{"id":4207,"date":"2022-06-13T23:10:13","date_gmt":"2022-06-13T19:10:13","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=4207"},"modified":"2025-12-29T23:24:14","modified_gmt":"2025-12-29T19:24:14","slug":"realisation-des-figures-sur-la-pseudosphere-1-2-macros-intrinseques","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=4207","title":{"rendered":"R\u00e9alisation des figures sur la pseudosph\u00e8re (1\/2 – Macros intrins\u00e8ques)"},"content":{"rendered":"\n

Dans le menu PS<\/strong>, nous avons vu deux approches pour r\u00e9aliser des figures sur la pseudosph\u00e8re :
\u2022 Des constructions par la g\u00e9om\u00e9trie intrins\u00e8que de la surface (sp\u00e9cifique \u00e0 la pseudosph\u00e8re)
\u2022 Des constructions par conjugaison avec le mod\u00e8le KB<\/strong>, du disque de Klein-Beltrami, comme on l’a d\u00e9j\u00e0 propos\u00e9 pour la PSH<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Dans ce premier article, on s’int\u00e9resse aux constructions directement r\u00e9alis\u00e9es sur la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

Bien entendu, pour construire de telles figures, il faut avoir l’habitude d’utiliser les macros (rappel d’utilisation<\/a> dans un contexte euclidien), et peut-\u00eatre avoir d\u00e9j\u00e0 pratiqu\u00e9 avec des macros hyperboliques, par exemple dans KB<\/strong> (plus simple) comme propos\u00e9 dans cet article<\/a> ou celui sur les pavages dans KB<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Par ailleurs, m\u00eame si on n’utilise que des expressions et des trac\u00e9s automatiques, il est parfois pr\u00e9f\u00e9rable de renommer les noms des expressions (on va y revenir en d\u00e9tail) ou des points construits, donc avoir un peu l’habitude d’utiliser l’interface de DGPad.<\/p>\n\n\n\n

Cet article est r\u00e9dig\u00e9 pour partager le plaisir de construire des figures sur la pseudosph\u00e8re, sans technicit\u00e9 … et juste cela car toutes les figures propos\u00e9es \u00e0 la construction sont d\u00e9j\u00e0 t\u00e9l\u00e9chargeables dans le cours du menu PS<\/strong>. C’est donc essentiellement pour ouvrir un peu le capot de la pseudosph\u00e8re et jouer avec le moteur.<\/p>\n\n\n\n

Les sections de cette page<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\u2022 La pr\u00e9sentation des macros et de la figure initiale
\u2022 Utilisation des items de base (d\u00e9tails de la construction des m\u00e9dianes d’un triangle)
\u2022 Hauteurs et perpendiculaire commune
\u2022 M\u00e9diatrices et cercle circonscrit
\u2022 M\u00e9diatrices et \u00e9quidistante (la figure la plus longue \u00e0 r\u00e9aliser)
\u2022 Illustration de la propri\u00e9t\u00e9 \u00ab\u00a0constante\u00a0\u00bb de l’\u00e9quidistante
\u2022 Horicycle par sym\u00e9trie orthogonale (avec des illustrations originales)
\u2022 Pr\u00e9sentation des macros disponibles mais non utilis\u00e9es
\u2022 Une figure avec les points multifeuilles<\/p>\n\n\n\n

Les macros de l’approche intrins\u00e8que<\/h2>\n\n\n\n

Comme on l’a d\u00e9j\u00e0 mentionn\u00e9 dans le corps du menu PS<\/strong>, une partie importante des macro-constructions sont du calcul de coordonn\u00e9es ou de constantes. Dans l’illustration ci-dessous, ce sont celles du dossier \u00ab\u00a0Expressions<\/em>\u00ab\u00a0. Pour cet article, on a plac\u00e9 aussi plac\u00e9 plus de macros de \u00ab\u00a0Dessin<\/em>\u00ab\u00a0, c’est \u00e0 dire de trac\u00e9s sur la pseudosph\u00e8re qu’annonc\u00e9 dans le menu PS<\/strong>. Le dossier \u00ab\u00a0PS Base<\/em>\u00a0\u00bb ne sert qu’\u00e0 ajouter des points sur la surface. A priori, il ne devrait pas \u00eatre utilis\u00e9, sauf \u00e0 vouloir r\u00e9aliser des figures plus complexes.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

La figure de base, avec trois points sur la surface, et les coordonn\u00e9es \\([u, \\theta]\\) de ces trois points.<\/em>
On y a ajout\u00e9 le premier niveau des macros (qui n’apparaissent pas \u00e0 cet endroit bien entendu)<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Dans cette premi\u00e8re figure initiale, les points sont sur la feuille principale. Celle-ci part du m\u00e9ridien passant par le point \\(X\\). En fin d’article on propose d’utiliser une figure avec les points de base pouvant \u00eatre sur trois feuilles de la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

Vous pouvez lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet pour explorer les possibilit\u00e9s au fur et \u00e0 mesure de leur description. Pour annuler une macro, on utilise la fl\u00e8che retour \u00e0 droite du tableau de bord, ou simplement relancer la figure en rafraichissant sa page. On peut lancer la figure plusieurs fois, dans plusieurs onglets pour garder les figures avant de les enregistrer.<\/p>\n\n\n\n

Les macros des trois dossiers<\/strong><\/p>\n\n\n\n

En listant ces macros, on voit bien que l’on peut faire beaucoup de choses directement sur la pseudosph\u00e8re. Il faut juste apprendre un peu \u00e0 s’en servir.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Sauf si on souhaite ajouter des points de base sur la pseudosph\u00e8re (troisi\u00e8me dossier), pour toutes les autres macros les objets initiaux sont toujours des expressions<\/strong>, soit des coordonn\u00e9es de points, soit des constantes de droites : on ne montre jamais de points pour ces constructions.<\/p>\n\n\n\n

