{"id":3580,"date":"2022-04-22T16:51:33","date_gmt":"2022-04-22T12:51:33","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=3580"},"modified":"2025-12-30T12:50:24","modified_gmt":"2025-12-30T08:50:24","slug":"realiser-des-figures-sur-la-psh","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=3580","title":{"rendered":"R\u00e9aliser des figures sur la PSH"},"content":{"rendered":"\n

Parmi la s\u00e9rie de pages proposant de r\u00e9aliser des figures hyperboliques dans un mod\u00e8le, celle-ci est peut-\u00eatre paradoxalement le meilleur rapport \u00ab\u00a0investissement\/satisfaction\u00a0\u00bb. Bien entendu, m\u00eame si les macros sont simples d’utilisation, faire des figures hyperboliques sur une surface 3D est un objectif non trivial, il faut donc rentrer dans la d\u00e9marche retenue. Par exemple, il faut travailler \u00e0 la fois dans KB<\/strong>, pour faire un figure pr\u00e9alable, et ensuite l’envoyer sur la PSH<\/strong>. C’est pourtant plus simple que sur la pseudosph\u00e8re usuelle (PS<\/strong>) car, sur la PSH<\/strong>, comme on ne peut pas faire de constructions intrins\u00e8ques, le retour des objets sur la surface est, d’une certaine fa\u00e7on, automatis\u00e9. Par ailleurs, les figures obtenues sont assez superbes … d’autant qu’on propose en fin d’article un petit challenge bien sympathique.<\/p>\n\n\n\n

Quelques pr\u00e9-requis<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Si on n’a jamais utilis\u00e9 les macro-constructions de DGPad, on consultera d’abord cette pr\u00e9sentation<\/a> et on fera, \u00e9ventuellement, quelques figures dans le mod\u00e8le KB<\/strong> (lien ci-apr\u00e8s) pour se familiariser dans un environnement non euclidien simple d\u2019acc\u00e8s. Si on a d\u00e9j\u00e0 pratiqu\u00e9 les macros, on peut n\u00e9anmoins \u00e9ventuellement relire les premi\u00e8res lignes de l’article de pr\u00e9sentation des macros de KB<\/a>. En effet, on va les reprendre en partie, et les enrichir, dans une organisation structur\u00e9es autrement.<\/p>\n\n\n\n

Enfin, si on tombe un peu par hasard sur cet article, il faut bien entendu avoir vu quelques figures du menu PSH<\/strong>, au moins la pr\u00e9sentation de la nappe<\/a> pour comprendre pourquoi il y aura la liste LesCoef<\/strong> et la fonction g<\/strong> \u00e0 passer en param\u00e8tre pour finaliser les figures sur la surface.<\/p>\n\n\n\n

On travaillera sur deux figures pr\u00e9construites, propos\u00e9es dans l’article, d’abord une pour les triangles et ensuite une pour les trilat\u00e8res … avec l\u00e0 encore, une petite surprise sur les trilat\u00e8res. On pourra bien entendu ajouter des points de base sur la pseudsoph\u00e8re hyperbolique. Voici une copie d’\u00e9cran de la figure de base pour les triangles pour situer le contexte.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

En particulier, on observera que l’on n’a pas trac\u00e9, a priori, les droites passant par les sommets du triangles, ni dans KB<\/strong> ni sur la PSH<\/strong>. Cela permet de choisir de tracer soit les droites soit les segments.<\/p>\n\n\n\n

La premi\u00e8re partie de cet article est dans la pr\u00e9sentation du choix retenu pour la construction des objets sur la PSH<\/strong>, et de la fa\u00e7on dont sont articul\u00e9es les macros pour y parvenir.<\/p>\n\n\n\n

Lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet pour explorer les macros au fur et \u00e0 mesure de la description.<\/p>\n\n\n\n

Constructions finale sur la PSH<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Il y a plusieurs fa\u00e7ons d’organiser le retour d’une figure de KB<\/strong> sur une surface pseudosph\u00e9rique. Par exemple, comme sur la pseudosph\u00e8re usuelle (PS<\/strong>) on peut construire intrins\u00e8quement les droites ou les cercles, les macros renverront seulement des coordonn\u00e9es ou des param\u00e8tres qui seront ensuite utilis\u00e9s par les macros intrins\u00e8ques. La m\u00e9thode n’\u00e9tant pas possible pour la PSH<\/strong>, on a retenu l’id\u00e9e de renvoyer syst\u00e9matiquement le lieu d’un point courant (on dit en g\u00e9om\u00e9trie dynamique \u00ab\u00a0point sur objet\u00a0\u00bb) de l’objet construit dans KB<\/strong>. Cette unique macro fonctionne donc aussi bien pour les segments, les droites et m\u00eame les cercles. Une autre macro fait quasiment la m\u00eame chose mais ne renvoie que le point en question (n\u00e9cessaire si on a un point d’intersection \u00e0 construire par exemple).<\/p>\n\n\n\n

