{"id":3658,"date":"2022-05-03T19:46:32","date_gmt":"2022-05-03T15:46:32","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=3658"},"modified":"2025-12-29T18:40:09","modified_gmt":"2025-12-29T14:40:09","slug":"les-modeles-projectifs-ke-et-kh-1-les-droites","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=3658","title":{"rendered":"Les mod\u00e8les projectifs KE et KH – 1 – Les droites"},"content":{"rendered":"\n

Cet article est le premier d’une s\u00e9rie consacr\u00e9e \u00e0 une approche radicalement diff\u00e9rente des GNE<\/strong> que celle d\u00e9velopp\u00e9e dans les menus de ce site. Elle a l’int\u00e9r\u00eat de se centrer sur ce qui est commun \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie elliptique et \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, alors que nous avons, au contraire, montr\u00e9 dans les pages des menus, \u00e0 quel point elles sont diff\u00e9rentes. Clairement, pour voir des points communs il faut changer de point de vue, et m\u00eame de lunette. C’est ce que nous propose de faire Daniel Perrin avec le point de vue projectif et ses lunettes pr\u00e9f\u00e9r\u00e9es, les formes quadratiques. Que l’utilisation de la g\u00e9om\u00e9trie projective ne rebute pas les plus jeunes lecteurs qui ne l’ont probablement jamais rencontr\u00e9e dans leur formation initiale. Le point de vue est si riche qu’il m\u00e9rite vraiment qu’on s’y attarde.<\/p>\n\n\n\n

Daniel Perrin, regardant le plongement projectif du disque de Klein-Beltrami dans le plan entier, s’est int\u00e9ress\u00e9 \u00e0 faire la m\u00eame chose pour la g\u00e9om\u00e9trie elliptique (d’o\u00f9 le KE<\/strong> pour Klein-Elliptique) et il y a aussi int\u00e9gr\u00e9 le plongement de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique (d’o\u00f9 le KH<\/strong>). Il en avait fait un petit fascicule \u00e0 l’\u00e9poque, d’une quinzaine de pages. Puis il a approfondi … pour en faire un livre – une somme – en 6 parties et plus de 1300 pages !<\/p>\n\n\n\n

Argumentaires autour de ce choix<\/h2>\n\n\n\n

Commen\u00e7ons par quelques extraits g\u00e9n\u00e9raux de ses diverses introductions, \u00e0 diff\u00e9rents chapitres.<\/p>\n\n\n\n

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Mon opinion, en effet, est que cette notion de parall\u00e8le, contrairement \u00e0 ce que semblerait indiquer l\u2019histoire, n\u2019est pas fondamentale en g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne. Pour une fois, l\u2019histoire, \u00e0 mon avis, ne fait que masquer la v\u00e9ritable nature des choses. Nous verrons en revanche dans la Partie V, que m\u00eame avec l\u2019entr\u00e9e par la g\u00e9om\u00e9trie projective et les formes quadratiques que j\u2019ai choisie, la notion de parall\u00e9lisme est absolument fondamentale en g\u00e9om\u00e9trie euclidienne. C\u2019est sans doute cette importance des parall\u00e8les dans le cadre euclidien et la pr\u00e9gnance de ce cadre sur nos habitudes de pens\u00e9e qui expliquent qu\u2019aujourd\u2019hui encore, on mette en avant le probl\u00e8me des parall\u00e8les dans toute pr\u00e9sentation des g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes. J\u2019annonce tout de suite que cela ne sera pas ma position, pr\u00e9f\u00e9rant une entr\u00e9e par la g\u00e9om\u00e9trie projective et les formes quadratiques dont j\u2019esp\u00e8re que le lecteur pourra appr\u00e9cier la pertinence.<\/p>\nDaniel Perrin \u00ab\u00a0Partie 4 La g\u00e9om\u00e9trie d’une forme quadratique . Deuxi\u00e8me \u00e9pisode : les GNE.\u00a0\u00bb<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Dans la section suivante nous pr\u00e9sentons, de mani\u00e8re un peu minimale, l’argumentaire de Daniel Perrin tel qu’il est d\u00e9crit et \u00e9tudi\u00e9 en profondeur (comme d’habitude chez lui) dans la partie 4 consacr\u00e9e aux GNE<\/a> (PDF de 370 pages) de ce livre de 1395 pages<\/a>, a priori non encore \u00e9dit\u00e9, mais d\u00e9j\u00e0 disponible en PDF, en six parties, dont le titre provisoire est \u00ab\u00a0G\u00e9om\u00e9trie projective<\/strong> plane et applications aux g\u00e9om\u00e9tries euclidienne et non euclidiennes\u00a0\u00bb.<\/strong> Pour Daniel Perrin, les g\u00e9om\u00e9tries elliptique et hyperbolique ont finalement plus de points communs que l’on imagine. Voici une autre citation de la pr\u00e9sentation de cette partie 4 :<\/p>\n\n\n\n

