{"id":4296,"date":"2022-06-25T20:29:07","date_gmt":"2022-06-25T16:29:07","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=4296"},"modified":"2025-12-29T22:52:36","modified_gmt":"2025-12-29T18:52:36","slug":"realisation-des-figures-sur-la-pseudosphere-2-2-par-conjugaison-avec-le-modele-kb","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=4296","title":{"rendered":"R\u00e9alisation des figures sur la pseudosph\u00e8re (2\/2 – Par conjugaison avec le mod\u00e8le KB)"},"content":{"rendered":"\n

Apr\u00e8s avoir propos\u00e9 , dans un pr\u00e9c\u00e9dent article<\/a>, un environnement adapt\u00e9 \u00e0 la r\u00e9alisation de figures sur la pseudosph\u00e8re de mani\u00e8re intrins\u00e8que<\/em>, nous proposons ici un environnement qui int\u00e8gre, en plus, l’utilisation de la conjugaison avec le mod\u00e8le de Klein-Beltrami.<\/p>\n\n\n\n

La fa\u00e7on dont cet article est r\u00e9dig\u00e9 suppose – pour une construction effective des figures – que le lecteur soit d\u00e9j\u00e0 familiaris\u00e9 avec les macros<\/a>, et qu’il ait d\u00e9j\u00e0 r\u00e9alis\u00e9 quelques figures de l’article pr\u00e9c\u00e9dent (pour la pratique de la pseudosph\u00e8re) et de l’article sur les macros de KB<\/strong><\/a>, ou encore celui traitant des figures sur la PSH<\/a> car nous allons reprendre une partie des m\u00e9thodes utilis\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n

Les sections de l’article<\/strong>
\u2022 Pr\u00e9sentation du contexte
\u2022 Les macros de la figure de base
\u2022 Bissectrices et cercle inscrit d’un triangle
\u2022 Les cercles exinscrits (suite de la pr\u00e9c\u00e9dente)
\u2022 Le cercle circonscrit partiel ou l’\u00e9quidistante partielle
\u2022 Trilat\u00e8re sur la pseudosph\u00e8re
\u2022 Du mod\u00e8le hyperbolique KB<\/strong> au mod\u00e8le projectif KH<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pr\u00e9sentation du contexte
et des choix retenus<\/h2>\n\n\n\n

Dans la pr\u00e9sentation de la conjugaison<\/a>, nous avions discut\u00e9 du choix de param\u00e9trisation de la longitude sur la feuille principale. Par exemple dans l’article sur les constructions intrins\u00e8ques, la feuille principale de la pseudosph\u00e8re est param\u00e9tr\u00e9e sur \\([0, 2\\pi[\\). Or on a vu que, compte tenu de la projection de Beltrami, on a une bien meilleure lisibilit\u00e9 de la conjugaison avec KB<\/strong>, si la feuille principale est param\u00e9tr\u00e9e sur \\([-\\pi, \\pi[\\). Pour une approche \u00ab\u00a0p\u00e9dagogique\u00a0\u00bb, nous avions alors propos\u00e9 des figures permettant un choix entre les deux param\u00e9trisations. Mais apr\u00e8s une pr\u00e9sentation initiale de d\u00e9couverte, cette d\u00e9marche n’est plus pertinente, et artificiellement lourde. Dans cet article, nous retenons uniquement la param\u00e9trisation sur \\([-\\pi, \\pi[\\). <\/p>\n\n\n\n

Par rapport \u00e0 l’article pr\u00e9c\u00e9dent, il suffit de modifier \u00e0 la marge les macros de dessin (il n’y a qu’une ligne \u00e0 modifier par point retourn\u00e9). En pratique, les macros des figures de cet article ne sont donc pas exactement les m\u00eames que celles de l’article sur les macros intrins\u00e8ques.<\/p>\n\n\n\n

Principe de conjugaison – Horicycle image de la pseudosph\u00e8re dans KB<\/strong><\/p>\n\n\n\n

En une illustration, rappelons les principes g\u00e9n\u00e9raux de la conjugaison entre les deux mod\u00e8les, et son int\u00e9r\u00eat. Des points en manipulation directe sur la pseudosph\u00e8re, ici \\(A, B, C\\), sont envoy\u00e9s sur le \u00ab\u00a0disque limite\u00a0\u00bb de Beltrami – le mod\u00e8le hyperbolique KB<\/strong> – en \\(A_{kb}, B_{kb}, C_{kb}\\). Les m\u00e9diatrices sont trac\u00e9es, \u00e0 la fois sur la pseudosph\u00e8re (de mani\u00e8re intrins\u00e8que) et dans KB<\/strong>. Comme KB<\/strong> est un mod\u00e8le de tout le plan hyperbolique on peut construire le cercle circonscrit, de centre \\(o_{kb}\\) qui n’est pas sur la pseudosph\u00e8re – limit\u00e9e \u00e0 l’ellipse rose. On peut alors envoyer sur la pseudosph\u00e8re (lieu rouge) la partie du cercle circonscrit au triangle \\(ABC\\) qui est sur la pseudosph\u00e8re, ce qui ne serait pas possible de mani\u00e8re intrins\u00e8que puisque le centre du cercle n’est pas sur la surface. Nous proposerons de faire cette figure au cours de cet article.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

L’image de la pseudosph\u00e8re par la projection de Beltrami – construite pour envoyer les g\u00e9od\u00e9siques de la surface sur des droites euclidiennes – est l’ellipse rose qui, pour KB<\/strong>, est un horicyle de centre \\(I_{dl}\\), l’unique point \u00e0 l’infini accessible \u00e0 la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

La feuille principale de la pseudosph\u00e8re (qui part du m\u00e9ridien passant par \\(X\\)) s’\u00e9tend, dans le disque, du m\u00e9ridien issu de \\(F_{-\\pi}\\) \u00e0 celui passant par \\(F_{+\\pi}\\).<\/p>\n\n\n\n

Une macro \u00ab\u00a0droite de la feuille principale pour la PS\u00a0\u00bb dans KB.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Comme on l’a fait pour les deux autres mod\u00e8les pseudosph\u00e9riques, (ici<\/a> pour la PSH<\/strong> et l\u00e0<\/a> pour la PSE<\/strong>), avant de pr\u00e9senter les macros de transfert, il peut-\u00eatre int\u00e9ressant de r\u00e9aliser une macro \u00ab\u00a0droite de la feuille principale pour la PS<\/strong>\u00a0\u00bb dans KB<\/strong>, m\u00eame si c’est moins essentiel cette fois, puisque l’on peut toujours construire les droites sur la PS<\/strong> depuis ses constantes (alors calcul\u00e9es depuis KB<\/strong>).<\/p>\n\n\n\n