La d\u00e9marche utilis\u00e9e est donc tr\u00e8s simple :
– On construit la figure que l’on veut, dans KB<\/strong>, \u00e0 partir des points images \\(A_{kb},B_{kb},C_{kb}\\).
– Sur chaque objet construit (segment, droite ou cercle) on place un point, et
– Une macro transforme ce point en le segment, la droite ou le cercle correspondant sur la PSH<\/strong>.
C’est assez magique, et c’est pour partager cela que cet article a \u00e9t\u00e9 \u00e9crit.<\/p>\n\n\n\n

Si on veut juste tester le principe rapidement, on peut s’amuser \u00e0 le faire uniquement sur les trois droites du triangle \\(ABC\\), et remplir ce triangle sur la PSH<\/strong>, cela prend deux minutes. On peut aussi continuer avec les m\u00e9dianes … ou aller plus loin si on est plus concern\u00e9 par ce mod\u00e8le.<\/p>\n\n\n\n

Organisation g\u00e9n\u00e9rale des macros<\/h2>\n\n\n\n

Les macros sont organis\u00e9es en dossiers, trois pour le mod\u00e8le KB<\/strong>, deux pour la PSH<\/strong>, et un dossier de Transfert<\/strong> dans les deux sens. A priori, avec les figures propos\u00e9es \u00e0 l’utilisation, on ne devrait pas avoir besoin du sens PSH<\/strong> vers KB<\/strong>, mais les macros pour ce passage sont disponibles si on veut ajouter des points de base.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Le premier niveau des macros disponibles dans les figures<\/em><\/p>\n\n\n\n

On notera en premier lieu une macro KB<\/strong> hors des menus KB<\/strong>. En effet, cette macro est propre \u00e0 l’utilisation du mod\u00e8le de Klein-Beltrami associ\u00e9 \u00e0 une surface pseudosph\u00e9rique hyperbolique. Elle est \u00e0 consid\u00e9rer comme une macro de finition pour de belles figures, avec des droites bien lisses sur la PSH<\/strong>. Si on ne travaille qu’avec des segments par exemple elle est inutile. A priori son utilisation est donc \u00e0 pr\u00e9voir dans un second temps. D\u00e9taillons l’utilisation de cette macro.<\/p>\n\n\n\n

KB drtFP 2pt 2fr Cnk<\/strong> : le code de cette macro a d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 pr\u00e9sent\u00e9 succinctement, en particulier pour l’enchainement des points logiques internes, dans la section \u00ab\u00a0Exemple des hauteurs\u00a0\u00bb de la page sur les droites de la PSH<\/a> mais son utilisation pratique n’a pas \u00e9t\u00e9 d\u00e9taill\u00e9e. Cette macro construit, en toutes circonstances, dans le mod\u00e8le KB<\/strong>, seulement la partie de la F<\/strong>euille P<\/strong>rincipale d’une droite (drtFP<\/strong>) passant par 2 points (2pt<\/strong>) de KB<\/strong>, en donnant dans l’ordre ces deux points, les deux segments verticaux verts de l’illustration pr\u00e9c\u00e9dente – celui de gauche puis celui de droite – fronti\u00e8res de la feuille principale (2fr<\/strong>) puis l’\u00e9quidistante fronti\u00e8re de la PSH<\/strong>, dans KB<\/strong>, \u00e0 savoir la conique bleue (Cnk<\/strong>).<\/p>\n\n\n\n

Contexte d’utilisation de cette macro<\/strong> : comme souvent dans ces cas, c’est plus long \u00e0 d\u00e9crire qu’\u00e0 faire. On rappelle que sans cela, l’enroulement d’une droite sur plusieurs feuilles peut ne pas \u00eatre esth\u00e9tique.<\/p>\n\n\n\n

Par contre un point important \u00e0 signaler est que cette macro demande deux points de la droite. Or si on a pris, dans le menu KBdroite<\/strong>, une bissectrice, une perpendiculaire ou une perpendiculaire commune, il peut \u00eatre n\u00e9cessaire de construire (prendre sur la droite) un autre de ces deux points, voire les deux. C’est pour cela qu’il a \u00e9t\u00e9 dit que cette macro est \u00e0 utiliser \u00ab\u00a0dans un second temps\u00a0\u00bb, sauf si on dispose d\u00e9j\u00e0 de deux points de la droite.<\/p>\n\n\n\n