Enregistrement des figures<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Cela se fait en deux clics. D’abord l’outil enregistrement (icone avant le nuage), puis cliquer sur le lien, et lui donner un nom. Il est conseill\u00e9 d’y mettre tout de suite l’extension de DGPad, .dgp<\/strong>, m\u00eame si cela reste un fichier texte.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pour lire \u00e0 nouveau votre figure, il suffit de la glisser sur l’application en ligne de DGPad : https:\/\/www.dgpad.net\/<\/a>. On peut aussi t\u00e9l\u00e9charger une application de bureau<\/a> dans l’un des trois principaux environnements (linux, windows, macOS).<\/p>\n\n\n\n

Utilisation des items de base<\/h2>\n\n\n\n

Une premi\u00e8re utilisation (segments, droites)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La seule construction que l’on puisse effectuer avec une seule macro est le trac\u00e9 des c\u00f4t\u00e9s du triangle. En effet la macro Dessin 2 : Segment Par Coord<\/strong> ne demande que les deux expressions de coordonn\u00e9es des points, d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sentes dans la figure. Il est ainsi tr\u00e8s simple de r\u00e9aliser un triangle sur la pseudosph\u00e8re, il suffit d’appliquer trois fois cette macro avec les coordonn\u00e9es des points pris deux \u00e0 deux.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pris de contact avec la pseudosph\u00e8re. D\u00e9sactiver les outils (mode consultation) pour pouvoir la tourner.
Explorer la vue de dessus en tirant la souris vers le bas.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Pour construire les droites supports des c\u00f4t\u00e9s du triangle, il faut d’abord \u00ab\u00a0calculer\u00a0\u00bb l’expression des constantes de la droite<\/strong> (Expression 1<\/strong>), puis ensuite construire la droite par ses constantes<\/strong> (Dessin 1). <\/strong>Les droites construites par les macros sont multifeuilles.<\/p>\n\n\n\n

Gestion g\u00e9n\u00e9rale des expressions issues des macros <\/strong><\/p>\n\n\n\n

\u2022 Tout d’abord les expressions produites par une macro sont plac\u00e9es dans la page \u00e9cran au m\u00eame endroit. Si on utilise une macro plusieurs fois, Il faut donc d\u00e9placer les r\u00e9sultats pour qu’ils ne se superposent pas. Cela se fait directement dans le mode \u00ab\u00a0macro\u00a0\u00bb entre deux applications, simplement en tirant sur l’expression. Si on souhaite juste tracer les trois droites d’un triangle, il suffit de d\u00e9placer ces expressions \u00e0 l’\u00e9cran, et ensuite appliquer la macro Dessin 1<\/strong> \u00e0 chacune de ces trois expressions. On sera surpris que les constantes apparaissent avec le m\u00eame \u00ab\u00a0nom\u00a0\u00bb. Mais en fait ce n ‘est pas leur nom, il s’agit de commentaires. On d\u00e9taille cela au point suivant.
\u2022 En effet une expression, en dehors de sa valeur calcul\u00e9e, a deux param\u00e8tres, son nom de variable, utilis\u00e9 dans l’enchainement des macros, g\u00e9r\u00e9 automatiquement – m\u00eame si on peut le modifier \u00e0 tout moment – et le commentaire visible \u00e0 l’\u00e9cran. Ce commentaire est statique, c’est donc toujours le m\u00eame dans une macro. Si on se lance dans une figure un peu charg\u00e9e, il est utile de le modifier. Cela se fait ainsi, illustr\u00e9 sur le commentaire de la macro des constantes d’une droite :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n
    \n
  1. En mode standard (fl\u00e8che gauche active), s\u00e9lectionner l’expression, choisir le mode expression<\/strong> du<\/em> logiciel par l’icone \u00ab\u00a0calculatrice\u00a0\u00bb. <\/em><\/li>\n\n\n\n
  2. L’expression s’ouvre (on voit son nom CstGene) et le commentaire texte. Placer la souris sur cette seconde ligne.<\/em><\/li>\n\n\n\n
  3. Et changer le nom par ConstAB par exemple. Ne pas oublier de valider par le bouton vert <\/strong>\u00e0 droite.<\/em><\/li>\n\n\n\n
  4. Quitter le mode expression en repassant en mode standard et d\u00e9placer l’expression avant d’appliquer une nouvelle fois la macro.<\/em>
    On peut aussi modifier toutes les expressions en m\u00eame temps, on change d’expression apr\u00e8s la validation de la modification.<\/em><\/li>\n<\/ol>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Application de ce qui pr\u00e9c\u00e8de, en changeant la couleur des droites par l’inspecteur d’objets.<\/em>
    Rappel : il faut \u00eatre en mode consultation (aucun outil s\u00e9lectionn\u00e9) pour tourner la pseudosph\u00e8re.<\/em><\/p>\n\n\n\n

    D\u00e9marche pour la construction des m\u00e9dianes d’un triangle<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Si on a r\u00e9alis\u00e9 la figure ci-dessus, il suffit de supprimer (icone corbeille et non pas gomme) les trois constantes des droites pour retrouver la figure initiale.<\/p>\n\n\n\n

