{"id":3773,"date":"2022-05-12T21:47:00","date_gmt":"2022-05-12T17:47:00","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=3773"},"modified":"2025-12-28T22:52:34","modified_gmt":"2025-12-28T18:52:34","slug":"modeles-projectifs-ke-et-kh-2-les-cercles","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=3773","title":{"rendered":"KE et KH &#8211; 2b &#8211; Les cercles \u00ab\u00a0paraboles\u00a0\u00bb"},"content":{"rendered":"\n<p>Dans cet article on fait un petit \u00e9cart sur les cercles de <strong>KE<\/strong> et <strong>KH<\/strong> en s&rsquo;int\u00e9ressant uniquement au cas o\u00f9 ils qui sont repr\u00e9sent\u00e9s par une parabole. <\/p>\n\n\n\n<p>On a d\u00e9j\u00e0 r\u00e9alis\u00e9 une construction alg\u00e9brique, donc tr\u00e8s efficace, de cette situation dans <a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=4590\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=4590\" target=\"_blank\">la page d&rsquo;introduction aux cercles<\/a>. Efficace pour un trac\u00e9 minimaliste mais moins pour l&rsquo;aimantation d&rsquo;un point<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1BhFzmCv81qs5QwXNjqeubofG3zq5kDDz\/view?usp=drive_link\" style=\"width:680px;height:460px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Rappel de la construction pr\u00e9c\u00e9dente<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Dans une premi\u00e8re partie, on se propose de reprendre le cas de la parabole d&rsquo;une mani\u00e8re uniquement g\u00e9om\u00e9trique. C&rsquo;est en particulier utile &#8211; et a d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9 dans l&rsquo;article pr\u00e9c\u00e9dent sur les cercles &#8211;  pour le cas o\u00f9 on a besoin d&rsquo;une aimantation sur cette parabole qui va \u00eatre construite par un lieu.<\/p>\n\n\n\n<p>Puis, dans une seconde partie, on s&rsquo;int\u00e9resse aux triangles dont le cercle circonscrit est repr\u00e9sent\u00e9 par une parabole.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Approche g\u00e9om\u00e9trique <br>du \u00ab\u00a0cercle-parabole\u00a0\u00bb<\/h2>\n\n\n\n<p><strong>Un premier cas particulier &#8211; obtenu par construction affine<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>C&rsquo;est le cas le plus simple : dans <strong>KH<\/strong>, avec la conique tangente au cercle unit\u00e9 quand \\(O\\) est ext\u00e9rieur au cercle unit\u00e9. On a donc deux points de contact de la conique (ci-dessous \\(U_1\\) et \\(U_2\\)) avec ses tangentes en \\(O\\). On a donc 4 contraintes affines &#8211; sur 5 pour d\u00e9terminer la conique. Si donc on se donne une contrainte suppl\u00e9mentaire &#8211; par exemple \u00ab\u00a0passe par \\(A\\)\u00a0\u00bb &#8211; la conique cherch\u00e9e est enti\u00e8rement d\u00e9termin\u00e9e. Or on sait que si la contrainte est que ce point \\(A\\) est le milieu de \\([IO]\\) alors la conique est une parabole.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><strong>Rappel de la construction affine de la parabole<\/strong> passant par les deux points de contact \\(U_1\\) et \\(U_2\\) et ses tangentes s\u00e9cantes en \\(O\\). On construit \\(S\\) milieu de \\(I\\) et \\(O\\). Alors \\(S\\) est un point de la parabole, et on it\u00e8re le proc\u00e9d\u00e9 : la tangente en \\(S\\) est la parall\u00e8le \u00e0 \\((U_1U_2)\\). Elle coupe les tangentes pr\u00e9c\u00e9dentes en \\(T_1\\) et \\(T_2\\). Soient \\(I_1\\) et \\(I_2\\) les milieux de \\([SU_1]\\) et \\([SU_2]\\), puis \\(V_1\\) et \\(V_2\\) les milieux de \\([I_1T_1]\\) et \\([I_2T_2]\\). Alors, la conique passant par \\(U_1,\\; V_2,\\, S,\\, V_1\\) , et \\(U_2\\)  est une parabole &#8211; ici de plus de sommet \\(S\\).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"726\" height=\"454\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KH-Parabole-bitangente.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3791\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KH-Parabole-bitangente.jpg 726w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KH-Parabole-bitangente-300x188.