{"id":3900,"date":"2022-05-15T21:22:13","date_gmt":"2022-05-15T17:22:13","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=3900"},"modified":"2025-12-31T19:03:32","modified_gmt":"2025-12-31T15:03:32","slug":"realiser-des-figures-non-arguesiennes-dans-le-plan-de-moulton","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=3900","title":{"rendered":"R\u00e9aliser des figures non argu\u00e9siennes dans le plan de Moulton"},"content":{"rendered":"\n

Des deux mod\u00e8les, celui de Hilbert<\/a> et celui de Moulton<\/a>, il est bien plus simple de r\u00e9aliser des figures non argu\u00e9siennes dans le plan de Moulton. <\/p>\n\n\n\n

Pr\u00e9sentation des macros
du plan de Moulton<\/h2>\n\n\n
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On active les macros par la cinqui\u00e8me icone du tableau de bord. Rappel : pr\u00e9sentation de l’utilisation des macros<\/a>.
Pour le plan de Moulton, on dispose alors de 9 outils que l\u2018on d\u00e9couvre ci-contre.<\/p>\n\n\n\n

L\u2019intersection de deux M-droites<\/strong>
Le premier outil, est la seule macro qui demande comme objets les demi-droites. On montre les deux demi-droites d\u2019une premi\u00e8re M-droite, puis les deux de la seconde, dans le m\u00eame ordre : si on montre d\u2019abord la partie des abscisses positives de la premi\u00e8re droite, en troisi\u00e8me objet il faut montrer aussi la partie des abscisses positives de la seconde droite. L\u2019intersection est nomm\u00e9e par d\u00e9faut Iab<\/em><\/strong>. Il faut le renommer dans l\u2019inspecteur d\u2019objet (outil \u00abroue\u00bb). <\/p>\n\n\n\n

Lancer la figure de base contenant ces macros<\/a> (dans un nouvel onglet) pour tester les macros.<\/p>\n\n\n\n

M-droite, M-droite avec<\/strong> origine, M-segment et M-distance<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Ces quatre macros demandent seulement deux points en objets initiaux. Techniquement, les droites et les segments ne sont pas construits de la m\u00eame fa\u00e7on : une M<\/strong>-droite est la r\u00e9union de deux demi-droites depuis le point de l’axe des ordonn\u00e9es, alors qu’un M<\/strong>-segment est un objet \u00ab\u00a0liste de segments\u00a0\u00bb. La version avec origine<\/em> rend visible le point sur l’axe des ordonn\u00e9es. Cela peut servir pour simplifier certaines constructions ou visualiser des alignements. On peut s’amuser \u00e0 rendre une droite verticale pour voir o\u00f9 est le point d’origine oAB.<\/p>\n\n\n\n

Colorisation des droites et des segments <\/strong>: quand on change la couleur d\u2019un M<\/strong>-segment avec l\u2019inspecteur d\u2019objet, le changement n\u2019est pas imm\u00e9diat, il faut d\u00e9placer ensuite un point ou m\u00eame seulement la figure (dans les deux cas, en mode consultation). Les M<\/strong>-droites \u00e9tant compos\u00e9es de deux demi-droites, pour changer sa couleur, il faut changer la couleur de chacune de ses demi-droites. C\u2019est instantan\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

La macro M-distance<\/strong> donne la longueur du segment entre deux points. On a gard\u00e9 le terme de distance alors que ce n’est qu’une longueur. On peut facilement refaire cette figure (hors widget s’entend)<\/p>\n\n\n

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Cette macro renvoie une donn\u00e9e num\u00e9rique. Par construction, elle est toujours au m\u00eame endroit. Il faut donc la d\u00e9placer avant de prendre une nouvelle distance. Cela se fait naturellement, \u00e0 la souris ou au doigt, directement dans le mode macro. Les noms des expressions sont donn\u00e9s par d\u00e9faut, comme ci-contre (suffixe num\u00e9rique incr\u00e9ment\u00e9). Si on souhaite les modifier, il suffit de passer en mode Inspecteur d\u2019objet<\/em>, puis s\u00e9lectionner les expressions et changer leurs noms successivement comme ci-dessus.<\/p>\n\n\n\n

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La parall\u00e8le \u00e0 une droite ou un segment passant par un point<\/strong>
Comme une M<\/strong>-droite et un M<\/strong>-segment sont de nature interne diff\u00e9rente, pour que l\u2019on puisse prendre une parall\u00e8le indiff\u00e9remment d\u2019une droite ou d\u2019un segment, on a choisir de devoir montrer d\u2019abord deux points – de la droite ou du segment – puis le point par lequel doit passer la parall\u00e8le. Le r\u00e9sultat est une M<\/strong>-droite, compos\u00e9e de deux demi-droites euclidiennes. <\/p>\n\n\n\n

Remplissage Triangle – Remplissage Quadrilat\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n

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On montre simplement trois ou quatre points. Les M-quadrilat\u00e8res peuvent \u00eatre non convexes – d\u2019un point de vue affine – comme illustr\u00e9 ci-contre.
On voit aussi que le th\u00e9or\u00e8me de Varignon n\u2019est bien entendu pas vrai mais que l\u2019on pourrait chercher des cas particuliers de configurations o\u00f9 il pourrait \u00eatre v\u00e9rifi\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Lancer la figure de base contenant ces macros<\/a> pour faire vos premi\u00e8res figures<\/p>\n\n\n\n