Comme pour les deux autres mod\u00e8les il faut construire un segment dans une r\u00e9gion pr\u00e9cise. Il y a 4 points possibles d’intersection de la droite \\((A_{kb}B_{kb})\\) avec
\u2022 soit l’horicycle image de l’\u00e9quateur : ce sont les points \\(fh_1\\) et \\(fh_2\\),
\u2022 soit le m\u00e9ridien \\([F_{-\\pi}O_{dl}]\\) : le point \\(fm\\),
\u2022 soit le m\u00e9ridien \\([F_{+\\pi}O_{dl}]\\) : le point \\(fp\\).
On illustre la programmation du choix des extr\u00e9mit\u00e9s de la feuille principale avec une version en Blokckly – juste pour voir les imbrications conditionnelles – et la version en JavaScript qui peut \u00eatre transform\u00e9e en macro.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Application de la macro illustr\u00e9e dans le tout dernier cas : d’un c\u00f4t\u00e9 de la fronti\u00e8re de la feuille principale \u00e0 l’autre c\u00f4t\u00e9.<\/em><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Les macros embarqu\u00e9es
par la figure initiale<\/h2>\n\n\n\n

On a choisi de proposer \u00e0 la fois l’essentiel des macros intrins\u00e8ques du premier article sur ce sujet, ainsi qu’une grande partie des macros KB<\/strong> comme d\u00e9j\u00e0 organis\u00e9es pour les constructions sur la PSH<\/strong>, et bien entendu quelques macros de transfert. Il est peu probable que vous utilisiez toutes ces macros, mais globalement, cette double entr\u00e9e \u00ab\u00a0g\u00e9om\u00e9trie intrins\u00e8que \/ conjugaison\u00a0\u00bb autorise beaucoup plus de souplesse dans les choix que chacun peut faire pour ses constructions.<\/p>\n\n\n\n

Lancer la figure initiale<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n

Le premier niveau des dossiers et le contenu des dossiers sur KB<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans l’illustration suivante, tout d’abord, \u00e0 gauche, les six dossiers de premier niveau, trois sur KB<\/strong>, et trois sur la PS<\/strong> et le transfert entre les deux, puis au centre et \u00e0 droite, l’int\u00e9rieur des trois dossiers KB<\/strong> repris ou simplifi\u00e9s de l’utilisation sur PSH<\/strong>. Le seul ajout est la macro construite ci-dessus plac\u00e9e en KBdroites 6<\/strong>. On d\u00e9taillera son utilisation plus loin.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On rappelle que dans toutes les macros de KB<\/strong> (sauf la nouvelle KBdroites 6<\/em>) on montre le cercle limite de Beltrami, et que cela efface le centre du cercle \\(O_{dl}\\). Il faudra le rendre \u00e0 nouveau visible (outil gomme) pour utiliser les macros de transfert de KB<\/strong> vers PS<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Voici les macros des trois autres dossiers. Les dossiers PS Dessins<\/strong> et PS Expressions<\/strong> sont la reprise des m\u00eames de l’article pr\u00e9c\u00e9dent sur les constructions intrins\u00e8ques sur la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Le dossier PS et Transfert <\/strong>contient 6 macros. Il est organis\u00e9 pour que l’on voit dans son \u00e9cran d’ouverture, les quatre macros de transfert, les premi\u00e8res que l’on aura \u00e0 utiliser.<\/p>\n\n\n\n

Les macros de KB vers PS<\/strong>, que l’on nommera dans la suite Transfert 1a<\/strong>, Transfert 1b<\/strong> et Transfert 2<\/strong> ont toutes les quatre m\u00eames objets initiaux : dans l’ordre les trois points \\(O_{dl}, I_{dl}\\) et \\(J_{dl}\\), puis un point \\(M_{kb}\\) que l’on veut transf\u00e9rer.
\u2022 Transfert 1a<\/strong> renvoie les coordonn\u00e9es beltramiennes du point sans le construire. Cela peut \u00eatre utile pour calculer soit les constantes d’une droite, soit dessiner un cercle.
\u2022 Transfert 1b<\/strong> renvoie les coordonn\u00e9es d’un point et le construit aussi sur la surface. On a toujours besoin des coordonn\u00e9es d’un point de la surface si on veut le r\u00e9utiliser par la suite.
\u2022 Transfert 2<\/strong> construit le lieu du point sur la surface. Cela suppose que le point \\(M_{kb}\\) est le point d’un segment ou d’une droite – typiquement d’une droite de la feuille principale.<\/p>\n\n\n\n

On pourrait \u00eatre surpris de ces objets initiaux, car dans l’utilisation des macros de la PSH<\/strong> (ce serait pareil pour la PSE<\/strong>), on n’a besoin que du centre \\(O_{dl}\\). Cela vient du fait qu’ici on peut agrandir le cercle de Beltrami pour avoir la partie de projection (l’ellipse rose) assez grande, alors que dans les deux autres mod\u00e8le le cercle est toujours un cercle unit\u00e9. On aurait pu, par contre, se passer de \\(J_{dl}\\) en modifiant la macro.<\/p>\n\n\n\n

La macro Transfert 3 (PS vers KB)<\/strong> s’applique \u00e0 un point de la surface. Elle a pour objets initiaux les coordonn\u00e9es de ce point, et les deux points \\(O_{dl}, I_{dl}\\). Elle a \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9e pour construire les trois points \\(A_{kb}, B_{kb}, C_{kb}\\). Elle pourrait \u00eatre utilis\u00e9e, \u00e9ventuellement pour des v\u00e9rifications par exemple.<\/p>\n\n\n\n

Le second \u00e9cran de ce dossier contient deux macros d’archive et une macro qui sera effectivement utilis\u00e9e. Tout d’abord les macros de construction de points sur la pseudosph\u00e8re – que l’on notera PS<\/strong> 4<\/strong> et PS 5<\/strong> ce ne sont pas des \u00ab\u00a0transfert\u00a0\u00bb – sur les coordonn\u00e9es d’un point et la construction d’un \u00ab\u00a0cercle horicycle\u00a0\u00bb. On y a ajout\u00e9 la macro utilis\u00e9e dans la derni\u00e8re figure de l’article pr\u00e9c\u00e9dent, pour tracer des horicycles, que l’on a renomm\u00e9 Trace sur PS lieu<\/strong> que l’on r\u00e9f\u00e9rencera Transfert 6<\/strong> : elle construit un lieu sur la pseudosph\u00e8re depuis un point du plan, en d\u00e9signant deux points (et pas leurs coordonn\u00e9es) le point sur la PS<\/strong> et l’ant\u00e9c\u00e9dent de cette \u00ab\u00a0fonction lieu\u00a0\u00bb tr\u00e8s g\u00e9n\u00e9rale. En pratique on l’appliquera pour les traces de cercles ou d’\u00e9quidistante sur la PS<\/strong> quand des \u00e9l\u00e9ments constituant sont en dehors de la surface comme dans l’illustration d’introduction.<\/p>\n\n\n\n