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 726px) 100vw, 726px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Construction du cercle &#8211;<\/em>\u00ab\u00a0<em>parabole\u00a0\u00bb bitangente au cercle unit\u00e9, donc de <strong>KH<\/strong>. <br>En pratique c&rsquo;est le cercle passant par  \\(S\\), le milieu de \\(I\\) et \\(O\\) .<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>On a compris aussi que, comme c&rsquo;est \u00ab\u00a0encore\u00a0\u00bb une conique, ce n&rsquo;est pas vraiment cela que l&rsquo;on cherche.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Un second cas, commun \u00e0 KE et KH, issu d&rsquo;une construction projective<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"475\" height=\"463\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/CercleParaboleKEKH.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3797\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/CercleParaboleKEKH.jpg 475w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/CercleParaboleKEKH-300x292.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 475px) 100vw, 475px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>On place le point \\(O\\), centre du cercle cherch\u00e9, \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur du cercle unit\u00e9. On nomme \\(I\\) l&rsquo;inverse de \\(O\\) par rapport au cercle unit\u00e9. On consid\u00e8re alors les milieux \\(I_{kh}\\) et \\(J_{kh}\\), de <strong>KH<\/strong>, de \\(O\\)  et \\(O_{cu}\\)  le centre du cercle unit\u00e9. Ces milieux existent car les deux points sont <em>tous les deux<\/em> \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur du cercle unit\u00e9. Puis on construit les milieux \\(I_{ke}\\) et \\(J_{ke}\\), de <strong>KE<\/strong>, des deux m\u00eames points \\(O\\) et \\(O_{cu}\\). Ces deux points, eux, existent toujours, que \\(O\\) soit int\u00e9rieur ou non au cercle unit\u00e9. On construit ensuite les perpendiculaires euclidiennes passant par  \\(I_{kh}\\) et \\(I_{ke}\\) \u00e0 \\((OO_{cu})\\)car elles sont aussi des perpendiculaires pour <strong>KE<\/strong> et <strong>KH<\/strong> puisque passant par le centre du cercle unit\u00e9. Ces deux droites sont donc m\u00e9diatrices dans <strong>KH<\/strong> et <strong>KE<\/strong> du centre \\(O\\) du cercle cherch\u00e9 et du cercle de centre \\(O_{cu}\\) passant par \\(I\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Le lieu du sym\u00e9trique d&rsquo;un point \\(M\\) sur ce cercle par rapport aux m\u00e9diatrices pr\u00e9c\u00e9dentes de <strong>KE<\/strong> et <strong>KH<\/strong> &#8211; les points  \\(sM_{kh}\\) et \\(sM_{ke}\\) dans l&rsquo;illustration pr\u00e9c\u00e9dente, sont dans chaque g\u00e9om\u00e9trie, l&rsquo;unique cercle de centre \\(O\\) repr\u00e9sent\u00e9 par une parabole.<\/p>\n\n\n\n<p><em>Pourquoi cette conique est-elle une parabole ?<\/em> <br>Le sym\u00e9trique par rapport \u00e0 la m\u00e9diatrice (verte dans l&rsquo;illustration ci-dessous) du cercle de centre \\(O_{cu}\\) passant par \\(I\\) est un  cercle (dans l&rsquo;illustration un <strong>KE<\/strong>-cercle) de centre l&rsquo;image de \\(O_{cu}\\), le point \\(O\\), de sommet &#8211; sur l&rsquo;axe \\((OO_{cu})\\) &#8211; l&rsquo;image du point \\(I\\) et de second sommet l&rsquo;image de \\(J\\). Or \\(J\\) est le milieu euclidien des deux <strong>KE<\/strong>-milieux \\(I_{ke}\\) et \\(J_{ke}\\) et donc  l&rsquo;image de ce point est \u00e0 l&rsquo;infini (on rappelle que l&rsquo;image de \\(M\\), le point \\(sM_{ke}\\) est, par construction  le 4\u00b0 point de la division harmonique \\(J_{ke}\\), \\(M_p\\) et \\(M\\), le milieu \u00e9tant alors renvoy\u00e9 \u00e0 l&rsquo;infini). Autrement dit le second sommet de cette conique est \u00e0 l&rsquo;infini, ce qui signifie que la conique est une parabole (tangente \u00e0 la droite de l&rsquo;infini).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"688\" height=\"332\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/ExplikParabole.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3811\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/ExplikParabole.jpg 688w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/ExplikParabole-300x145.