    En \u00e9tant un peu attentif, il suffit
    \u2022 d’appliquer trois fois la macro Expression 2a<\/strong> des milieux par deux points<\/em> – on montre les coordonn\u00e9es des points. D\u00e9placer le r\u00e9sultat \u00e0 chaque fois,
    \u2022 puis de construire les points sur la surface (facultatif) avec la macro Dessin 3<\/strong>, Point par coordonn\u00e9es<\/em> (les points sont nomm\u00e9s par cette macro, mais par d\u00e9faut, le nom n’est pas affich\u00e9),
    \u2022 et ensuite Dessin 2<\/strong>, Segment par Coordonn\u00e9es<\/em> en choisissant bien les points oppos\u00e9s aux milieux. Voici ce que cela donne, sans sophistication, avec le m\u00eame commentaire pour les trois milieux :<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    On voit bien que la premi\u00e8re ligne \u00ab\u00a0coord Milieu\u00a0\u00bb correspond au milieu de \\(A\\) et [<\/em>latex]B[\/latex] car sa longitude (1,3) est un peut sup\u00e9rieure \u00e0 celle de \\(C\\) (1,25). De m\u00eame la deuxi\u00e8me ligne correspond au milieu de \\(B\\) et \\(C\\) car des trois c’est le point de plus grande longitude, et pour la troisi\u00e8me ligne, c’est au contraire celui de plus petite longitude, donc milieu de \\(A\\) et \\(C\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

    Bien entendu, on peut am\u00e9liorer la r\u00e9alisation comme ci-dessous. Cela demande juste une ou deux minutes.<\/p>\n\n\n

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    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Ajout du point de concours des m\u00e9dianes<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Il suffit de cr\u00e9er l’intersection de deux m\u00e9dianes. Pour cela il faut :
    \u2022 Construire les constantes de deux m\u00e9dianes, en montrant les (coordonn\u00e9es des) deux points par la macro Expressions 1<\/strong>.
    \u2022 Construire ensuite les coordonn\u00e9es de l’intersection des deux droites (macro Expressions 3<\/strong>)
    \u2022 Tracer ce point sur la surface (macro Dessin 3<\/strong>) et \u00e9ventuellement changer son aspect dans l’inspecteur d’objets.<\/p>\n\n\n\n

    Voici ce que cela donne, en version brute, sans modification des commentaires, en vue de dessus. On a renomm\u00e9 le point d’intersection.<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    On remarque, dans cette illustration<\/em>, que le milieu \\(K\\) est presque au dessus de \\([OY]\\),<\/em>
    ce qui est conforme \u00e0 sa longitude (1,56 est proche de \\(\\pi\/2\\)).<\/em><\/p>\n\n\n\n

    Hauteurs et perpendiculaire commune<\/h2>\n\n\n\n

    Si n\u00e9cessaire relancer la figure de d\u00e9part<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

    Pour les perpendiculaires, on dispose de plusieurs macros, selon la situation et ce que l’on veut en faire.
    \u2022 Expressions 5a et 5b<\/strong> donnent les coordonn\u00e9es du pied de la perpendiculaire sur une droite issue d’un point, selon que l’on ait les constantes de la droite ou (les coordonn\u00e9es de) deux points de la droite. Cette macro sert plut\u00f4t pour construire des sym\u00e9triques, quand on n’a pas besoin de construire la perpendiculaire elle-m\u00eame.
    \u2022 Dessin 4 : Perp (AB) C <\/strong>construit directement la perpendiculaire \u00e0 une droite en donnant deux points \\(A\\) et \\(B\\) de la droites et le point \\(C\\) dont est issue la perpendiculaire. De plus cette macro construit le pied de la perpendiculaire et renvoie les constantes de cette droite, avec le commentaire – qu’il faut adapter comme d\u00e9crit \u00e0 la section pr\u00e9c\u00e9dente – Const Hauteur Hc<\/strong>. C’est avec cette macro que l’on trace les trois hauteurs. De plus ayant les constantes des hauteurs, avec deux d’entre elles, on construit l’orthocentre. En pratique, on applique la macro sur les trois coordonn\u00e9es des sommets du triangle par permutation circulaire sur les trois points, C’est imm\u00e9diat, il faut juste penser \u00e0 d\u00e9placer l’expression produite entre chaque application.<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Dans cette illustration, la hauteur issue de \\(B\\) s’enroule sur plusieurs tours,
    on a r\u00e9gl\u00e9 sa densit\u00e9 \u00e0 500 au lieu de 200. Les segments, r\u00e9gl\u00e9s \u00e0 100 peuvent \u00eatre ramen\u00e9s \u00e0 50.<\/em><\/p>\n\n\n\n

    La question de la perpendiculaire commune<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    On sait que la pseudosph\u00e8re ne recouvre qu’une petite partie du plan hyperbolique, environ un quart. Avec les hauteurs, sans visualisation de la situation sur KB<\/strong>, le plus difficile est peut-\u00eatre de trouver une configuration o\u00f9 la perpendiculaire commune \u00e0 trois hauteurs est sur la pseudosph\u00e8re. Car m\u00eame si l’orthocentre n’est pas sur la pseudosph\u00e8re, il peut exister dans le plan hyperbolique, et ensuite la perpendiculaire commune prend le relais mais n’est pas, elle non plus, sur la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

    Pour les macros, on dispose de deux outils, directement de dessin :
    \u2022 Dessin 6a : Perp Comm 2 droites<\/strong> qui construit la perpendiculaire commune \u00e0 deux droite et renvoie ses constantes.
    \u2022 Dessin 6b : Perp Comm Faisceau 3 droites<\/strong> qui construit la perpendiculaire commune \u00e0 3 droites, les intersections avec les droites, renvoie aussi les coordonn\u00e9es de ces intersection et les constantes de la perpendiculaire commune. C’est cette macro que nous allons utiliser.<\/p>\n\n\n\n

    Dans a premi\u00e8re illustration, on propose au lecteur une situation proche d’une solution. On utilise la macro Dessin 6b<\/strong> un peu \u00e0 l’aveugle puisque l’on n’a pas la projection dans KB<\/strong> pour \u00e9valuer plus finement la configuration dans le plan hyperbolique complet. On voit que ni les coordonn\u00e9es des points, ni bien entendu les constantes de la perpendiculaire commune ne peuvent \u00eatre calcul\u00e9es Et donc que rien n’est construit.<\/p>\n\n\n\n