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Dans cette partie, notre point de vue consiste \u00e0 traiter ensemble les g\u00e9om\u00e9tries elliptique et hyperbolique, sur un corps quelconque. En effet, nous pensons que leurs points communs sont beaucoup plus nombreux que leurs diff\u00e9rences et qu\u2019en revanche elles sont radicalement diff\u00e9rentes de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne. Dans notre approche, la raison qui motive cette opinion est que la forme quadratique qui d\u00e9finit la g\u00e9om\u00e9trie est non d\u00e9g\u00e9n\u00e9r\u00e9e dans les deux cas hyperbolique et elliptique, alors qu\u2019elle est d\u00e9g\u00e9n\u00e9r\u00e9e dans le cas euclidien. En particulier, dans les cas non euclidiens on b\u00e9n\u00e9ficie d\u2019une polarit\u00e9 (du moins si l\u2019on consent \u00e0 ne pas oublier les points ext\u00e9rieurs !) et l\u2019on verra qu\u2019on tient l\u00e0 un outil extraordinaire.<\/p>\nDaniel Perrin – Partie 4 p.13<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

On comprendra que cette s\u00e9rie d’articles sur KE<\/strong> et KH<\/strong> qui commence ici, est aussi un – bien modeste – \u00e9loge \u00e0 celui qui a si merveilleusement accompagn\u00e9 plusieurs g\u00e9n\u00e9rations d’\u00e9tudiants soit de visu, soit \u00e0 travers ses diff\u00e9rents ouvrages.<\/p>\n\n\n\n

Le point de vue de Klein<\/h2>\n\n\n\n

Pour Klein (1871), les g\u00e9om\u00e9tries usuelles – celles que nous \u00e9tudions ici – sont plong\u00e9es dans une \u00ab\u00a0g\u00e9om\u00e9trie m\u00e8re\u00a0\u00bb, le plan projectif \\(P^2(\\mathbb{R})\\). Elles se construisent – et sont diff\u00e9renti\u00e9es entre elles – par une structure suppl\u00e9mentaire, \u00e0 savoir par l’orthogonalit\u00e9 d\u00e9finie par une forme quadratique.<\/p>\n\n\n\n

Dans ce contexte, on sait que les g\u00e9om\u00e9tries elliptique et hyperbolique correspondent respectivement (en tout cas sur \\(\\mathbb{R}\\)) aux formes quadratiques \\(q(X,Y,T) = X^2+Y^2+T^2\\) et \\(q'(X,Y,T) = X^2+Y^2-T^2\\). On note \\(\\varphi\\) et \\(\\varphi’\\) les formes polaires associ\u00e9es. Dans ce contexte, on appelle encore hyperbolique<\/em> la g\u00e9om\u00e9trie du plan id\u00e9al associ\u00e9e \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie issue de \\(q’\\) dont on sait que la g\u00e9om\u00e9trie de l’int\u00e9rieur de la conique d\u00e9finie par \\(q’=0\\) est hyperbolique, c’est le mod\u00e8le KB<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Fixons alors \\(T=0\\), comme droite de l’infini, que l’on note \\(\\Delta\\) dans la suite. Nous sommes alors dans un plan affine, muni d’un point \\(O\\), p\u00f4le de la droite \\(\\Delta\\), de coordonn\u00e9es (projectives) \\(O=(0,0,1)\\) qui est orthogonal \u00e0 \\(\\Delta\\), \u00e0 la fois<\/strong><\/em> pour \\(q\\) et \\(q’\\). <\/p>\n\n\n\n