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 688px) 100vw, 688px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Pour le r\u00e9gionnement du plan vis \u00e0 vis du type de conique obtenue pour le cercle de centre \\(O\\) passant par \\(A\\), on peut ajouter la parabole construite de mani\u00e8re affine dans cette figure pour avoir aussi une parabole dans <strong>KH<\/strong> pour \\(O\\) ext\u00e9rieur au cercle unit\u00e9.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1hR4ubaHxYxq9H8XTV3ApmuDjyJhxJhYt\/view?usp=drive_link\" style=\"width:700px;height:550px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Tester les cas, dans chaque g\u00e9om\u00e9trie, le cas \\(O\\) dans ou \u00e0 l&rsquo;ext\u00e9rieur du cercle unit\u00e9<br><strong>Rappel<\/strong> : on peut d\u00e9placer aussi le centre du cercle unit\u00e9 et le rayon du cercle unit\u00e9, en tirant dessus.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer<a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1MZX0wmne8uQ4kYIRh3RGAp5a67dR9txI\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/KEKH\/CerclesKEKH_Paraboles.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\"> lancer la figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<p>On retrouve, dans ces constructions, que les <strong>KE<\/strong> et <strong>KH<\/strong> cercles-parabole sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 la m\u00e9diatrice de leur centre \\(O\\) et du centre du cercle unit\u00e9 \\(O_{cu}\\).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"992\" height=\"568\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKHCercleParaboleSym.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3814\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKHCercleParaboleSym.jpg 992w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKHCercleParaboleSym-300x172.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKHCercleParaboleSym-768x440.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 992px) 100vw, 992px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Et c&rsquo;est en particulier cette construction &#8211; par deux lieux &#8211; que l&rsquo;on retient pour les aimantations. On a donc, \u00e0 notre disposition, deux macros, dans <strong>KE<\/strong> et dans <strong>KH<\/strong>, pour une parabole alg\u00e9brique &#8211; avec peu d&rsquo;objets, et une autre par lieu, un peu plus longue.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Construction d&rsquo;un triangle ayant une parabole<br>comme KE-cercle circonscrit<\/h2>\n\n\n\n<p>Ce qui est propos\u00e9 dans la suite de l&rsquo;article est une exploration dynamique empirique &#8211; correcte certes, et partiellement argument\u00e9e, mais certaines constructions <em> sont bas\u00e9es sur des conjectures<\/em> qui n\u00e9cessitent une preuve math\u00e9matique.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Lieu des centres O des KE-cercles passant par A<\/strong> <strong>repr\u00e9sent\u00e9s par une parabole<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p> On inverse le questionnement pr\u00e9c\u00e9dent : \u00e9tant donn\u00e9 un point \\(A\\), quel est le lieu des centres \\(O\\) des cercles passant par \\(A\\) qui est repr\u00e9sent\u00e9 par une parabole ?<\/p>\n\n\n\n<p>On se donne un point \\(A\\) du plan. On conjecture que le lieu cherch\u00e9 est une conique. Comme c&rsquo;est clairement un lieu born\u00e9, on cherche une ellipse, plus pr\u00e9cis\u00e9ment une ellipse de centre \\(A\\). Explorons cela dans la figure suivante.<\/p>\n\n\n\n<p>La <strong>KE<\/strong>-m\u00e9diatrice \u00ab\u00a0affinement int\u00e9rieure\u00a0\u00bb de \\(A\\) et du centre  \\(O_{cu} \\)coupe le cercle unit\u00e9 en 2 points \\(E_1\\) et \\(E_2\\). Ces deux points appartiennent \u00e0 l&rsquo;ellipse cherch\u00e9e (voir manipulation propos\u00e9e ci-dessous, ce serait le principal r\u00e9sultat \u00e0 montrer, le reste en d\u00e9coulant). Comme la conique est centr\u00e9e en \\(A\\), elle passe aussi par leurs sym\u00e9triques euclidiens \\(sE_1\\) et \\(sE_2\\). On a donc 4 points de l&rsquo;ellipse. Reste un cinqui\u00e8me point \u00e0 pr\u00e9ciser. En pratique on en a deux autres car la m\u00e9diatrice est aussi <strong>KE<\/strong>-axe de sym\u00e9trie de la conique, donc on peut prendre les <strong>KE<\/strong>-sym\u00e9triques ce sont les points \\(s_sE_1e\\) et \\(s_sE_2e\\). On a six points, la conique passant par 5 de ces points passe par le sixi\u00e8me point.