    Remarque pratique<\/em> : pour l’illustration suivante, on a remis la hauteur issue de \\(B\\) \u00e0 une densit\u00e9 de 200 et r\u00e9gl\u00e9 celle issue de \\(C\\) \u00e0 une densit\u00e9 de 500. Les pieds des hauteurs issues de \\(B\\) et de \\(C\\) sont bien entendu sur les droites support des c\u00f4t\u00e9s – non trac\u00e9es pour plus de visibilit\u00e9 – mais pas sur les segments.<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Dans la seconde illustration, on a d\u00e9plac\u00e9 le point \\(A\\) de quelques pixels seulement, et tout est calcul\u00e9 et trac\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

    M\u00e9diatrices et cercle circonscrit<\/h2>\n\n\n\n

    \u00c9ventuellement, ouvrir une nouvelle fois la figure de base<\/a> (pour conserver la figure pr\u00e9c\u00e9dente par exemple).<\/p>\n\n\n\n

    Dans la page traitant de l’orthogonalit\u00e9 sur la pseudosph\u00e8re<\/a>, on a mentionn\u00e9 que les formules g\u00e9n\u00e9rales sur la perpendiculaire \u00e0 une droite issue d’un point ne s’appliquent pas si le point est sur la droite. Il y a donc un traitement sp\u00e9cial pour ce cas, et en particulier pour les m\u00e9diatrices avec, donc, des macros sp\u00e9cifiques.<\/p>\n\n\n\n

    \u2022 Expression 4 : ConstMed et CdMilieu<\/strong> qui, \u00e9tant donn\u00e9s deux points renvoie les constantes de la m\u00e9diatrice et les coordonn\u00e9es du milieu.
    \u2022 Dessin 5 : M\u00e9diatrice et coord <\/strong>qui fait la m\u00eame chose mais en tra\u00e7ant la m\u00e9diatrice. C’est celle que nous allons utiliser. Il faut tout de m\u00eame tracer le milieu depuis ses coordonn\u00e9es (Dessin 3<\/em>) – si on veut le tracer.<\/p>\n\n\n\n

    On arrive rapidement \u00e0 cela<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    L’int\u00e9r\u00eat principal de cette activit\u00e9 est dans la construction de nos premiers cycles sur la pseudosph\u00e8re. Tout d’abord le cercle circonscrit. On commence par construire le centre du cercle circonscrit comme intersection de deux m\u00e9diatrices. Puis on applique
    \u2022 Dessin 7 : Cercle par centre et point<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Vue de face et de profil. Le point rouge est bien-s\u00fbr le centre du cercle.
    On rempli le cercle avec \u00ab\u00a0opacit\u00e9\u00a0\u00bb (\u00e0 0,06) de l’inspecteur d’objets sur le cercle.<\/em><\/p>\n\n\n\n

    Utilisation de la macro Distance (Expression 7)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    On a nomm\u00e9 le centre du cercle \\(Occ\\) le centre du cercle circonscrit. C’est l’occasion de \u00ab\u00a0tester\u00a0\u00bb la macro distance, ci-dessous juste entre le centre du cercle et les sommets. On pourrait aussi l’appliquer sur les milieux.<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    On peut ensuite agrandir le cercle, en d\u00e9pla\u00e7ant les points de base et leurs latitudes. Voici un cercle sur presque une feuille enti\u00e8re et sa vue de dessus<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Et on peut aller un peu plus loin avec un cercle sur plusieurs feuilles et une m\u00e9diatrice \u00ab\u00a0tr\u00e8s enroul\u00e9e\u00a0\u00bb .
    Vue de face et de profil de la m\u00eame configuration.<\/em><\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    On peut obtenir un cercle circonscrit multifeuille<\/em> avec des m\u00e9diatrices se d\u00e9ployant sur juste un peu plus d’une feuille.<\/em><\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Dans la macro Cercle<\/strong>, on ne traite pas le cas o\u00f9 le cercle sort de la pseudosph\u00e8re. On \u00e9vitera donc ces configurations … il y a de quoi explorer sans cela.<\/p>\n\n\n\n

    M\u00e9diatrices et \u00e9quidistante<\/h2>\n\n\n\n

    Cette section est l’occasion d’entrer un peu plus en d\u00e9tail dans le fonctionnement du logiciel, dans le paragraphe \u00ab\u00a0conseil technique pr\u00e9alable\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n\n

    On propose de poursuivre la figure pour ajouter l’\u00e9quidistante quand les m\u00e9diatrices sont en faisceau \u00e0 axe. Avant cela, il faut d’abord se placer dans une configuration o\u00f9 les m\u00e9diatrices ont une perpendiculaire commune … et qu’elle soit sur la pseudosph\u00e8re. <\/p>\n\n\n\n

    Construire la perpendiculaire commune aux m\u00e9diatrices<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    On a d\u00e9j\u00e0 vu, avec les hauteurs, la macro tr\u00e8s compl\u00e8te que l’on va utiliser, Dessin 6b<\/strong>. Pour fluidifier la manipulation de la figure, on peut – \u00e9ventuellement – supprimer le cercle circonscrit. Pour cela il suffit de supprimer les coordonn\u00e9es du centre du cercle circonscrit.<\/p>\n\n\n\n

    \u2022 On rappelle que l’on applique toujours un peu \u00e0 l’aveugle la macro Dessin 6b<\/strong> sans savoir si les trois pieds des perpendiculaires \\(H_1, H_2, H_3\\) sont bien sur la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