Dans le cas hyperbolique, l’orthogonalit\u00e9 pour \\(\\varphi’\\) est la conjugaison par rapport \u00e0 la conique \\(X^2+Y^2-T^2=0\\), soit, d’un point de vue affine, par rapport au cercle unit\u00e9 de Klein-Beltrami d’\u00e9quation \\(x^2+y^2=1\\).<\/p>\n\n\n\n

Rappel<\/em> : \\(\\varphi'(x,y) = \\displaystyle \\frac{1}{2} \\left( q'(x+y)-q'(x)-q'(y) \\right)\\) et par conjugaison, on entend \\(\\varphi'(x,y)=0\\).<\/p>\n\n\n\n

Or, l’orthogonalit\u00e9 pour \\(\\varphi\\) s’exprime facilement \u00e0 partir de celle de \\(\\varphi’\\). En effet, notons \\(\\sigma\\) la sym\u00e9trie centrale par rapport \u00e0 \\(O\\) : \\(\\sigma(x,y) = (-x,-y)\\) ou encore, d’un point de vue projectif \\(\\sigma(X, Y, T) = (-X, -Y, T)\\). On a alors \\(\\varphi(u, v) = -\\varphi'(u,\\sigma(v))=-\\varphi'(\\sigma(u),v)\\).<\/p>\n\n\n\n

Autrement dit, deux \u00e9l\u00e9ments sont orthogonaux pour \\(\\varphi\\), si le premier et le sym\u00e9trique du second par rapport \u00e0 \\(O\\) le sont pour \\(\\varphi’\\).<\/p>\n\n\n\n

On peut donc ainsi facilement construire les outils projectifs d’un plan elliptique de Klein (KE<\/strong>) depuis le plan id\u00e9al projectif (KH<\/strong>) du plan hyperbolique de Klein-Beltrami (KB).<\/strong> C’est ce que l’on se propose de faire dans cet article.<\/p>\n\n\n\n

Pr\u00e9-requis technique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans cet article, on suppose que le lecteur a d\u00e9j\u00e0 parcouru (un minimum) les menus DP<\/strong> et ELL<\/strong> qui pr\u00e9sentent les g\u00e9om\u00e9tries hyperbolique et elliptique dans des mod\u00e8les standards. Il serait utile d’avoir vu aussi la page sur le mod\u00e8le KB<\/a> dans le menu PS<\/strong>. On ne reviendra pas sur les r\u00e9sultats hyperboliques ou elliptiques d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sent\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

Par ailleurs, comme il va y avoir beaucoup de figures, elles seront surtout pr\u00e9sent\u00e9es \u00ab\u00a0\u00e0 ouvrir dans un nouvel onglet\u00a0\u00bb , en particulier car les figures sont assez grandes si on veut voir tous les points. Si le lecteur arrive sur cette page par un lien, sans jamais avoir navigu\u00e9 sur ce site, il conviendrait de regarder comment manipuler les figures (en particulier comprendre qu’il vaut mieux \u00eatre en mode consultation). Pour cela consulter le d\u00e9but de cette page<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Les points et les droites dans KE et KH<\/h2>\n\n\n\n