Premi\u00e8res figures simples :
Pappus et Desargues<\/h2>\n\n\n\n

Exemple 1 – Configuration de Pappus<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Les points \\(A, B, C\\) sont sur une droite, les points \\(A_1, B_1, C_1\\) sur une autre droite. On nomme \\(M\\) l\u2019intersection des droites \\((AB_1)\\) et \\((BA_1)\\), puis \\(N\\) celle des droites \\((AC_1)\\) et \\((CA_1)\\), et \\(P\\) l\u2019intersection de \\((BC_1)\\) et \\((CB_1)\\). Alors, dans le cas affine, les trois points \\(M, N\\) et \\(P\\) sont align\u00e9s. <\/p>\n\n\n\n

C\u2019est la propri\u00e9t\u00e9 de Pappus qui aboutit \u00e0 la commutatvit\u00e9 du corps des coordonn\u00e9es (quand il existe bien entendu).<\/p>\n\n\n

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Dans le plan de Moulton, ce n\u2019est, en g\u00e9n\u00e9ral, pas le cas.
Ci-contre : cas de non alignement avec des droites \\((AB)\\) et \\((A_1B_1)\\) \u00e0 pentes n\u00e9gatives.<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9tail de construction<\/strong> :
\\(B\\) et \\(B_1\\) sont des points des droites \\((AC)\\) et \\((A_1C_1)\\) et donc n\u00e9cessairement pris sur une des demi-droites qui composent les droites de Moulton.<\/p>\n\n\n\n


Dans une figure plus aboutie, on pourrait, comme dans les figures du mod\u00e8le de Hilbert, utiliser une poign\u00e9e sur la droite euclidienne \\((AC)\\) pour guider un point \\(B\\) qui pourrait changer de demi-droite.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Exemple 2 – R\u00e9alisation de la configuration affine de Desargues<\/strong><\/p>\n\n\n

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\u00c9tape 1 <\/strong>: on construit un triangle \\(ABC\\) (macro M<\/strong>-Segment) avec deux segments sp\u00e9cifiquement moultoniens.
\u00c9tape 2<\/strong> : par un point \\(M\\) on prend les parall\u00e8les \u00e0 \\([AB]\\) et \\([AC]\\). Prenant un point \\(N\\) sur la parall\u00e8le \u00e0 \\([AC]\\) en le choisissant d\u2019abscisse positive, on termine par la parall\u00e8le \u00e0 \\([BC]\\) passant par \\(N\\).
\u00c9tape 3<\/strong> : on prend alors l\u2019intersection des deux parall\u00e8les. Bien entendu, m\u00eame si la droite est \u00e0 pente positive il faut montrer ses deux demi-droites. Cette macro produit le point d\u2019intersection Iab<\/em><\/strong> que l\u2019on renomme en \\(P\\).
\u00c9tape 4<\/strong> : on termine la figure en tra\u00e7ant les trois M-droites \\((AM), (BN)\\) et \\((CP)\\). On illustre, ci-dessous \u00e0 gauche, qu\u2019en g\u00e9n\u00e9ral ces trois droites ne sont pas concourantes : la configuration de Desargues n\u2019est pas v\u00e9rifi\u00e9e, mais qu’il existe aussi beaucoup de situation o\u00f9 la propri\u00e9t\u00e9 est v\u00e9rifi\u00e9es (\u00e0 droite) – quand les trois droites issues de \\(M\\) sont \u00e0 pentes n\u00e9gatives – comme cons\u00e9quence du cas affine usuel.<\/p>\n\n\n

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Dans ces deux figures, on a utilis\u00e9 les macros M<\/strong>-droite ou M<\/strong>-segments, intersection de deux M<\/strong>-droites, ainsi que la construction de la M<\/strong>-parall\u00e8le \u00e0 une droite. Nous allons maintenant utilis\u00e9 le M<\/strong>-milieu<\/p>\n\n\n\n

Constructions de figures
autour du concours des m\u00e9dianes<\/h2>\n\n\n\n

La macro M-Milieu<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Elle doit fonctionner dans tous les cas, ce qui n\u00e9cessite quelques pr\u00e9cautions. Elle est ainsi r\u00e9dig\u00e9e, avec un double test. Les calculs sont \u00e9l\u00e9mentaires, il suffit de faire un dessin.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Version 1 : construction g\u00e9om\u00e9trique exacte<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Tout d\u2019abord on peut l\u00e9g\u00e8rement modifier la situation euclidienne pour construire un M<\/strong>-triangle avec un c\u00f4t\u00e9 non euclidien et trois m\u00e9dianes euclidiennes classiques. On arrive alors facilement \u00e0 une construction g\u00e9om\u00e9trique exacte qui montre clairement qu\u2019un M<\/strong>-triangle peut avoir ses m\u00e9dianes concourantes. Voici une figure que l’on peut facilement reproduire.<\/p>\n\n\n