Une premi\u00e8re figure :
le cercle inscrit du triangle<\/h2>\n\n\n\n

Lancer la figure initiale<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n

Pour ce qui est des droites remarquables d’un triangle, dans les macros intrins\u00e8ques, il manque les bissectrices, c’est donc par cela que l’on va commencer.<\/p>\n\n\n\n

\u00c9tape 1 – deux bissectrices dans KB<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On construit deux bissectrices (3 sommets du triangle et le cercle limite), puis leur intersection \\(I_{kb}\\), centre du cercle inscrit. Pour cette intersection, on se place en mode standard (fl\u00e8che gauche s\u00e9lectionn\u00e9e) et on utilise l’interface du logiciel : en cliquant sur l’intersection des deux (les deux segments doivent \u00eatre surlign\u00e9s), la palette contextuelle des points apparait et on choisit l’icone \u00ab\u00a0point\u00a0\u00bb en haut \u00e0 droite de la palette pour cr\u00e9er l’intersection.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Les bissectrices sont des droites KB<\/strong>. On les cache (outil gomme) et on va construire leurs traces sur la feuille principale.<\/p>\n\n\n\n

\u00c9tape 2 : les bissectrices sur la feuille principale dans KB <\/strong><\/p>\n\n\n\n

On commence par construire les droites restreintes \u00e0 la feuille principale en utilisant deux de ses points, ici un sommet du triangle et le centre du cercle inscrit de la fa\u00e7on suivante :<\/p>\n\n\n\n

Utilisation de la macro KBdroites 6 : Drte FP hPS fm fp Mff 2 pts<\/strong>
On montre dans l’ordre, l’horicycle de la pseudosph\u00e8re (rose) hPS, les deux m\u00e9ridiens limites de la feuille principale fm<\/strong> (celui du haut, f<\/strong>ronti\u00e8re m<\/strong>oins \\(\\pi\\)) et fp<\/strong> (du bas, f<\/strong>ronti\u00e8re p<\/strong>lus \\(\\pi\\)), puis le milieu de leurs extr\u00e9mit\u00e9s, le point Mff<\/strong>, et enfin les deux points de la droite \u00e0 construire, comme \\(C_{kb}\\) et \\(I_{kb}\\). On applique cela trois fois, pour les trois bissectrices.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u00c9tape 3 : retour sur la pseudosph\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Il suffit ensuite de prendre un point sur chacune de ces droites, ce sont les points \\(B_a, B_b\\) et \\(B_c\\), et appliquer, trois fois, la macro Transfert 2 (KB vers PS Drte FP)<\/strong>, ce qui construit les trois bissectrice, sur la feuille principale.<\/p>\n\n\n\n

Dans l’illustration pr\u00e9c\u00e9dente, on a aussi appliqu\u00e9 Transfert 1b (KB vers PS Pt)<\/strong> qui place le centre du cercle inscrit sur la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

Etape 4 : ajouter le cercle inscrit <\/strong><\/p>\n\n\n\n

Avec les macros dont on dispose, il y a deux fa\u00e7ons de finaliser le cercle inscrit. On a besoin des coordonn\u00e9e du centre et d’un point du cercle. En effet, sauf si on a envie de voir la construction dans KB<\/strong>, on \u00e9vitera de le construire dans KB<\/strong> car la construction n’est pas n\u00e9cessaire et n\u00e9cessite une quarantaine d’objets. On a d\u00e9j\u00e0 dessin\u00e9 le centre du cercle. On utilise Transfert 1a<\/strong> pour avoir les coordonn\u00e9es du centre, nomm\u00e9 CdI<\/strong> dans l’illustration suivante.<\/p>\n\n\n\n

Pour le point du cercle on peut le construire dans KB<\/strong> ou simplement calculer ses coordonn\u00e9es sur la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

Version 1 : construction dans KB<\/em>
\u2022 On commence par construit la perpendiculaire \u00e0 \\((B_{kb}C_{kb})\\) issue de \\(I_{kb}\\). On utilise \u00e0 nouveau la macro Transfert 1a<\/strong> qui donne les coordonn\u00e9es du point, que l’on renomme par exemple CdhBC<\/strong>
\u2022 Ensuite on construit le cercle sur la pseudosph\u00e8re par la macro PS Dessin 7 (Cercle Centre Point)<\/strong>.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Sur cette illustration, on a ajout\u00e9 le point \\(hBC\\) mais ce n’est pas n\u00e9cessaire pour la construction. Pour ce point, on a utilis\u00e9 la macro PS Dessin 3 (Point par Coordonn\u00e9es)<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Remarque technique<\/strong> : la formulation \u00ab\u00a0que l’on renomme par exemple CdhBC<\/strong>\u00a0\u00bb est possiblement ambig\u00fce car il peut y avoir confusion entre le nom de la variable<\/em> et le commentaire texte<\/em> de l’expression. Ceci a \u00e9t\u00e9 d\u00e9taill\u00e9 et comment\u00e9 dans l’article pr\u00e9c\u00e9dent<\/a> (section \u00ab\u00a0Utilisation des items de base\u00a0\u00bb). En g\u00e9n\u00e9ral quand il n’y a qu’un terme, sans espace, il est pr\u00e9f\u00e9rable de renommer la variable (donc avec l’inspecteur d’objet) plut\u00f4t que de modifier le commentaire (avec l’outil calculatrice). De toute fa\u00e7on, le logiciel n’utilise en interne que le nom de la variable.<\/p>\n\n\n\n

Version 2 : calcul direct sur la surface (plus rapide et utilise moins d’objets)<\/em><\/p>\n\n\n\n

On peut calculer les coordonn\u00e9es du projet\u00e9 orthogonal du centre du cercle inscrit sur un des c\u00f4t\u00e9s du triangle avec PS Expressions 5b<\/strong> en montrant les coordonn\u00e9es (par exemple) de \\(B, C\\) et \\(I\\). On obtient une expression dont le commentaire est Coord Hc<\/strong>. On termine comme dans la version 1, avec PS Dessin 7<\/strong> (il n’est pas n\u00e9cessaire de modifier le commentaire)<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Avant de poursuivre, si on le souhaite, on peut enregistrer cette premi\u00e8re figure. La m\u00e9thode d’enregistrement a \u00e9t\u00e9 pr\u00e9sent\u00e9e dans la toute premi\u00e8re section de l’article pr\u00e9c\u00e9dent<\/a> sur les macros de la PS<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n