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1trdoPFka9F3hlX_eKem0pm5-Td4NXbfa\/view?usp=drive_linkp\" style=\"width:750px;height:550px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em><strong>Manipulations propos\u00e9es<\/strong> : <br>\u2022 On a construit l&rsquo;unique <strong>KE<\/strong>-cercle \u00ab\u00a0parabole\u00a0\u00bb (en orange) de centre \\(U\\) appartenant au cercle unit\u00e9. D\u00e9placer \\(U\\) pour voir que les deux intersections de la m\u00e9diatrice et du cercle unit\u00e9 sont les seule points du cercle pour lesquels la parabole passe par \\(A\\). En fait c&rsquo;est le principal r\u00e9sultat \u00e0 d\u00e9montrer,: pourquoi le cercle de cente \\(E_2\\) passant par \\(A\\) est-il repr\u00e9sent\u00e9 par une parabole ?. A ce stade, il manque une caract\u00e9risation sur les \u00ab\u00a0cercles parabole\u00a0\u00bb.<br>\u2022 \\(O\\) est un point de l&rsquo;ellipse, on construit le <strong>KE<\/strong>-cercle \u00ab\u00a0parabole (vert clair) avec la macro usuelle &#8211; donc ind\u00e9pendant du point \\(A\\). On v\u00e9rifie que le cercle-parabole passe bien par \\(A\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1TJlfi2nUwe4hLq4mKN3gh5bzQasnqYPK\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/KEKH\/LieuCentre_KEcercle_Parabole.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure <\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em>Dans cette figure &#8211; celle ouverte \u00ab\u00a0dans un nouvel onglet \u00ab\u00a0&#8211; le lecteur qui a l&rsquo;habitude d&rsquo;utiliser les macros peut prendre la macro <strong>KE SymO CU M Drt<\/strong> du dossier <strong>KE<\/strong>, pour construire le <strong>KE<\/strong>-sym\u00e9trique de \\(O\\) par rapport \u00e0 la m\u00e9diatrice, et v\u00e9rifier visuellement que cette droite est axe de sym\u00e9trie de la conique.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Construction d&rsquo;un triangle ayant un KE-cercle circonscrit \u00ab\u00a0parabole\u00a0\u00bb<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Cette figure \u00e9tant r\u00e9alis\u00e9e, la construction d&rsquo;un triangle dont le <strong>KE<\/strong>-cercle circonscrit est repr\u00e9sent\u00e9 par une parabole est imm\u00e9diat \u00e0 finaliser.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"874\" height=\"636\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KECercle_circ_parabole2.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3808\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KECercle_circ_parabole2.jpg 874w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KECercle_circ_parabole2-300x218.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KECercle_circ_parabole2-768x559.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 874px) 100vw, 874px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>La figure est trop grande pour \u00eatre ouverte dans cette page. <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/14sP2dONBv__MR0AyTZTtsCZEFOjDnjin\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/KEKH\/KECercle_circ_parabole.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Ouvrir la figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<p><em><strong>Manipulation propos\u00e9e<\/strong> : d\u00e9placer \\(A\\), puis \\(B\\) ou les points \\(C_1\\) et \\(C_2\\) sur les deux paraboles.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em><strong>Rappel<\/strong> : dans <strong>KE<\/strong> et <strong>KH<\/strong> un triangle admet 4 centres de cercles circonscrits qui sont les p\u00f4les des quatre droites des milieux, il y aurait donc mati\u00e8re \u00e0 poursuivre cette exploration en ce sens.<\/em> Nous en dirons un mot \u00e0 la prochaine section.