    Un conseil technique pr\u00e9alable \u00e0 l’utilisation de<\/strong> Dessin 6b sur cette figure <\/strong>:
    On a vu que les expressions produites par les macros ont une position statique. Une cons\u00e9quence est que si on a tourn\u00e9 la pseudosph\u00e8re dans tous les sens dans les constructions pr\u00e9c\u00e9dente – comme c’est le cas de l’auteur de l’article – on peut ne pas voir \u00e0 l’\u00e9cran les constantes de la perpendiculaire commune, indispensable pour construire l’\u00e9quidistante … et ne pas pouvoir les r\u00e9cup\u00e9rer – sauf \u00e0 modifier le fichier manuellement, ce qui n’est pas envisag\u00e9 ici. Pour \u00e9viter cela trois options sont possibles :
    \u2022 la plus simple est de replacer la figure d\u00e9j\u00e0 construite dans une position proche de la position initiale, par rapport au rep\u00e8re du logiciel s’entend. Pour cela, afficher les axes du rep\u00e8re en activant la derni\u00e8re icone du tableau de bord (sous forme d’axes), et d\u00e9placer \u00e0 l’\u00e9cran la souris enfonc\u00e9e, vers la gauche ou vers la droite – le rep\u00e8re d\u00e9file alors – pour que les rep\u00e8res soient plus ou moins comme cela :<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    L’objectif est d’avoir \u00e0 l’\u00e9cran les abscisses entre 1 et 3, et les<\/em> ordonn\u00e9es entre 0 et -2,<\/em>
    car c’est dans cette partie que sont affich\u00e9s les retours des macros. D\u00e9sactiver ensuite l’icone des axes.<\/em><\/p>\n\n\n\n

    Cette option, a priori, ne prend que quelques secondes.
    \u2022 L’autre option, plus radicale, est de relancer la figure initiale et de refaire rapidement la construction des m\u00e9diatrices, sans par exemple reconstruire les milieux qui ne servent pas pour la suite.
    \u2022 Une option interm\u00e9diaire entre les deux est de lancer la macro Dessin 6b<\/strong> et de voir si au moins deux des coordonn\u00e9es des trois points \\(H_1, H_2, H_3\\) sont \u00e0 l’\u00e9cran. Dans ce cas, on peut retrouver les constantes de la perpendiculaire commune simplement en appliquant Expression 1<\/strong> (Constantes d’une droite) \u00e0 ces deux coordonn\u00e9es. Et sinon, faire un retour arri\u00e8re (icone de droite du tableau de bord) pour supprimer l’application de cette derni\u00e8re macro.<\/p>\n\n\n\n

    On arrive donc \u00e0 la construction de la perpendiculaire commune<\/strong> – ci-dessous un exemple de configuration o\u00f9 elle est bien sur la pseudosph\u00e8re – avec, d’une fa\u00e7on ou d’une autre, les constantes de la perpendiculaire commune \u00e0 l’\u00e9cran<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Exemple de configuration d’un triangle o\u00f9 la perpendiculaire commune des m\u00e9diatrices est sur la pseudosph\u00e8re.<\/em><\/p>\n\n\n\n

    L’\u00e9quidistante passant par les trois sommet du triangle<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Il suffit d’utiliser la macro Dessin 8 : Equidistante CstAB CdM<\/strong> appliqu\u00e9e
    \u2022 aux constantes de la perpendiculaire commune aux m\u00e9diatrices et
    \u2022 aux coordonn\u00e9es de l’un des trois sommets, par exemple \\(B\\).<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    L’\u00e9quidistante (rose) d\u00e9finie par la perpendiculaire commune (rouge) et un sommet passe bien par les deux autres sommets.<\/em><\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Exemple ou la perpendiculaire commune aux m\u00e9diatrices est sur plus d’une feuille,
    et de m\u00eame pour l’\u00e9quidistante (vue de face et de dessus de la m\u00eame configuration)<\/em><\/p>\n\n\n\n

    Illustration de la propri\u00e9t\u00e9 de l’\u00e9quidistante<\/h2>\n\n\n\n

    La figure pr\u00e9c\u00e9dente n’est pas n\u00e9cessairement facilement maniable. En fait les densit\u00e9s des derni\u00e8res constructions peuvent \u00eatre \u00e9lev\u00e9es, on peut les remttre \u00e0 200\/
    On propose dans cette section :
    \u2022 de r\u00e9aliser une \u00e9quidistante d’application imm\u00e9diate pour voir la forme qu’elle peut prendre sur la surface. On rappelle que l’\u00e9quiditsante \u00e0 une droite n’est une droite qu’en g\u00e9om\u00e9trie euclidienne.
    \u2022 d’illustrer sa propri\u00e9t\u00e9 de distance constante \u00e0 la droite.<\/p>\n\n\n\n

    \u00c9quidistante de base<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    \u2022 Relancer la figure de base<\/a>
    \u2022 Appliquer Expression 1 (constantes d’une droite)<\/strong> aux points \\(A\\) et \\(B\\). Il n’est pas n\u00e9cessaire de renommer le commentaire.
    Puis appliquer Dessin 8 : Equidistante CstAB CdM<\/strong> aux constantes de la droite \\((AB)\\) et aux coordonn\u00e9es du point \\(C\\).<\/p>\n\n\n\n

    On obtient une figure un peu ordinaire dans la configuration initiale que l’on peut modifier en agissant sur les trois points ou leurs latitudes pour obtenir des \u00e9quidistantes plus originales comme ci-dessous. Dans cette illustration, on a augment\u00e9 la latitude de \\(C\\) et, significativement, sa longitude.<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    L’int\u00e9r\u00eat d’une telle figure serait de v\u00e9rifier que l’on a vraiment construit une \u00ab\u00a0\u00e9quidistante\u00a0\u00bb : le lieu des points \u00e0 m\u00eame distance de la droite \\((AB)\\) que le point \\(C\\). Mais cela n’est pas si simple depuis cette figure car si on prend un point \\(M\\) sur objet de la droite \\((AB)\\) ou sur l’\u00e9quidistante, on n’a aucun moyen de r\u00e9cup\u00e9rer ses coordonn\u00e9es beltramiennes \\([u_M, \\theta_M]\\). Il faut proc\u00e9der autrement.<\/p>\n\n\n\n