Poursuite de la figure :
les cercles exinscrits<\/h2>\n\n\n\n

D’un point de vue constructif, il n’y a r\u00e9ellement que deux nouvelles droites \u00e0 construire dans KB<\/strong> pour obtenir les informations permettant de construire les trois cercles exinscrits et les bissectrices ext\u00e9rieures. Bien entendu, pour finaliser la figure on sera amen\u00e9 \u00e0 en construire bien d’autres, en particulier avec KBdroites 6<\/strong> autour de la feuille principale. Mais techniquement la construction reste simple, c’est essentiellement un encha\u00eenement de macros des dossiers PS Transfert<\/strong> et PS Expressions<\/strong>. Ce qui prend du temps c’est de la rendre la plus lisible possible.<\/p>\n\n\n\n

\u00c9tape 1 : placement des points sur la surface – premi\u00e8re droite de KB<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans un premier temps, il faut toutefois se placer dans une configuration o\u00f9 les cercles exinscrits vont bien \u00eatre enti\u00e8rement sur la surface. C’est en fait le seul point sur lequel il faut \u00eatre attentif, le reste se d\u00e9roule quasiment tout seul. Pour cela on peut placer les latitudes des sommets, et les sommets, dans une configuration proche de celle-ci \u00e0 gauche : les latitudes sont plus hautes que dans l’illustration pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Dans l’illustration de droite, on a construit la premi\u00e8re droite avec KBdroites 2<\/strong>, la perpendiculaire \u00e0 la bissectrice du sommet \\(A_{kb}\\), issue de ce point. (droite bleue ci-dessus qui d\u00e9passe l’horicycle rose car c’est une droite limit\u00e9e par le cercle de Beltrami – qu’il faut montrer pour appliquer la macro. Cette droite coupe les deux autres bissectrices en les deux centres de cercles exinscrits \\(Ic_{kb}\\) et \\(Ib_{kb}\\).<\/p>\n\n\n\n

\u00c9tape 2 – Les bissectrices ext\u00e9rieures sur KB et PS, les trois centres des cercles<\/strong><\/p>\n\n\n\n

2a. Les bissectrices dans KB<\/em><\/p>\n\n\n\n

D\u00e9sormais on utilise la macro KBdroites 6 : Drte FP hPS fm fp Mff 2 pts<\/strong>, dont les objets initiaux ont \u00e9t\u00e9 d\u00e9taill\u00e9s \u00e0 l’\u00e9tape 2 de la section pr\u00e9c\u00e9dente.
\u2022 Tout d’abord avec les points \\(Ic_{kb}\\) et \\(B_{kb}\\) : c’est la bissectrice ext\u00e9rieure passant par \\(B_{kb}\\), ce qui permet de construire le troisi\u00e8me centre de cercle exinscrit \\(Ia_{kb}\\). (Illustration de gauche).
\u2022 On peut ensuite cacher les trois premi\u00e8re bissectrices int\u00e9rieures (elles sont d\u00e9j\u00e0 trac\u00e9es sur la pseudosph\u00e8re). On applique \u00e0 nouveau deux fois KBdroites 6 <\/strong> avec les centres des cercles exinscrits.
Sur l’illustration de droite, on a d\u00e9j\u00e0 plac\u00e9 trois points sur les bissectrices pour la construction sur la surface avec Transfert 2<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

2b. Passage sur la pseudosph\u00e8re, centre des cercles exinscrits<\/em><\/p>\n\n\n\n

Dans l’illustration suivante, on a donc
\u2022 d’abord utilis\u00e9 trois fois la macro Transfert 2 (KB vers PS Drte FP)<\/strong> sur les points \\(M_{ab}, M_{bc}, M_{ac}\\),
\u2022 ensuite, on utilise la macro Transfert 1a (KB vers PS Coord)<\/strong> sur les centres des cercles exinscrits. Dans l’illustration, on a renomm\u00e9 les noms des variables coordonn\u00e9es (inspecteur d’objets).
\u2022 enfin, la macro PS Dessin 3<\/strong> pour construire les centres des cercles exinscrits sur la surface.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Les trois bissectrices ext\u00e9rieures, en bleu clair, et les trois centres des cercles exinscrits<\/em><\/p>\n\n\n\n

\u00c9tape 3 – Tracer les droites (limit\u00e9es \u00e0 la feuille principale) du triangle<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Avant de construire les cercles, pour voir qu’il sont bien tangents aux c\u00f4t\u00e9s, il faut tracer les droites passant par les sommets du triangle. On pourrait le faire avec les macros intrins\u00e8ques mais on n’a pas retenu la macro \u00ab\u00a0Feuille principale intrins\u00e8que\u00a0\u00bb donc on va utiliser \u00e0 nouveau KBdroites 6<\/strong>, sinon, avec les droites multifeuilles, la figures peut facilement devenir assez illisible.<\/p>\n\n\n\n

\u2022 Commencer par supprimer les lieux \u00ab\u00a0segments c\u00f4t\u00e9s du triangle\u00a0\u00bb sur la pseudoph\u00e8re.
\u2022 On peut cacher les KB<\/strong>-bissectrices ext\u00e9rieures avant de poursuivre, pour plus de lisibilit\u00e9.
\u2022 Utiliser \u00e0 nouveau trois fois KBdroites 6<\/strong> aux sommets du triangle pris deux \u00e0 deux et poser des points, sur ces droites, ci dessous, \\(T_{ab}\\), \\(T_{bc}\\) et \\(T_{ac}\\).
\u2022 Puis Transfert 2 (KB vers PS Drte FP)<\/strong> sur chacun des points \\(T_{ab}, T_{bc}\\) et \\(T_{ac}\\). Cela donne :<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u00c9tape 4 – Finalisation de la figure<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Il reste \u00e0 d\u00e9terminer un point de chacun des cercles exinscrits. Pour pr\u00e9parer une \u00e9tape suppl\u00e9mentaire, on choisit de calculer les projections des trois centres exinscrits tous sur la m\u00eame droite \\((AB)\\).
\u2022 On applique donc la macro PS Expressions 5b<\/strong> (projection orthogonale d’un point sur une droite) aux points \\(A\\) et \\(B\\) et \u00e0 chaque centre \\(I_a, I_b, I_c\\) successivement. Dans l’illustration, on a modifi\u00e9 le commentaire produit (mode expression, icone<\/em> calculatrice<\/em>), mais on peut ne pas le faire, en pla\u00e7ant chaque commentaire \u00e0 c\u00f4t\u00e9 du centre concern\u00e9 par exemple.
\u2022 Puis on applique enfin la macro de trac\u00e9 de cercle PS Dessin 7<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

