{"id":4115,"date":"2022-06-05T22:58:42","date_gmt":"2022-06-05T18:58:42","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=4115"},"modified":"2025-12-28T22:23:10","modified_gmt":"2025-12-28T18:23:10","slug":"modeles-projectifs-ke-et-kh-3-longueur-distance-et-angles","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=4115","title":{"rendered":"Mod\u00e8les projectifs KE et KH – 3 – Longueur, distance et angles"},"content":{"rendered":"\n

Nous poursuivons l’illustration du travail tr\u00e8s approfondi de Daniel Perrin sur les mod\u00e8les que nous avons appel\u00e9 KE<\/strong> (elliptique) et KH<\/strong> (hyperbolique, plongement projectif de KB<\/strong>) pr\u00e9sent\u00e9s dans cette page d’introduction<\/a>.<\/a> La r\u00e9f\u00e9rence est toujours le PDF DPPartie4<\/a> de ce livre de Daniel Perrin<\/a>, en cours de publication. Les num\u00e9ros des pages mentionn\u00e9es sont celles de ce fichier.<\/p>\n\n\n\n

Cette page n’aborde que quelques uns des nombreux points d\u00e9velopp\u00e9s dans les chapitres 4 et 5. Le chapitre 4 traite des invariants projectifs associ\u00e9s \u00e0 une forme quadratique dans le cadre g\u00e9n\u00e9ral d’un corps quelconque, et le chapitre 5 pr\u00e9cise les sp\u00e9cificit\u00e9s de cette question sur le corps des r\u00e9els.<\/p>\n\n\n\n

On rappelle que, dans KH<\/strong>,
\u2022 Les points du cercle unit\u00e9 sont les points isotropes pour la forme quadratique associ\u00e9e.
\u2022 Les droites euclidiennes tangentes au cercle unit\u00e9 (droites isotropes) ne sont pas des droites de KH<\/strong>, et donc, par deux points appartenant \u00e0 cette droite, on n’a pas l’axiome d’incidence de base de la g\u00e9om\u00e9trie.
\u2022 L\u2019int\u00e9rieur du cercle unit\u00e9 est le mod\u00e8le de g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique de Klein-Beltrami (not\u00e9 KB<\/strong> dans ce site).<\/p>\n\n\n\n

L’invariant \u00ab\u00a0longueur\u00a0\u00bb I(x,y)<\/h2>\n\n\n\n
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Si l\u2019on y r\u00e9fl\u00e9chit bien, la d\u00e9finition de la longueur est toujours tributaire de l\u2019action d\u2019un groupe. En effet, quand dit-on que deux b\u00e2tons ont m\u00eame longueur ? Simplement lorsque, d\u00e9pla\u00e7ant l\u2019un pour amener l\u2019une de ses extr\u00e9mit\u00e9s sur une extr\u00e9mit\u00e9 de l\u2019autre, on peut aussi faire co\u00efncider les deux autres ext\u00e9mit\u00e9s. Qu\u2019on appelle d\u00e9placement, mouvement, superposition … l\u2019action ainsi effectu\u00e9e, il s\u2019agit toujours finalement de faire agir un groupe sur un ensemble et d\u2019\u00e9tudier sa double transitivit\u00e9. C\u2019est ce que nous faisons dans le cas des g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes. Le tout est de trouver un invariant convenable.Il y a bien entendu les invariants vectoriels, \\(q(a), q(b), \\varphi(a,b)\\) […]. Il s\u2019agit de les transformer en invariants projectifs et on sait bien qu\u2019il suffit pour cela de faire des rapports.<\/p>\nDaniel Perrin – Partie 4 – Chapitre 4 p age 143<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Pour deux points \\(a\\) et \\(b\\) non isotropes, on d\u00e9finit \\(\\displaystyle I(a,b) = \\frac{\\varphi(a,b)^2}{q(a)q(b)}\\).<\/p>\n\n\n\n

Premi\u00e8res propri\u00e9t\u00e9s et premi\u00e8re figure<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\u2022 Tout d’abord \\(I(M,N)\\) est nul ssi \\(M\\) et \\(N\\) sont orthogonaux.
\u2022 Un cas particulier important est celui o\u00f9 \\(I(A,B)=1\\), ce qui correspond \u00e0 une distance nulle. Pour deux points \\(A\\) et \\(B\\) non isotropes,\\(I(A,B)=1\\) si les deux points sont confondus, ou si la droite \\((AB)\\) est tangente au cercle unit\u00e9.
\u2022 Pour deux points \\(A\\) et \\(B\\) non isotropes, tels que la droite \\((AB)\\) soit non isotrope, un point \\(M\\) de \\((AB)\\) v\u00e9rifie ,\\(I(M,A)=I(M,B)\\) ssi<\/em> \\(M\\) est milieu de \\(A\\) et \\(B\\).<\/p>\n\n\n\n

Valeurs num\u00e9riques de l’invariant<\/em> (page 176)
\u2022 Pour KE<\/strong>, l’invariant de deux points \\(M\\) et \\(N\\) v\u00e9rifie \\(0 \u2264 I(M,N) < 1\\).
\u2022 Pour KH<\/strong>, si les deux points \\(M\\) et \\(M\\) sont
– int\u00e9rieurs au cercle unit\u00e9, \\(I(M,N) > 1\\)
– ext\u00e9rieurs au cercle unit\u00e9 et \\((MN)\\) non s\u00e9cante au cercle unit\u00e9 \\(0 \u2264 I(M,N) < 1\\)
– ext\u00e9rieurs au cercle unit\u00e9 et \\((MN)\\) s\u00e9cante au cercle unit\u00e9 \\(I(M,N) > 1\\)
– l’un int\u00e9rieur et l’autre ext\u00e9rieur au cercle unit\u00e9 \\(I(M,N) < 0\\)<\/p>\n\n\n\n

Nous allons illustrer ces propri\u00e9t\u00e9s dans la figure dynamique suivante. Cette figure contient une droite \\((AB)\\), ses KE<\/strong> et KH<\/strong> p\u00f4les par rapport au cercle unit\u00e9 et les KE<\/strong> et KH<\/strong> milieux de ces deux points. Il y a aussi une tangente au cercle unit\u00e9 pour tester la propri\u00e9t\u00e9 des droites isotropes et le point de contact avec le cercle (seul point isotrope de la figure). On dispose ensuite de trois points \\(M, N, P\\), et des KE<\/strong> et KH<\/strong> invariants \\(I(M,N)\\), \\(I(M,P)\\) et \\(I(P,N)\\).<\/p>\n\n\n\n

Ces trois points \\(M, N, P\\) sont aimant\u00e9s par les deux droites (\u00e0 20 pixels) et par tous points de la figure (\u00e0 5 pixels) pour illustrer les premi\u00e8res propri\u00e9t\u00e9s mentionn\u00e9es<\/p>\n\n\n