    Illustration que l’\u00e9quidistante est bien \u00ab\u00a0\u00e0 distance constante\u00a0\u00bb de la droite.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Une figure \u00e0 finaliser est propos\u00e9e aux lecteurs. On va pouvoir manipuler un point \\(M\\) sur l’\u00e9quidistante (d\u00e9sormais en bleu clair), le projeter sur la droite \\((AB)\\) – d\u00e9sormais en rouge – en un point \\(h_M\\) et calculer \\(d(M,h_M)\\) pour illustrer que c’est une constante.<\/p>\n\n\n\n

    Pour cela on se donne un point d’un segment qui va repr\u00e9senter une longitude. A partir de cette longitude on a construit un point \\(M\\) sur l’\u00e9quidistante depuis ses coordonn\u00e9es calcul\u00e9es \\(CdM\\). Cet aspect sera d\u00e9taill\u00e9 \u00e0 la figure suivante.<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Dans cette figure, on d\u00e9place \\(\\theta_M\\) sur le segment, \\(M\\) se d\u00e9place sur l’\u00e9quidistante. Il faut tourner la pseudosph\u00e8re pour acc\u00e9der \u00e0 toute l’amplitude de \\(\\theta_M\\). Comme on l’a d\u00e9taill\u00e9 dans la section pr\u00e9c\u00e9dente, il est conseill\u00e9 de le faire apr\u00e8s<\/strong> la construction propos\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n

    Lancer cette figure sp\u00e9cifique<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

    Construction propos\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    \u2022 Construire de projet\u00e9 orthogonal \\(h_M\\) du point \\(M\\) sur la droite \\((AB)\\). Pour cela utiliser la macro Expressions 5a : Coord Pied Hauteur CstAB C<\/strong> puis Dessin 3<\/strong> pour construire \\(h_M\\).
    \u2022 Disposant des coordonn\u00e9es de \\(M\\) et \\(h_M\\), on peut construire le segment, calculer la distance entre ces deux points et v\u00e9rifier que cette distance est constante quand \\(M\\) se d\u00e9place sur l’\u00e9quidistante.<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Horicycle par sym\u00e9trie orthogonale<\/h2>\n\n\n\n

    En g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, l’horicycle de centre id\u00e9al \\(O\\) (un point \u00e0 l’infini) passant par \\(A\\) est le lieu des sym\u00e9triques de \\(A\\) par le faisceau des droites ayant \\(O\\) comme point \u00e0 l’infini. Sur la pseudosph\u00e8re, on a d\u00e9j\u00e0 vu<\/a> que les cercles parall\u00e8les \u00e0 l’\u00e9quateur (comme les trois cercles en pointill\u00e9 ci-dessus) sont des parties d’horicycles. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment l’horicycle associ\u00e9 \u00e0 un cercle parall\u00e8le \u00e0 l’\u00e9quateur est l’enroulement infini – dans les deux sens – sur ce cercle.<\/p>\n\n\n\n

    Tous ces horicycles sont concentriques en le seul point id\u00e9al accessible \u00e0 la pseudosph\u00e8re. Pour construire d’autres (parties) d’horicycles sur la surface, il suffit de faire le sym\u00e9trique d’un de ces cercles par rapport \u00e0 une droite, on m\u00eame un point, et donc cela peut se faire directement sur la pseudosph\u00e8re avec les outils dont on dispose.<\/p>\n\n\n\n

    Dans cette section, on propose au lecteur de r\u00e9aliser une telle construction depuis une figure adapt\u00e9e \u00e0 cela, en particulier avec une macro suppl\u00e9mentaire pour \u00e9viter quelques difficult\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

    La construction propos\u00e9e est tr\u00e8s simple et se fait en une minute (deux si on veut \u00ab\u00a0d\u00e9corer\u00a0\u00bb la construction). Le plus long est clairement de lire les justificatifs et commentaires de la proc\u00e9dure.<\/p>\n\n\n\n

    Pr\u00e9sentation de la situation<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    On dispose d’un cercle (orange) support, de latitude \\(u_M\\). On se propose de faire le sym\u00e9trique de ce cercle par rapport \u00e0 la droite \\((AB)\\). On dispose d’un point \\(M\\) sur le cercle, il suffit de faire le sym\u00e9trique de \\(M\\) et le lieu de ce sym\u00e9trique. Mais cela ne fonctionne pas – avec ce logiciel – parce que ce cercle est un \u00ab\u00a0cercle 3D\u00a0\u00bb et le lieu li\u00e9 \u00e0 un point \u00e0 un tel cercle n’a pas \u00e9t\u00e9 impl\u00e9ment\u00e9 dans DGPad. Il faut donc faire autrement.<\/p>\n\n\n\n

    On reprend donc une technique proche de celle pour l’\u00e9quidistante, sauf qu’ici, le lecteur int\u00e9ress\u00e9 est invit\u00e9 \u00e0 construire le lieu lui-m\u00eame. On aurait pu le faire dans l’\u00e9quidistante, c’est la m\u00eame technique, mais on a voulu graduer, non pas les difficult\u00e9s – il n’y en a pas – mais plut\u00f4t les engagements cognitifs associ\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

    Pour parcourir un point sur le cercle euclidien de latitude \\(u_M\\), on a fait parcourir \u00e0 un point \\(Pt_{FP}\\) un segment de longueur \\(\\pi\\) (pour que cela rentre \u00e0 l’\u00e9cran) et la longitude du point sur la feuille principale est donc \\(2(x_{PtFP}-x(o_{FP})\\), sa latitude est la c\u00f4te du point \\(u_M\\) soit \\(uM[2]\\) dans la notation du logiciel. On a ainsi construit \u00ab\u00a0manuellement\u00a0\u00bb les coordonn\u00e9es beltramiennes du point \\(P_{hori}\\).<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Tout le reste de la construction se fait par des macros. Vous aurez not\u00e9 que l’on a ajout\u00e9 une macro Horicycle par lieu<\/strong>, au premier niveau, pour finaliser la construction. C’est juste une application de lieu de point et donc, exceptionnellement, pour appliquer cette macro il faudra montrer des points \u00e0 l’\u00e9cran et non pas des coordonn\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n