On voit que l’on a \u00e9t\u00e9 prudent. On peut abaisser la latitude \\(u_A\\), largement, ce qui rapproche le centre \\(I_a\\) de la feuille pr\u00e9c\u00e9dent la feuille principale (se voit clairement sur KB<\/strong>) et donc fait du cercle exinscrit un cercle multifeuille (au moins sur trois feuilles) :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Vue de dessus de la m\u00eame configuration<\/em><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Compl\u00e9ment sur une propri\u00e9t\u00e9 m\u00e9trique<\/strong> <\/p>\n\n\n\n

Cette propri\u00e9t\u00e9 a d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 mentionn\u00e9 dans cet article sur les macros de KB<\/strong><\/a>. On se propose de la v\u00e9rifier \u00e0 nouveau sur la pseudosph\u00e8re. On peut juste lire le r\u00e9sultat ci-dessous, ou faire ces derniers calculs
La propri\u00e9t\u00e9<\/strong><\/em> : le milieu \\(K\\) de \\(A\\) et \\(B\\), est aussi le milieu des projections sur \\((AB)\\) des centres \\(Ia\\) et \\(Ib\\) ainsi que le milieu des projection orthogonales de \\(Ic\\) et \\(I\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

Pour r\u00e9aliser ce compl\u00e9ment sur la figure, il faut :
\u2022 calculer les coordonn\u00e9es de \\(K\\) milieu de \\(A\\) et \\(B\\) ; macro PS Expressions 2<\/strong>
\u2022 calculer les coordonn\u00e9es de la projection orthogonale du centre du cercle inscrit sur \\((AB)\\) : macro PS Expressions 5b<\/strong> appliqu\u00e9es \u00e0 \\(A, B\\) et \\(CdI\\) (expression produite dans l’\u00e9tape 4 de la section pr\u00e9c\u00e9dente).
\u2022 calculer les distances (PS Expressions 7<\/strong>) \\(d(K,hIAB)\\) et \\(d(K,hIcAB)\\), puis \\(d(K,hIaAB)\\) et \\(d(H,hIbAB)\\). Ci-dessous, les calculs de distance sont illustr\u00e9s \u00e0 7 d\u00e9cimales.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Traces sur la PS du cercle
ou de l’\u00e9quidistante
circonscrite \u00e0 un triangle<\/h2>\n\n\n\n

Dans cette section on regarde comment construire, sur la pseudosph\u00e8re, la partie d’un cercle ou d’une \u00e9quidistante circonscrite \u00e0 un triangle, en particulier quand le centre du cercle ou la perpendiculaire commune aux m\u00e9diatrices ne sont pas sur la pseudosph\u00e8re, et donc que les calculs intrins\u00e8ques ne s’appliquent pas.<\/p>\n\n\n\n

Pour aller \u00e0 l’essentiel on a choisi de vous proposer une figure d\u00e9j\u00e0 avanc\u00e9e, car il n’est pas n\u00e9cessaire de refaire ce qui a \u00e9t\u00e9 fait dans les sections pr\u00e9c\u00e9dentes. <\/p>\n\n\n\n

Lancer la figure M\u00e9diatrice de base<\/a> illustr\u00e9e ci-dessous<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On a construit les m\u00e9diatrices \u00ab\u00a0enti\u00e8res\u00a0\u00bb dans KB<\/strong>, mais pour plus de lisibilit\u00e9, sur la pseudosph\u00e8re, on a gard\u00e9 leurs traces seulement sur la feuille principale, avec les macros usuelles comme KBdroites 6<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Etape 1 – Trace sur la pseudosph\u00e8re du cercle circonscrit au triangle<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Il n’est pas n\u00e9cessaire de nommer les points comme cela est fait dans la suite : ils sont nomm\u00e9s ici juste pour communiquer avec plus de pr\u00e9cision.<\/em><\/p>\n\n\n\n

\u2022 Construire le cercle circonscrit dans KB<\/strong> avec la macro KBCycles 1<\/strong><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u2022 Dans l’environnement standard de DGPad (fl\u00e8che gauche active), construire les deux intersections des deux coniques \\(u_{CC}\\) et \\(v_{CC}\\), avec la palette contextuelle des intersections (s’approcher d’une intersection et quand les deux coniques sont surlign\u00e9es, cliquer et choisir l’icone point en haut comme illustr\u00e9 ci-contre).
\u2022 Sur le segment \\([u_{CC} \\; v_{CC}] \\) prendre un point nomm\u00e9 ci-dessous \\(M_{ccir}\\). La demi-droite de centre \\(Odl\\) passant par \\(M_{ccir}\\) coupe le cercle circonscrit au triangle en \\(PtC_{kb}\\).<\/p>\n\n\n\n


<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u2022 Envoyer alors ce point sur la pseudosph\u00e8re par la macro PS et Transfert 1b : KB vers PS Pt<\/strong> : on construit le point nomm\u00e9 ci-dessus \\(PtC\\).
\u2022 Terminer par la macro PS et Transfert 6 : Trace sur PS Lieu<\/strong>. On montre d’abord ce point \\(PtC\\) puis le point \\(M_{ccir}\\).<\/p>\n\n\n\n

Ci dessus on a choisi de colorier (opacit\u00e9 \u00e0 0.1) ce lieu, mais cela n’est pas n\u00e9cessaire et peu induire parfois en erreur.<\/p>\n\n\n\n

\u00c9tape 2 – M\u00eame d\u00e9marche pour le cas de l’\u00e9quidistante.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Se placer dans le cas o\u00f9 les m\u00e9diatrices ne sont pas concourantes. Il suffit de descendre \\(u_A\\) par exemple.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u2022 Commencer par construire la perpendiculaire commune aux m\u00e9diatrices par KBdroites 3<\/strong>.
\u2022 Pour pouvoir appliquer la macro suivante, il faut cr\u00e9er deux points d’intersection entre la perpendiculaire commune et deux m\u00e9diatrices. (dans la prochaine illustration, nomm\u00e9s \\(H_1 \\) et \\(H_2 \\), mais il n’est pas n\u00e9cessaire de les nommer).
\u2022 Appliquer alors la macro KBCycles 2b : Equidist Cnk AB M<\/strong> \u00e0 ces deux points et un sommet, par exemple \\(A_{kb}\\).
\u2022 Comme dans le cas du cercle circonscrit, construire les deux intersections des deux coniques, ci-dessous nomm\u00e9es \\(u_{Eq}\\) et \\(v_{Eq}\\).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u2022 Sur le segment \\([u_{Eq} \\; v_{Eq}] \\) prendre un point nomm\u00e9 ci-dessous \\(M_{eq}\\). La demi-droite de centre \\(Odl\\) passant par \\(M_{eq}\\) coupe le cercle circonscrit au triangle en \\(PEq_{kb}\\).
\u2022 On termine comme ci-dessus, avec la macro PS et Transfert 1b <\/strong> qui construit sur la pseudosph\u00e8re le point \\(PEq\\), et enfin le lieu de ce point quand \\(M_{eq}\\) d\u00e9crit le segment entre les deux intersections, par la macro PS et Transfert 6<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Chacun comprend bien que l’on fait deux fois la m\u00eame construction, une fois pour le cercle, quand les m\u00e9diatrices sont concourantes et une autre fois pour l’\u00e9quidistante quand elles ont une perpendiculaire commune. On a expliqu\u00e9 (dans le menu DP<\/strong>) en quoi ces deux aspects sont distincts puisque l’on a deux types de faisceaux de droites diff\u00e9rents. Pour cette construction, on aurait pourtant envie qu’ils rel\u00e8vent d’un seul point de vue, pour r\u00e9aliser une seule construction. Le lecteur averti aura reconnu cet autre point de vue, les autres le d\u00e9couvriront dans la derni\u00e8re section de cet article.<\/p>\n\n\n\n