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">KE et KH cercles circonscrits sous forme de paraboles<\/h2>\n\n\n\n<p>Comme les <strong>KE<\/strong> et <strong>KH<\/strong> cercles-parabole sont sym\u00e9triques (dans une sym\u00e9trie euclidienne), on peut en d\u00e9duire la construction de triangles de <strong>KH<\/strong> qui admettent, \u00e0 leur tour, un <strong>KH<\/strong> cercle circonscrit sous forme de parabole. C&rsquo;est ce que l&rsquo;on se propose d&rsquo;explorer dans cette section.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Cas o\u00f9 le centre du cercle circonscrit est int\u00e9rieur au cercle unit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"790\" height=\"743\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas11.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3815\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas11.jpg 790w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas11-300x282.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas11-768x722.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 790px) 100vw, 790px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Depuis le triangle \\(ABC_1\\) de la figure pr\u00e9c\u00e9dente, sur la parabole de centre \\(O_1\\) (on a enlev\u00e9 le \\(e\\) de \\(O_{1e}\\) car il est d\u00e9sormais commun \u00e0 <strong>KE<\/strong> et <strong>KH<\/strong>) on construit le triangle sym\u00e9trique, dans la sym\u00e9trie euclidienne d&rsquo;axe la m\u00e9diatrice euclidienne de \\([O_1O_{cu}]\\), c&rsquo;est le triangle \\(A_{1h}B_{1h}C_{1h}\\) et on compl\u00e8te par leurs <strong>KH<\/strong> sym\u00e9triques de centre \\(O_1\\) pour avoir les points permettant de construire la parabole sym\u00e9trique. On termine par les <strong>KH<\/strong> m\u00e9diatrices du triangle : elles sont bien concourantes en le centre du cercle-parabole \\(O_1\\). Autre illustration de la m\u00eame situation.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"1004\" height=\"532\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas12.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3816\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas12.jpg 1004w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas12-300x159.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas12-768x407.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 1004px) 100vw, 1004px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Dans la figure que l&rsquo;on peut ouvrir un peu plus loin, chacun peut placer aussi les deux triangles \\(ABC_1\\) et \\(ABC_2\\) dans le cercle unit\u00e9, comme ci-dessous. On a laiss\u00e9 la conique initiale \u00ab\u00a0lieu des centres\u00a0\u00bb des paraboles passant par \\(A\\).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"617\" height=\"775\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_cas1_intCU.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3828\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_cas1_intCU.jpg 617w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_cas1_intCU-239x300.jpg 239w\" sizes=\"(max-width: 617px) 100vw, 617px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Ci-dessus avec \\(ABC_1\\), ci-dessous avec \\(ABC_2\\) \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur du cercle unit\u00e9.<\/em><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"641\" height=\"698\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_cas2_intCU.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3829\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_cas2_intCU.jpg 641w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_cas2_intCU-276x300.jpg 276w\" sizes=\"(max-width: 641px) 100vw, 641px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em>La figure est manipulable un peu plus loin car il est pr\u00e9f\u00e9rable de rendre compte d&rsquo;une autre situation avant.