    R\u00e9alisation de la figure<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Commencer par ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet. Elle contient, comme le montre le montage ci-dessus, la m\u00eame structure de macro-constructions. Nous allons faire une construction \u00ab\u00a0minimaliste\u00a0\u00bb pour montrer que peu d’objets sont n\u00e9cessaires et en particulier nous n’allons pas tracer la droite \\((AB)\\). On garde \u00e7a pour \u00ab\u00a0la minute d\u00e9coration\u00a0\u00bb. Il y a 5 macros \u00e0 appliquer.
    \u2022 Placer le point \\(P_{hori}\\) sur la pseudosph\u00e8re en appliquant Dessin 3<\/strong> (Point par Coord)<\/strong> \u00e0 ses coordonn\u00e9es \\(CdP_{hori}\\). Il n’est pas n\u00e9cessaire de le nommer.
    \u2022 Construire les coordonn\u00e9es du projet\u00e9 orthogonal de \\(P_{hori}\\) sur la droite \\((AB)\\) en appliquant Expressions 5a (Coord Pied Hauteur CstAB C)<\/strong> \u00e0 Constante Droite AB<\/strong> et CdPhori<\/strong>. On obtient une expression dont le commentaire est Coord Hc<\/strong>.
    \u2022 Construire le sym\u00e9trique de \\(P_{hori}\\) par rapport \u00e0 son projet\u00e9 orthogonal sur \\((AB)\\) en appliquant Expressions 6b (Coord Sym Ctr Pt)<\/strong> \u00e0 Coord Hc<\/strong> et CdPhori<\/strong>. On obtient une expression dont le commentaire est Coord Sym Ctr Pt<\/strong>.
    \u2022 Appliquer Dessin 3<\/strong> \u00e0 cette derni\u00e8re expression : on obtient un nouveau point sur la surface. Ce point est le sym\u00e9trique orthogonal de \\(P_{hori}\\) par rapport la droite \\((AB)\\), et donc un point de l’horicycle que l’on veut construire.
    \u2022 Enfin, appliquer la nouvelle macro du premier niveau, Horicycle par lieu<\/strong>, en montrant d’abord ce dernier point cr\u00e9\u00e9 et ensuite le point \\(Pt_{FP}\\) du segment des longitudes. Le lieu est trac\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

    On devrait avoir obtenu cela : <\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Pourquoi cette macro Horicycle par lieu<\/strong> ?<\/p>\n\n\n\n

    Il y a bien un outil lieu automatique dans la palette contextuelle des points, mais elle est plut\u00f4t pour une utilisation en 2D. L’algorithme prend en g\u00e9n\u00e9ral le premier point significatif dont d\u00e9pend le point final, et il est tr\u00e8s efficace en 2D. Mais ici c’est plus complexe \u00e0 choisir. En effet l’algorithme, a priori \u00e9limine les points \\(A\\) et \\(B\\) qui ne sont pas trait\u00e9s, mais h\u00e9site – ne choisit pas – entre les latitudes \\(u_A, u_B, u_M\\). D’o\u00f9 cette macro utile pour ce genre de situations. <\/p>\n\n\n\n

    Am\u00e9lioration de la figure<\/strong> (la minute de plus)<\/p>\n\n\n\n

    On peut cacher (icone gomme et non pas corbeille)
    \u2022 les deux points cr\u00e9es sur la pseudosph\u00e8re,
    \u2022 les trois expressions cr\u00e9\u00e9es (conserver Const Droite AB<\/strong>), et
    \u2022 tout ce qui concerne la variation de la longitude : le segment, ses extr\u00e9mit\u00e9s et le point mobile sur le segment.<\/p>\n\n\n\n

    Puis, on peut reprendre la construction \u00e0 partir du point \\(M\\). Pour cela on applique
    \u2022 Expressions 5a<\/strong> \u00e0 Const Droite AB<\/em> et CdM<\/em>. Cela produit une nouvelle expression Coord Hc<\/em>.
    \u2022 Expressions 6b<\/strong> \u00e0 Coord Hc<\/em> et CdM<\/em> qui donne une nouvelle expression encore comment\u00e9e Coord Sym Ctr Pt<\/em>
    \u2022 Dessin 3<\/strong> aux deux derni\u00e8re expressions pour placer les points sur la surface
    \u2022 Dessin 2<\/strong> (Segment) \u00e0 CdM<\/em> et l’expression Coord Sym Ctr Pt<\/em>.
    \u2022 Dessin 1<\/strong> (le trac\u00e9 de la droite) \u00e0 Const Droite <\/strong>AB<\/em><\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Sympathique, d’autant que l’on peut jouer sur les points \\(A\\) et \\(B\\) et leurs <\/em>latitudes \\(u_A, u_B\\)<\/em>,
    et obtenir des configurations un peu inattendues<\/em><\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Avec une droite \\((AB)\\) proche d’un m\u00e9ridien, l’horicycle semble s’enrouler. <\/em>
    A-t-on une situation du type \u00ab\u00a0r    \u00eave de Coxeter<\/a>\u00a0\u00bb ?<\/em> Qu’en est-il ? <\/em><\/p>\n\n\n\n

    Compl\u00e9ment<\/strong> (\u00e0 faire \u00e9ventuellement, se placer alors en mode \u00ab\u00a0Calculatrice\u00a0\u00bb)<\/p>\n\n\n\n