\u00c9tape 3 – Affiner (\u00e9ventuellement) cette construction<\/strong><\/p>\n\n\n\n

L’intersection de deux coniques contient, dans le cas g\u00e9n\u00e9ral, 4 points. Quand il n’y a que deux points, comme ici – mais aussi comme dans le \u00ab\u00a0traitement dynamique descas 1 et 2\u00a0\u00bb des droites de Hilbert<\/a>, ces deux points peuvent dynamiquement ne pas rester les m\u00eames. On ne va pas r\u00e9soudre la question comme pr\u00e9sent\u00e9 dans le cas de Hilbert, car il faudrait entrer dans le code des macros, on peut simplement refaire la figure dans ce cas l\u00e0 (quand la perpendiculaire commune rentre dans l’horicycle de la pseudosph\u00e8re) :<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Dans cette configuration les deux intersections des coniques ne sont plus \\(u_{Eq}\\) et \\(v_{Eq}\\), mais les deux autres, ici encore non nomm\u00e9es, qu’il faut construire pour poursuivre la figure.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Il y a des solutions simples, pour \u00e9viter de refaire l’\u00e9tape pr\u00e9c\u00e9dente, mais demanderait d’entrer un peu plus dans le fonctionnement du logiciel, par exemple par la construction de macros, ou encore de rendre les points d’intersection bool\u00e9ens comme fait dans le mod\u00e8le non argu\u00e9sien de Hilbert. Ce que l’on a choisi de ne pas d\u00e9velopper (pour le moment).<\/p>\n\n\n\n

Remarque : le changement d’intersection ne se produit pas avec le cercle. On peut raisonnablement penser qu’ici cela appara\u00eet car la perpendiculaire commune – de par sa construction – change d’orientation quand elle franchit le centre du cercle.<\/p>\n\n\n\n

Trilat\u00e8re sur la pseudosph\u00e8re<\/h2>\n\n\n\n

On termine cet article par deux propositions de constructions sur les trilat\u00e8res … en free-style, et le compl\u00e9ment culturel annonc\u00e9 \u00e0 la section sur les cycles circonscrits. On propose au lecteur cette nouvelle figure de base … assez minimaliste.<\/p>\n\n\n\n

:<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Lancer cette nouvelle figure de base<\/a> (dans un nouvel onglet).<\/p>\n\n\n\n

Les trois points \\(A_{kb}, B_{kb}, C_{kb}\\) sont pris dans le prolongement projectif du mod\u00e8le KB<\/strong> (en pratique, dans le plan usuel, on y reviendra dans la derni\u00e8re section). Il faut bien-s\u00fbr que les droites coupent l’horicycle limite de la pseudosph\u00e8re pour que les trilat\u00e8res existent sur la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

Fonctionnement des points de base<\/strong> du trilat\u00e8re<\/strong> <\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Les trois points \\(A_{kb}, B_{kb}, C_{kb}\\) sont des points dit \u00ab\u00a0flottants\u00a0\u00bb c’est-\u00e0-dire qu’ils ne sont pas li\u00e9s au rep\u00e8re 3D : ils ne changent pas de place quand la pseudosph\u00e8re tourne par exemple. C’est bien entendu le cas aussi du centre \\(O_{dl}\\) du cercle de KB<\/strong>. Un point est rendu flottant avec l’icone \u00ab\u00a0punaise\u00a0\u00bb de la palette de comportement sous le point.
Comme ces quatre points sont flottants cela signifie aussi qu’ils sont ind\u00e9pendants les uns des autres : si on d\u00e9place \\(O_{dl}\\) toute la construction dans le cercle se d\u00e9place mais avec les trois points \\(A_{kb}, B_{kb}, C_{kb}\\), eux, immobiles. Il faut donc y penser … et si possible \u00e9viter de d\u00e9placer le point \\(O_{dl}\\) : il vaut mieux d\u00e9placer le centre du rep\u00e8re 3D, origine de la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

Construction g\u00e9n\u00e9rique pr\u00e9alable<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\u2022 On commencera par construire la trace des droites sur la feuille principale selon la m\u00e9thode d\u00e9j\u00e0 d\u00e9taill\u00e9e plus haut.
\u2022 \u00c9ventuellement enregistrer cette figure pour la relancer ensuite pour passer \u00e0 une nouvelle construction.<\/p>\n\n\n\n

Premi\u00e8re figure propos\u00e9e : les hauteurs et le cercle inscrit du triangle orthique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pour prendre une KB<\/strong>-perpendiculaire, utiliser plut\u00f4t les droites usuelles pr\u00e9alables (marron) que leurs traces \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’horicycle rose.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Le trilat\u00e8re rouge, ses hauteurs bleues, le triangle orthique vert et son cercle inscrit de centre l’orthocentre
Bien entendu, on peut faire entrer les trois points \\(A_{kb}, B_{kb}, C_{kb}\\) sur la pseudosph\u00e8re.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Deuxi\u00e8me figure propos\u00e9e ; le cercle inscrit d’un trilat\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pour conserver les premi\u00e8res droites du trilat\u00e8re sur la pseudosph\u00e8re, on peut simplement supprimer les hauteurs dans KB<\/strong>, ou encore ouvrir la figure partielle dans un autre onglet avec DGPad, si elle a \u00e9t\u00e9 enregistr\u00e9e. Pour les bissectrices, il suffit de les prendre avec KBdroites 4<\/strong> sur les sommets \\(A_{kb}, B_{kb}, C_{kb}\\). Il est assez rapide de finaliser la figure suivante. Le cercle sur la pseudosph\u00e8re est construit de mani\u00e8re intrins\u00e8que (KBcycles 1<\/strong>) par ses coordonn\u00e9es obtenues par PS et Transfert 1b. KB vers PS Pt<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Du mod\u00e8le hyperbolique KB au mod\u00e8le projectif KH<\/h2>\n\n\n\n