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Cas o\u00f9 le centre des cercles-parabole est ext\u00e9rieur au cercle unit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>On poursuit par une situation identique \u00e0 la pr\u00e9c\u00e9dente, avec des notations adapt\u00e9es. La parabole du <strong>KH<\/strong>-cercle a encore \u00e9t\u00e9 construite \u00e0 partir des sym\u00e9triques euclidiens \\(A_{2h}, B_{2h}, C_{2h}\\) puis de leurs <strong>KH<\/strong>&#8211; sym\u00e9triques par rapport au point \\(O_{2e}\\) centre de la seconde parabole de la figure pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"840\" height=\"543\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas21.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3817\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas21.jpg 840w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas21-300x194.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas21-768x496.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 840px) 100vw, 840px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>On remarque tout de suite que l&rsquo;on a gard\u00e9 le nom \\(O_{2e}\\) et construit l&rsquo;intersection des <strong>KH<\/strong>-m\u00e9diatrices qui se coupent en \\(O_{2h}\\).  Dans cette illustration les deux centres \\(O_{2e}\\) et \\(O_{2h}\\) co\u00efncident.<\/p>\n\n\n\n<p>Mais cette situation n&rsquo;est pas g\u00e9n\u00e9rale. D\u00e9pla\u00e7ant les sommets \\(A\\) et \\(B\\) du triangle initial, on peut arriver, facilement, \u00e0 ce type de situations o\u00f9 les <strong>KH<\/strong>-m\u00e9diatrices du triangle \\(A_{2h}B_{2h}C_{2h}\\) sont bien concourantes, mais en un point \\(O_{2h}\\) diff\u00e9rent de \\(O_{2e}\\), le centre du <strong>KH<\/strong> cercle-parabole, qui a \u00e9t\u00e9 construit avec lui. De plus, pour le logiciel, les points \\(Ibc_{2h}\\), \\(O_{2h}\\) et \\(O_{2e}\\) sont align\u00e9s.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"673\" height=\"474\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas22.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3818\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas22.jpg 673w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCircParabole_Cas22-300x211.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 673px) 100vw, 673px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1HZcn_hARoQ4IvtUQv1qfhGE67N9Bdj0D\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/KEKH\/KEKH_CCirc_Paraboles.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la figure g\u00e9n\u00e9rale de cette section<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em>Remarque : dans les illustrations la m\u00e9diatrice passant par \\(Iab\\) change de couleur dans les deux g\u00e9om\u00e9tries mais ce n&rsquo;est pas le cas dans la figure.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Les illustrations propos\u00e9es dans la suite ne sont pas int\u00e9gr\u00e9es dans cette figure. Pour les lecteurs habitu\u00e9s au logiciel, on peut poursuivre soi-m\u00eame, toutes les macros sont disponibles.<\/p>\n\n\n\n<p>Cette  propri\u00e9t\u00e9 d&rsquo;alignement est une piste pour expliquer ce r\u00e9sultat : en pratique, on est sur un des trois autres centres de cercle circonscrit du triangle \\(A_{2h}B_{2h}C_{2h}\\) dont on a rappel\u00e9 l&rsquo;existence un peu plus haut, il y a \u00e9change des m\u00e9diatrices alors que l&rsquo;on a privil\u00e9gi\u00e9, dans notre construction le point \u00ab\u00a0affinement int\u00e9rieur\u00a0\u00bb \u00e0 deux points &#8230; ce qui induit non pas en erreur, mais \u00e0 tout le moins, une repr\u00e9sentation mentale orient\u00e9e &#8230; <\/p>\n\n\n\n<p>Dans l&rsquo;illustration suivante, on a ajout\u00e9 deux des quatre droites des milieux (en rose), celles dont les  p\u00f4les sont les deux centres des cercles circonscrits : Le point \\(O_{2h}\\) est le p\u00f4le de la droite passant par \\(Jac_{2h}, \\, Jbc_{2h}, \\, Jab_{2h}\\), la droite des milieux \u00ab\u00a0affinement ext\u00e9rieurs\u00a0\u00bb aux points concern\u00e9s. Et \\(O_{2e}\\) est le p\u00f4le de la droite passant par \\(Jac_{2h}, \\, Ibc_{2h}, \\, Iab_{2h}\\).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"634\" height=\"471\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCirc_Avec-DrtMilieux.