    Comme on a trac\u00e9 une partie de l’horicycle sur la feuille principale, on peut tenter d’\u00e9tendre un peu plus en modifiant l’extr\u00e9mit\u00e9 du segment des longitudes (le point \\(ex_{DP}\\)). Ce qui donne :<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    \u2022 \u00e0 gauche : on trace l’horicycle sur deux feuilles : les latitudes de l’horicycle continuent de monter.
    \u2022 \u00e0 droite : on le trace sur trois feuilles : les latitudes redescendent.<\/em><\/p>\n\n\n\n

    Comme il n’y a qu’un seul point \u00e0 l’infini, pour enrouler l’horicycle il faut que la droite \\((AB)\\) soit proche d’un m\u00e9ridien, sans \u00eatre un m\u00e9ridien sinon l’horicycle est son propre sym\u00e9trique. Comme le centre de l’horicycle est l’image par la sym\u00e9trique d’axe \\((AB)\\) de \\(I_{dl}\\), soit un point qui n’est pas dans l’horicycle rose, image de la pseudosph\u00e8re. Donc n\u00e9cessairement, l’horicycle image ne peut pas s’enrouler \u00e0 l’infini et doit n\u00e9cessairement redescendre. Parce que c’est trop joli, une autre figure, \u00e0 manipuler dans la page, est propos\u00e9e sur ce th\u00e8me en fin d’article.<\/p>\n\n\n\n

    Pr\u00e9sentation des macros non utilis\u00e9es<\/h2>\n\n\n\n

    Les seules macros non encore utilis\u00e9es sont<\/p>\n\n\n\n

    \u2022 Expressions 6a : Coord Sym CstPP Ctr Pt<\/strong> qui construit le sym\u00e9trique d’un point (Pt) par rapport \u00e0 un autre point (Ctr) – comme 6b<\/strong> d\u00e9j\u00e0 utilis\u00e9e – mais en utilisant les constantes de la droite de ces deux points, si elle est connue, ce qui \u00e9vite de la reconstruire. C’est une optimisation de 6b.<\/p>\n\n\n\n

    Et les deux macros du troisi\u00e8me dossier PS Base<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Il s’agit de cr\u00e9er un point sur la surface et de calculer ses coordonn\u00e9es. Pour cela on commence par construire un \u00ab\u00a0cercle-horicycle\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n\n

    \u2022 PS Base 2 : Horicycle Latitude <\/strong>: Avec un point pris sur le segment vertical, la macro construit le cercle \u00ab\u00a0horicycle\u00a0\u00bb. Son centre est cach\u00e9, il faut le montrer avec la gomme car il est indispensable pour calculer les coordonn\u00e9es beltramiennes d’un point du cercle. Il s’appelle \\(oH\\) (comme pr\u00e9fixe, \\(oH, oH_0, oH_1\\)).<\/p>\n\n\n\n

    Une fois ce cercle construit, on place un point dessus avec l’interface usuelle du logiciel, par la palette contextuelle des points. On peut alors obtenir les coordonn\u00e9es de ce point par :<\/p>\n\n\n\n

    \u2022 PSBase 1 : Coord par A oA uA <\/strong>: cette macro donne les coordonn\u00e9es d’un point en montrant dans l’ordre, le point, le centre du cercle, la latitude du cercle.<\/p>\n\n\n\n

    Figure avec les trois points multifeuilles<\/h2>\n\n\n\n

    On peut reprendre les premi\u00e8res constructions simples de cette page sur une figure o\u00f9 les trois points de base peuvent \u00eatre sur la feuille principale mais aussi sur les deux feuilles adjacentes.<\/p>\n\n\n\n

    En pratique on utilise les m\u00eames macros, de la m\u00eame fa\u00e7on. Seules les longitudes des trois points sont modifi\u00e9es en fonction de la feuille \u00e0 laquelle ils appartiennent.<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Ouvrir cette figure multifeuilles<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

    Il est conseill\u00e9 de commencer par une figure simple comme les m\u00e9dianes d’un triangle : d\u00e9j\u00e0 les segments s’allongent, pour les droites on sera prudent.<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Le segment \\([AC]\\) est sur trois feuilles<\/em>
    ci dessous, m\u00e9dianes, sur deux feuilles seulement<\/em><\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Remarque : il peut \u00eatre n\u00e9cessaire d’augmenter la densit\u00e9 non seulement des droites, mais m\u00eame parfois des segments.<\/p>\n\n\n\n

    Retour sur l’enroulement de l’horicycle<\/h2>\n\n\n\n

    Dans la figure suivante on a un peu syst\u00e9matis\u00e9 la construction pr\u00e9c\u00e9dente avec un curseur (on enroule sur \\(k\\) tours (jusqu’\u00e0 12 tours) … hum ce curseur \\(k\\) n’a aucun rapport avec la constante nomm\u00e9e \\(k^2\\) des droites. On ne peut plus tracer la droite \\((AB)\\), trop proche d’un m\u00e9ridien, on a donc pr\u00e9par\u00e9 une macro un peu sp\u00e9cifique pour tracer un \u00ab\u00a0morceau de droite\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n\n

    Dans la figure suivante, on peut modifier le curseur \\(k\\) bien entendu, mais aussi les points \\(A\\) et \\(B\\) juste de quelques pixels, dans un sens ou l’autre, ajuster \u00e9ventuellement leurs latitudes \\(u_A\\) et \\(u_B\\). On regardera aussi la seconde constante – dite \\(k^2\\) – de la droite \\((AB)\\). Voici ce que l’on peut obtenir :<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    \u00e0 gauche, enroulement vers l’\u00e9quateur (\\(k^2>68000\\)), \u00e0 droite, enroulement vers l’infini.<\/em><\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

    Deux exemples de d\u00e9part de l’\u00e9quateur avec retour \u00e0 l’\u00e9quateur. A droite on a diminu\u00e9 la latitude \\(u_M\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

    La figure manipulable<\/strong><\/p>\n\n\n