La section pr\u00e9c\u00e9dente sur les trilat\u00e8res est l’occasion pour proposer l’\u00e9largissement conceptuel suivant.<\/p>\n\n\n\n

R\u00e9flexions sur une figure fausse<\/strong> issue de l’application d’une macro<\/strong> <\/p>\n\n\n\n

Au tout d\u00e9but de cet article<\/a> sur les troncatures de pavages dans KB<\/strong>, on a pr\u00e9sent\u00e9 la macro alg\u00e9brique KB<\/strong>–milieu<\/strong> de deux points, utilis\u00e9e ici. En fait il suffit qu’une droite d\u00e9finie par deux points coupe le cercle-limite de Beltrami pour qu’elle puisse s’appliquer. Il s’agit bien du milieu hyperbolique des deux points quand ils sont tous les deux \u00e0 l’int\u00e9rieur du cercle, mais cette construction a-t-elle un sens quand les deux points sont \u00e0 l’ext\u00e9rieur du mod\u00e8le KB<\/strong>, ou encore quand un est \u00e0 l’int\u00e9rieur et l’autre \u00e0 l’ext\u00e9rieur ? On peut d\u00e9j\u00e0 simplement explorer la situation sur le triangle \\(A_{kb}B_{kb}C_{kb}\\).<\/p>\n\n\n\n

Relancer la figure de base des trilat\u00e8re<\/a> (dans un nouvel onglet) pour faire ceci<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

\u2022 \u00e0 gauche, avec un point \u00e0 l’int\u00e9rieur et un autre \u00e0 l’ext\u00e9rieur, les \u00e9ventuelles m\u00e9dianes ne sont pas concourantes, ce qui n’a rien de surprenant : le sym\u00e9trique de \\(A_{kb}\\) par rapport \u00e0 \\(K\\) est un point \u00e0 l’int\u00e9rieur du cercle, donc ne peut pas \u00eatre \\(C_{kb}\\) : ce point \\(K\\) ne peux pas \u00eatre milieu des deux sommets du triangle.
\u2022 \u00e0 droite, la situation est plus troublante, si les trois points sont ext\u00e9rieurs au triangle, les droites \u00ab\u00a0candidates-m\u00e9dianes\u00a0\u00bb sont toujours concourantes. Cela-a-t-il un sens math\u00e9matique ? <\/p>\n\n\n\n

Pr\u00e9sentation succincte du mod\u00e8le KH<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Cette situation a d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 abord\u00e9e, \u00e0 l’int\u00e9rieur de ce site s’entend, dans cette pr\u00e9sentation des mod\u00e8les projectifs KE-KH<\/a> largement \u00e9tudi\u00e9s par Daniel Perrin. (KE<\/strong> pour Klein Elliptique et KH<\/strong> pour Klein Hyperbolique). KH<\/strong> est un plongement projectif du mod\u00e8le hyperbolique KB<\/strong>. C’est d’abord un plan projectif, et ce n’est pas un mod\u00e8le hyperbolique … il y a m\u00eame des questions d’incidence. <\/p>\n\n\n\n

Si vous n’aviez pas entendu parl\u00e9 de l’approche – novatrice, d’une grande rigueur et tellement efficace – que fait Daniel Perrin<\/a> des g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes, un petit d\u00e9tour vers cet article sera, certes assez d\u00e9paysant, mais aussi des plus rafraichissants. Dans la suite, on r\u00e9sume en quelques ligne la situation rencontr\u00e9e ici.<\/p>\n\n\n\n

Dans KH<\/strong>, par la nature m\u00eame des objets, le milieu de deux points existe seulement si ces deux points sont int\u00e9rieurs au cercle, ou s’ils sont tous les deux ext\u00e9rieurs. L’orthogonalit\u00e9 dans KH (comme KE) est issue d’une forme quadratique. Il en r\u00e9sulte, entre autres, parmi de nombreux r\u00e9sultats que
\u2022 deux points ont toujours deux milieux.
\u2022 la polaire de l’un des milieux est une m\u00e9diatrice de ces deux points passant par l’autre milieu. <\/p>\n\n\n\n

Dans KH<\/strong> les m\u00e9dianes d’un triangle dont les trois points sont tous int\u00e9rieurs ou ext\u00e9rieurs au cercle sont concourantes. Reste cette question : pourquoi les calculs faits a priori dans le contexte de la distance au sens de Cayley dans KB<\/strong> donnent les m\u00eames milieux que dans KH<\/strong> ? Daniel Perrin a largement abord\u00e9 cette question, avec ses propres invariants (la g\u00e9om\u00e9trie \u00e9tant l’\u00e9tude des groupes op\u00e9rant sur des invariants). Toujours dans curvica974, un autre article traite de la question de la distance dans KE et KH<\/a>. Et, on y illustre comment Daniel Perrin, avec son invariant<\/strong>, retrouve bien les formules de Cayley dans KB<\/strong> . Ainsi notre macro KBpoints 2. Milieu Alg 2 pts<\/strong> fourni bien un milieu de deux points, au sens de KH<\/strong>, quand les deux points sont ext\u00e9rieurs au cercle.<\/p>\n\n\n\n

R\u00e9aliser quelques figures dans KH et sur la PS<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On propose au lecteur de jouer un peu avec quelques macros de KH<\/strong> dans une figure adapt\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n

Lancer la nouvelle figure PS_Conjug_Trilatere_KH<\/a> dans un nouvel onglet dont voici les nouvelles macros dans le dossier KH<\/strong>.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u2022 Pour toutes les macros de KH<\/strong> on montre d’abord le cercle de Beltrami. Pour voir les deux milieux de deux points, diminuer significativement le rayon du cercle.
\u2022 KH 4<\/strong> est en r\u00e9alit\u00e9 l’invariant de Daniel Perrin. Ce n’est qu’une premi\u00e8re \u00e9tape avant la distance. On verra qu’il peut prendre des valeurs n\u00e9gatives. Se r\u00e9f\u00e9rer \u00e0 l’article sur les distances de KE et KH<\/a> pour plus de pr\u00e9cision.
\u2022 On rappelle que quand une macro utilise un cercle (ici toutes les macros), alors le centre \\(O_{dl}\\) du cercle est cach\u00e9. On le retrouve avec l’icone \u00ab\u00a0gomme\u00a0\u00bb.
\u2022 Par d\u00e9faut les milieux sont nomm\u00e9s \\(I_{kh}\\), affinement entre les deux points \\(J_{kh}\\), \u00e0 l’ext\u00e9rieur. On les a renomm\u00e9s respectivement \\(I_{1}\\) et \\(I_{2}\\).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

