{"id":3943,"date":"2022-05-16T21:31:56","date_gmt":"2022-05-16T17:31:56","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=3943"},"modified":"2025-12-31T13:08:58","modified_gmt":"2025-12-31T09:08:58","slug":"aspects-techniques-des-constructions-du-plan-de-moulton","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=3943","title":{"rendered":"Aspects techniques des constructions du plan de Moulton"},"content":{"rendered":"\n

Cet article est peut-\u00eatre plus une m\u00e9moire personnelle des m\u00e9thodes utilis\u00e9es – pour \u00e9ventuellement en am\u00e9liorer certaines – qu’un v\u00e9ritable article de blog. Mais ces m\u00e9thodes peuvent int\u00e9resser quelques personnes. C’est aussi l’occasion de pr\u00e9senter certaines sp\u00e9cificit\u00e9s et\/ou fonctionnements internes du logiciel. En terme de m\u00e9moire d\u00e9pos\u00e9e dans le cloud, il s’agit surtout de la construction des perpendiculaires (derni\u00e8re section) … qui pourrait peut-\u00eatre \u00eatre retravaill\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n

M-Segment<\/h2>\n\n\n\n

Le M<\/strong>-segment \\([AB]\\) a bien entendu pour extr\u00e9mit\u00e9s \\(A\\) et \\(B\\). Mais si les abscisses de \\(A\\) et \\(B\\) sont de signes contraires et si la pente de la droite euclidienne est n\u00e9gative, le M<\/strong>-segment n\u2019est plus euclidien, il passe doit passer par le point interm\u00e9diaire \\(o_{AB}\\). On aurait pu construire le M<\/strong>-segment comme r\u00e9union de deux segments euclidiens. Comme il existe dans DGPad la notion de liste de segments, on a choisi ce type pour le M<\/strong>-segment. Il faut d\u00e9finir un autre point interm\u00e9diaire dans le cas d\u2019un segment euclidien, on a choisi tout simplement le milieu euclidien du segment dans ce cas.
Finalement, on peut simplifier un peu en choisissant comme point interm\u00e9diaire \\(o_{AB}\\) si \\(A\\) et \\(B\\) sont de signe contraire (m\u00eame si la pente est positive) et le milieu des deux points sinon : cela \u00e9vite de rajouter des tests inutiles. Cela fonctionne aussi m\u00eame si le segment est vertical dans le rep\u00e8re de base, car la construction du point \\(o_{AB}\\) a d\u00e9j\u00e0 trait\u00e9 cette situation<\/a>. Le M<\/strong>-segment est donc une liste de trois points, dans le format \u00abliste de de segments\u00bb, ce qui donne :<\/p>\n\n\n

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Intersection de deux M-droites<\/h2>\n\n\n
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On note \\(I_{1ab}\\) l\u2019intersection des demi droites d\u2019abscisses n\u00e9gatives et \\(I_{2ab}\\) celle des demi-droites d\u2019abscisses positives. <\/p>\n\n\n\n

Puis on appelle \\(I_{ab}\\) l\u2019intersection effective des deux M<\/strong>-droites. C’est celui de ces deux points qui existe r\u00e9ellement, son existence \u00e9tant trait\u00e9e par gestion d\u2019erreur JavaScript : <\/p>\n\n\n\n

si \\(I_{1ab}\\) n\u2019existe pas, c\u2019est \\(I_{2ab}\\) sinon c\u2019est \\(I_{1ab}\\).<\/p>\n\n\n\n

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Le milieu de deux points A et B<\/h2>\n\n\n\n

Si les abscisses des points \\(A\\) et \\(B\\) ont m\u00eame signe alors le M<\/strong>-milieu est le milieu euclidien standard \\(\\displaystyle \\frac{A+B}{2}\\)
sinon
\u2022 si l\u2019origine \\(o_{AB}\\) est plus pr\u00e8s de \\(B\\) que de \\(A\\) , le M<\/strong>-milieu est \\(o_{AB}+(B-o_{AB})\\displaystyle \\frac{d(B,o_{AB}-d(A,o_{AB}}{2d(B,o_{AB}}\\).
\u2022 sinon (si \\(o_{AB}\\) est plus pr\u00e8s de \\(A\\) que de \\(B\\)), le M<\/strong>-milieu est \\(o_{AB}+(A-o_{AB})\\displaystyle \\frac{d(A,o_{AB}-d(B,o_{AB}}{2d(A,o_{AB}}\\)
ce qui s\u2019\u00e9crit tout simplement, en JavaScript :<\/p>\n\n\n

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Construction de la parall\u00e8le \u00e0 (AB)
ou [AB] passant par M<\/h2>\n\n\n
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La droite verticale passant par les points \\(M\\) et \\(M+i\\) coupe l\u2019une des deux demi-droites euclidiennes constitutives de la droite de Moulton, en \\(pM_n\\) (d\u2019abscisse n\u00e9gative) ou en \\(pM_p\\), d\u2019abscisse positive, points non visibles sur l\u2019illustration.
Le point d\u2019intersection dynamique \\(pM\\) de la droite verticale avec la droite \\((AB)\\) est construite classiquement \u00e0 partir du traitement d\u2019erreur de l\u2019inexistence d\u2019un de ces deux points : si \\(pM_n\\) n\u2019existe pas, c\u2019est \\(pM_p\\), sinon c\u2019est \\(pM_n\\).
Le point \\(pM\\) \u00e9tant construit, on en d\u00e9duit le point \\(M\\) par un calcul barycentrique affine usuel \\(N=A+M-p_M\\), et la droite cherch\u00e9e est la droite de Moulton \\((MN)\\).<\/p>\n\n\n\n

Comme le segment est construit autrement, la macro a pour objets initiaux les points \\(A\\) et \\(B\\). Cela signifie qu\u2019en interne, m\u00eame si elle existe d\u00e9j\u00e0, la macro reconstruit la droite de Moulton \\((AB)\\).<\/p>\n\n\n\n

Autre option possible non retenue<\/strong><\/p>\n\n\n\n

L\u2019option de fonction affine par morceaux pour repr\u00e9senter une droite de Moulton a \u00e9t\u00e9 test\u00e9e. La construction de la parall\u00e8le \u00e0 une droite est plus pertinente (pas de construction par gestion d\u2019erreur), mais on se heurte \u00e0 des probl\u00e8mes avec la transformation en macro-construction de l’intersection de deux droites. Voici une illustration dynamique de cette exploration.<\/p>\n\n\n