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3821\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCirc_Avec-DrtMilieux.jpg 634w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/KEKH_CCirc_Avec-DrtMilieux-300x223.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 634px) 100vw, 634px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>On notera que si \\(O_{2h}\\) est bien le centre d&rsquo;un <strong>KH<\/strong>-cercle circonscrit \u00e0 \\(A_{2h}B_{2h}C_{2h}\\), ce cercle circonscrit n&rsquo;est plus repr\u00e9sent\u00e9 par une parabole, mais, par exemple comme ci-dessous, une ellipse (en vert).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"774\" height=\"608\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/Cas-CCirc-O2h-Ell.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3831\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/Cas-CCirc-O2h-Ell.jpg 774w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/Cas-CCirc-O2h-Ell-300x236.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/Cas-CCirc-O2h-Ell-768x603.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 774px) 100vw, 774px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Ci-dessus \\(O_{2h}\\) avec le centre \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur du triangle, ci-dessous \u00e0 l&rsquo;ext\u00e9rieur<\/em>.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"683\" height=\"633\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/Cas-CCirc-O2h-Ell-ext.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3833\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/Cas-CCirc-O2h-Ell-ext.jpg 683w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/Cas-CCirc-O2h-Ell-ext-300x278.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 683px) 100vw, 683px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Clairement, comme ce cercle circonscrit peut aussi \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9 par une hyperbole, il existe des triangles pour lesquels c&rsquo;est aussi une parabole. En attendant de chercher une construction qui permettrait d&rsquo;obtenir cette troisi\u00e8me parabole, on peut facilement la simuler &#8211; mais ce n&rsquo;est qu&rsquo;une simulation. Ci-dessous, on a construit le <strong>KH<\/strong>-cercle de centre \\(O_{2h}\\) qui est une parabole (en rouge), puis on modifie \\(B\\) ou \\(C_2\\) pour que cette parabole co\u00efncide avec le <strong>KH<\/strong>-cercle circonscrit au triangle \\(A_{2h}B_{2h}C_{2h}\\) (l&rsquo;ellipse verte ci-dessus).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"736\" height=\"679\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/Cas-CCirc-O2h-Parabole.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3834\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/Cas-CCirc-O2h-Parabole.jpg 736w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/Cas-CCirc-O2h-Parabole-300x277.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 736px) 100vw, 736px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Ce serait int\u00e9ressant de trouver une construction &#8211; par exemple de \\(C_2\\) &#8211; qui r\u00e9aliserait cette troisi\u00e8me parabole comme cercle circonscrit. Cela demande d&rsquo;en savoir plus sur des caract\u00e9ristiques de ces cercles-parabole.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Autres approches dynamiques<br>envisag\u00e9es pour la suite<\/h2>\n\n\n\n<p>Un des int\u00e9r\u00eats de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique est d&rsquo;aborder les configurations avec des approches tr\u00e8s vari\u00e9es selon la fa\u00e7on dont sont construites les figures. On l&rsquo;a d\u00e9j\u00e0 illustr\u00e9 dans plusieurs pages du menu <strong>Non Arg<\/strong>. Par exemple, dans de futurs articles, on envisage de construire des figures dont les param\u00e8tres importants de r\u00e9alisation seront le centre du cercle unit\u00e9 et son rayon.