Les droites de KE<\/strong> sont les droites affines (projectives) usuelles, et les points tous les points du plan. D’une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, il n’y aura aucun probl\u00e8me de d\u00e9finition dans KE<\/strong>. Pour KH<\/strong>, la situation est moins simple puisque la forme quadratique associ\u00e9e admet des vecteurs isotropes. En pratique les points du plan KH<\/strong> sont les points du plan priv\u00e9 de ceux du cercle unit\u00e9 (car ce sont les points qui annulent la forme quadratique), et les droites sont toutes les droites sauf les tangentes au cercle unit\u00e9. Ce choix largement d\u00e9taill\u00e9 parmi d’autres possibilit\u00e9s, par Daniel Perrin, est principalement justifi\u00e9 par le fait que ces points et ces droites ne peuvent \u00eatre centre ou axe de sym\u00e9trie, et donc ne peuvent \u00eatre milieu (a priori, on y reviendra) ou axe de sym\u00e9trie. Par ailleurs la polaire d’un point de la conique est la tangente \u00e0 la conique en ce point, et, \u00e0 un moment donn\u00e9, il sera important que le p\u00f4le d’une droite ne soit pas incident \u00e0 cette droite. <\/p>\n\n\n\n

Il r\u00e9sulte de ce choix une situation bien particuli\u00e8re : l’axiome de base de toute g\u00e9om\u00e9trie n’est pas v\u00e9rifi\u00e9 : par deux points, il peut ne pas passer de droite. Il suffit de prendre deux points sur une tangente du cercle. Daniel Perrin commente cette situation en ces termes :<\/p>\n\n\n\n

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Attention, par rapport aux textes standards sur les g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes, ce livre pr\u00e9sente une singularit\u00e9. En effet, les points et les droites que nous d\u00e9finissons ici ne v\u00e9rifient pas toujours l\u2019axiome de base de la g\u00e9om\u00e9trie d\u2019Euclide : par deux points passe une droite et une seule. Il nous semble, en effet, qu\u2019il est pr\u00e9f\u00e9rable de renoncer \u00e0 cet axiome dans un premier temps, m\u00eame si le poids des traditions s\u2019y oppose. Cette g\u00e9n\u00e9ralisation ne concerne d\u2019ailleurs que le cas hyperbolique pour lequel elle revient \u00e0 ajouter aux points du disque de Klein les points ext\u00e9rieurs. Dans ce cas, on verra que le surcro\u00eet d\u2019efficacit\u00e9 obtenu en utilisant la polarit\u00e9 vaut bien quelques concessions. On verra tout au long des chapitres suivants qu\u2019on retrouve ais\u00e9ment les r\u00e9sultats usuels en sp\u00e9cialisant les r\u00e9sultats g\u00e9n\u00e9raux aux points et droites hyperboliques.<\/p>\nDaniel Perrin – Partie 4 – pages 22-23 qui pr\u00e9cise clairement les choix retenus<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Dans ce contexte, m\u00eame si on rappelle souvent ici que l’on est dans un contexte projectif, deux droites de KH<\/strong> peuvent ne pas \u00eatre s\u00e9cantes. Pour cela il suffit qu’elles se coupent en un point du cercle unit\u00e9. Dans ce cas Daniel Perrin parle de droites parall\u00e8les<\/em> (p. 25) ce qui est en phase avec propri\u00e9t\u00e9 hyperbolique dans KB<\/strong>, \u00ab\u00a0par un point de KB<\/strong>, il passe deux parall\u00e8les \u00e0 une droite de KB<\/strong> donn\u00e9e\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n\n

Plus loin, il propose des d\u00e9finitions g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9es pour r\u00e9int\u00e9grer ces points et ces droites dans certains cas particuliers. Pour ce qui est de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique, sauf \u00e0 vouloir l’illustrer sp\u00e9cifiquement, on ne rencontre jamais ces cas particuliers en manipulation directe. Pour ce premier article sur KEKH<\/strong>, on a choisi de ne pas impl\u00e9menter ces cas particuliers dans les macros. Par contre, on pourra, \u00e0 l’occasion illustrer quelques cas particuliers.<\/p>\n\n\n\n

Orthogonalit\u00e9 et sym\u00e9trie orthogonale<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

