’appliquer la transformation pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\\(FP_m\\) et \\(FP_p\\) sont les limites de la feuille principale, \\(F2P_m\\) et <\/em>
\\(F2P_p\\) celles des feuilles adjacentes autour de la feuille principale. <\/em><\/p>\n\n\n\n

Il ne faut \u00eatre illusionn\u00e9 sur la taille de l’horicycle limite de la pseudosph\u00e8re : on n’agrandit bien entendu pas du tout la place de la PS<\/strong> dans la repr\u00e9sentation du plan hyperbolique (la traduction du texte de Efimov est d’ailleurs assez ambig\u00fce sur ce sujet). En pratique, on \u00e9tend seulement la feuille principale avec comme cons\u00e9quence de d\u00e9ployer aussi les autres feuilles. Voici l’image \\(A_{kb}, B_{kb}, C_{kb}\\) d’un triangle \\(ABC\\) sur la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Passage de la version originale de Beltrami \u00e0 l’extension des feuilles adjacentes.<\/em>
Les droites ne restent pas parall\u00e8les \u00e0 elles-m\u00eames comme pourrait le sugg\u00e9rer cette illustration<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Macro \u00ab\u00a0Feuille principale adjacentes\u00a0\u00bb<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On a d\u00e9j\u00e0 d\u00e9velopp\u00e9 une macro \u00ab\u00a0Droite de la feuille principale\u00a0\u00bb dans l’article sur les macros de la PS par conjugaison<\/a>. Comme elle est con\u00e7ue, on peut l’appliquer soit \u00e0 la feuille principale soit au trois feuilles, la principale et les deux adjacentes. Voici un exemple de base avec la macro appliqu\u00e9e aux feuilles adjacentes.<\/p>\n\n\n