<\/p>\n\n\n\n<p>M\u00eame si la figure propos\u00e9e est un peu caricaturale, voici un exemple simple toujours sur ce th\u00e8me des <strong>KE<\/strong>-cercles-parabole. On cherche &#8211; sur un cas tr\u00e8s particulier, d&rsquo;o\u00f9 le c\u00f4t\u00e9 caricatural &#8211; un triangle dont les trois cercles exinscrits sont des paraboles. Dans la figure suivante, on peut afficher ou cacher des cercles d\u00e9j\u00e0 construits, puis modifier le point \\(A\\) et surtout le rayon du cercle unit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<p><em>Les informations sont donn\u00e9es dans la figure<\/em>. <em>On a vu dans <a href=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=3658\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=3658\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">l&rsquo;article sur les droites<\/a> que si une droite passe par le centre du cercles, les perpendiculaires euclidiennes sont aussi des perpendiculaires elliptiques, ce qui explique que la figure euclidienne est en grande partie aussi elliptique (dont m\u00eame centres de cercles exinscrits)<\/em><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1TjIBfqJNfNeDhkbBOciYzJtEZ5cft21x\/view?usp=drive_link\" style=\"width:750px;height:510px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1ziZnWVsogGk2loh8yHOnhsPfRyFZftcl\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/KEKH\/KEexinscrits_Parabole.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">lancer cette figure<\/a> (sans les restrictions de l&rsquo;iframe) dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p>Dans cette figure (du nouvel onglet), les lecteurs habitu\u00e9s au logiciel peuvent modifier le rayon du cercle \\(CU\\) pour avoir les cercles-parabole effectivement tangents.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\">\u2022 S\u00e9lectionner la fl\u00e8che de gauche (mode \u00ab\u00a0cr\u00e9ation\u00a0\u00bb), puis sur le  cercle, activer l&rsquo;icone \u00ab\u00a0calculatrice\u00a0\u00bb, on entre alors en mode expression.<br>\u2022 Dans la partie expression en haut de la page, rentrer alors la valeur <strong>d(Ocu,A)*sqrt(2)<\/strong>, comme explor\u00e9 dans la figure ci-dessus.<br>\u2022 ne pas oublier de valider avec le bouton vert<br>\u2022 On peut alors d\u00e9placer \\(A\\), le rayon du cercle unit\u00e9 s&rsquo;adapte pour que les cercles paraboles soient bien les cercles exinscrits.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=3658\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=3658\" target=\"_blank\">Les mod\u00e8les projectifs KE et KH &#8211; 1 &#8211; les droites<\/a> | <a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=4590\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=4590\" target=\"_blank\">KE KH 2a Les cercles<\/a> <br><a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=4115\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=4115\" target=\"_blank\">KE KH &#8211; 3 &#8211; Longueur, distance et angles<\/a> | <a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=4768\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=4768\" target=\"_blank\">KEKH &#8211; 4 &#8211; Spin d&rsquo;un triangle<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Dans cet article on fait un petit \u00e9cart sur les cercles de KE et KH en s&rsquo;int\u00e9ressant uniquement au cas o\u00f9 ils qui sont repr\u00e9sent\u00e9s par une parabole. On a d\u00e9j\u00e0 r\u00e9alis\u00e9 une construction alg\u00e9brique, donc tr\u00e8s efficace, de cette situation dans la page d&rsquo;introduction aux cercles. Efficace pour un [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[26,27,28],"tags":[],"jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_featured_media_url":"","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3773"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3773"}],"version-history":[{"count":58,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3773\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8475,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3773\/revisions\/8475"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3773"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3773"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3773"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}