K<\/em><\/strong>H<\/strong> n’est pas un mod\u00e8le hyperbolique : ci-dessus les 4 droites des milieux d’un triangle<\/em>.
On ajout\u00e9 les valeurs rendues par l’invariant sur la droite \\((A_{kh}B_{kh})\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

On notera que \\(d(I_1, A_{kb})+d(I_2, A_{kb})=1\\).
Tester aussi la valeur de \\(d(I_1, I_2)\\) … ce n’est pas un bug, voir l’article.<\/p>\n\n\n\n

Figure r\u00e9alisable : les (vraies) m\u00e9dianes d’un trilat\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On utilise les m\u00eames m\u00e9thodes que dans les figures pr\u00e9c\u00e9dentes.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

En rouge les droites du trilat\u00e8re, en vert les m\u00e9dianes du trilat\u00e8re. <\/em>
Ici seuls les milieux sont construits avec KH<\/strong>, le reste est r\u00e9alis\u00e9 avec les macros usuelles.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Hauteurs d’un trilat\u00e8re et le cycle exinscrit du triangle orthique<\/strong> associ\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On a commenc\u00e9 les constructions sur les trilat\u00e8res avec les hauteurs et le cercle inscrit du triangle orthique associ\u00e9. On poursuit avec une configuration o\u00f9 le cycle tritangent au triangle orthique est soit un cercle, inscrit ou exinscrit, soit une \u00e9quidistante exinscrite.<\/p>\n\n\n\n

Pour conserver les droites rouges de la figure pr\u00e9c\u00e9dente il suffit de supprimer les milieux indic\u00e9s 1.<\/p>\n\n\n\n

On peut aussi reprendre la figure depuis le d\u00e9but en lan\u00e7ant \u00e0 nouveau PS_Conjug_Trilatere_KH<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Ci-dessus, les droites sont toujours en rouge, les hauteurs sont bleues, le triangle orthique en vert clair et le cercle exinscrit, de centre \\(H_{kb}\\) dans KB<\/strong>, en cyan. Il est construit comme le cercle circonscrit dans une section pr\u00e9c\u00e9dente, c’est le lieu (par PS et Transfert 6<\/strong>) de \\(PtC\\) en fonction de \\(M_{kb}\\).<\/p>\n\n\n\n

L’int\u00e9r\u00eat de ce point de vue projectif est que l’on a en m\u00eame temps la construction du cercle exinscrit et de l’\u00e9quidistante exinscrite <\/em>: car \\(H_{kb}\\) est soit le centre du cercle soit le p\u00f4le de l’\u00e9quidistante : cette \u00e9quidistante est toujours, pour KH<\/strong>, un cercle de centre \\(H_{kb}\\).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Quand \\(H_{kb}\\) est en dehors du cercle, sa polaire est la perpendiculaire commune aux hauteurs. Le cercle de centre \\(H_{kb}\\) (dans l’environnement KH<\/strong>) est bitangent au cercle c’est alors aussi une \u00e9quidistante pour KB<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Plus de pr\u00e9cisions sur les cercles de KE<\/strong> et KH<\/strong> dans cet autre article<\/a>. En particulier on y explique pourquoi l’\u00e9quidistante peut prendre une forme diff\u00e9rente quand le triangle orthique devient lui-m\u00eame un trilat\u00e8re comme ci-dessous.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Quand le pied d’une hauteur devient lui aussi ext\u00e9rieur au cercle, le cycle associ\u00e9 est alors enti\u00e8rement ext\u00e9rieure au cercle – et donc n’a aucune trace sur la pseudosph\u00e8re. Le cycle est tangent au cercle de Beltrami en les deux points de contact de la polaire de \\(H_{kb}\\) comme dans le cas usuel de KB<\/strong> ci-dessus.<\/p>\n\n\n\n

Bien entendu, le point \\(H\\) peut aussi \u00eatre le centre d’un cercle exinscrit du triangle orthique enti\u00e8rement inscrit dans la pseudosph\u00e8re comme ici : <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Mais il faut faire une construction suppl\u00e9mentaire, car les deux coniques de KB<\/strong> ne se coupant pas les points \\(M_{kb}\\) et \\(PtC_{kb}\\) n’existent plus. On voit que l’on a
\u2022 renvoy\u00e9 les coordonn\u00e9es de l’orthocentre et de l’une de ses projections sur un c\u00f4t\u00e9 du triangle par PS et Transfert 1a<\/strong> puis
\u2022 utilis\u00e9 la macro PS Dessin 7<\/strong>. Et alors cette construction fonctionne aussi quand l’orthocentre est \u00e0 l’int\u00e9rieur du triangle orthique et que le cercle devient ainsi le cercle inscrit.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Il y a tant \u00e0 explorer encore, mais on a choisi d\u2019arr\u00eater l’article ici.<\/p>\n\n\n\n

Rappel des trois articles actuellement disponibles sur le site concernant les mod\u00e8les projectifs KE<\/strong> et KH<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Les mod\u00e8les projectifs KE et KH – 1 – les droites<\/a> <\/p>\n\n\n\n

KEKH – 2a – Les cercles (introduction)<\/a><\/p>\n\n\n\n

KE KH – 3 – Longueur, distance et angles<\/a><\/p>\n\n\n\n

Sp\u00e9cial lecteurs qui ont moins de temps<\/strong><\/p>\n\n\n\n

M\u00eame si l’esprit de l’article est d’apprendre \u00e0 faire ces figures, on peut \u00eatre int\u00e9ress\u00e9 sans avoir vraiment envie – ou simplement le temps – de faire tout cela. Alors voici, aussi, les figures faites dans ce site, avec une ou deux figures de travail, non reprises dans l’article.<\/p>\n\n\n\n

Figures-Article-PS-par-Conjugaison<\/a>T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n

Il faut d\u00e9zipper le fichier et glisser les figures sur l’application en ligne https:\/\/www.dgpad.net\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Apr\u00e8s avoir propos\u00e9 , dans un pr\u00e9c\u00e9dent article, un environnement adapt\u00e9 \u00e0 la r\u00e9alisation de figures sur la pseudosph\u00e8re de mani\u00e8re intrins\u00e8que, nous proposons ici un environnement qui int\u00e8gre, en plus, l’utilisation de la conjugaison avec le mod\u00e8le de Klein-Beltrami. La fa\u00e7on dont cet article est r\u00e9dig\u00e9 suppose – pour […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[5,27,9,25],"tags":[],"jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_featured_media_url":"","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4296"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4296"}],"version-history":[{"count":68,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4296\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8496,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4296\/revisions\/8496"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4296"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4296"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4296"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}