On se donne donc un cercle unit\u00e9, not\u00e9 \\(CU\\) dans les macros, de centre \\(O_{cu}\\). Pour rendre les figures plus facilement manipulables – pour voir plus facilement les points en jeu parfois trop \u00e9loign\u00e9s, on a choisit de prendre un cercle modifiable \u00e0 la souris, donc de rayon quelconque, ce qui n\u00e9cessite quelques adaptations de calculs, mais \u00e9l\u00e9mentaires. \u00c9tant donn\u00e9e une droite \\((AB)\\), on construit \\(P_{kh}\\) son p\u00f4le par rapport au cercle et \\(P_{ke}\\) le sym\u00e9trique de \\(P_{kh}\\) par rapport au centre du cercle. Ce point est le \u00ab\u00a0p\u00f4le elliptique\u00a0\u00bb de la droite par rapport au cercle de r\u00e9f\u00e9rence. Le point \\(P_{kh}\\) sera alors dit \u00ab\u00a0p\u00f4le hyperbolique\u00a0\u00bb s’il fallait pr\u00e9ciser. Cette compos\u00e9e de l’inversion et de la sym\u00e9trie centrale par rapport au centre rappelle l’antipodie elliptique que nous avons d\u00e9j\u00e0 utilis\u00e9 dans le mod\u00e8le usuel de Klein : c’est la m\u00eame transformation, mais elle s’applique \u00e0 d’autres objets.<\/p>\n\n\n

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\"\"
Orthogonalit\u00e9 et sym\u00e9trie orthogonale dans KE<\/strong> et KH<\/strong><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

Lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet (penser \u00e0 modifier le rayon du cercle en tirant sur le <\/em>cercle)<\/p>\n\n\n\n

Comme nous sommes dans une g\u00e9om\u00e9trie projective, toutes les perpendiculaires passent par le p\u00f4le correspondant. On construit ainsi les KH<\/strong> et KE<\/strong> perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\) issues de \\(M\\). Les sym\u00e9triques de \\(M\\) par rapport \u00e0 \\((AB)\\) sont les conjugu\u00e9s (le 4\u00b0 point de la division harmonique) de \\(M\\) par rapport aux p\u00f4les \\(P_{kx}\\) et aux pieds des perpendiculaires \\(H_{kx}\\). On construit ainsi les deux points \\(sM_{kh}\\) et \\(sM_{ke}\\).<\/p>\n\n\n\n

Si la droite coupe le cercle unit\u00e9, sa trace dans le cercle est une droite de KB<\/strong>, elle est alors la perpendiculaire commune \u00e0 … toutes (les traces dans KB<\/strong> de) ces KH<\/strong>-perpendiculaires qui sont concourantes en le p\u00f4le de cette perpendiculaire commune.<\/p>\n\n\n\n

Cas d’une droite passant par le centre du cercle<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Si une droite passe par le centre du cercle, son p\u00f4le est \u00e0 l’infini dans la direction orthogonale \u00e0 la droite. Il en r\u00e9sulte que les KE<\/strong> et KH<\/strong> perpendiculaires \u00e0 cette droite sont la droite euclidienne correspondante. Et donc une droite passant par le centre est \u00ab\u00a0conforme pour l’orthogonalit\u00e9\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u00e0 gauche : on trace la droite \\((AO_{cu})\\). Par un point \\(C\\) on construit sa perpendiculaire euclidienne. Cette droite est aussi la KE<\/strong> et KH<\/strong>-perpendiculaires \u00e0 la droite \\(<\/em>(AO_{cu})\\). Elle contient donc le point C. On poursuit la figure en tra\u00e7ant les autres KE<\/strong> et KE<\/strong>-hauteurs.
\u00e0 droite, le triangle \\(ABC\\) a deux sommets sur une droite passant par le centre. Les KE<\/strong> et KH<\/strong>-hauteurs issues de \\(C\\) sont toutes les deux la perpendiculaire euclidienne \u00e0 \\((AB)\\). <\/em><\/p>\n\n\n\n

Application imm\u00e9diate : orthocentre d’un triangle dans KE et KH<\/strong><\/p>\n\n\n