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Les macros de KB<\/h2>\n\n\n
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Les trois dossiers de KB<\/em><\/p>\n\n\n\n

Les points<\/strong>
Par rapport aux premi\u00e8res macros de KB<\/strong> pr\u00e9sent\u00e9es dans cette page<\/a>, nous avons ici ajout\u00e9 les macros alg\u00e9briques de milieu et sym\u00e9trique par rapport \u00e0 un point construites dans cette page sur les troncatures<\/a>. En particulier on peut tr\u00e8s rapidement construire les m\u00e9dianes.<\/p>\n\n\n\n

Les droites<\/strong>
En plus des droites que l’on voit dans l’illustration, il y a \u00e9galement les bissectrices. On a aussi laiss\u00e9 les KB<\/strong>-droites de base. Mais comme ces macros demandent deux points, si on peut l’utiliser, a priori on utilisera plut\u00f4t la macro sur les droites FP<\/strong> (de la feuille principale).<\/p>\n\n\n\n

La question du segment<\/strong><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Un KB<\/strong>-segment est le segment euclidien de m\u00eames extr\u00e9mit\u00e9s. On a choisi de ne pas en faire une macro. Cela signifie qu’on le construit avec l’interface de base du logiciel, donc en mode standard<\/strong> (la fl\u00e8che gauche du tableau de bord activ\u00e9e), en s\u00e9lectionnant un point on choisit l’icone de segment en haut \u00e0 droite comme dans l’illustration ci-contre. On rel\u00e2che la souris sur le point \u00e0 l’autre extr\u00e9mit\u00e9 du segment.<\/p>\n\n\n\n

Les cycles<\/strong>
Dans un premier temps, a priori on utilisera seulement la macro sur le cercle qui reste dans l’\u00e9quidistante limite de la surface, car les autres cycles sortant de cette limite, c’est un peu plus long \u00e0 g\u00e9rer correctement.<\/p>\n\n\n\n

Les trois dossiers autour de la PSH<\/h2>\n\n\n
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Les trois derniers dossiers<\/em><\/p>\n\n\n\n

Les deux macros du dossier PSH<\/strong>
Pour une utilisation standard, ce dossier ne sera pas utilis\u00e9, il sert en effet \u00e0 construire un nouveau point sur la surface. Pour cela on prend un point sur objet, uM<\/strong> par exemple, sur le segment vert port\u00e9 par l’axe (Oz)<\/em>. On applique alors la macro Equidist LesCoef g uA<\/strong> qui construit le cercle 3D associ\u00e9 \u00e0 cette latitude uM<\/strong>, et rend aussi son centre que l’on nomme oM<\/strong> dans la suite (il n’est pas nomm\u00e9 comme cela par la macro, et il n’est pas n\u00e9cessaire de le nommer dans la figure).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u00e0 gauche : on prend un point sur l’axe, il faut choisir l’icone \u00ab\u00a0point\u00a0\u00bb \u00e0 droite. Avant cela il faut \u00eatre \u00ab\u00a0en mode standard\u00a0\u00bb.
\u00e0 droite : on a construit le cercle latitude uM. Son centre oM (qui a la forme du point C) est souvent \u00ab\u00a0sur\u00a0\u00bb le point uM sauf aux extr\u00e9mit\u00e9s de la surface, c’est pour cela qu’on d\u00e9place uM vers une des extr\u00e9mit\u00e9s pour pouvoir appliquer la macro qui donne les coordonn\u00e9es (pour bien distinguer le centre (2\u00b0 point) et la latitude (3\u00b0 point). On prend le point M sur le cercle 3D comme \u00e0 gauche.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Le dossier Transfert<\/strong>
La premi\u00e8re macro de ce dossier construit un objet sur la PSH<\/strong> \u00e0 partir d’un point de KB<\/strong>.
Drt LesCoef g Odl Mkb<\/strong> : nomm\u00e9e Drt<\/strong> (pour Droite), elle s’applique aux segments, aux cercles (et m\u00eame aux lieux en g\u00e9n\u00e9ral). Dans l’illustration suivante, on se propose de construire le segment \\([BC]\\) sur la PSH<\/strong>.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u00c9tape 1<\/em> : on construit le segment \\([B_{kb}C_{kb}]\\).
\u00c9tape 2<\/em> : on prend un point sur objet de ce segment (m\u00eame proc\u00e9d\u00e9 que l’illustration pr\u00e9c\u00e9dente). Ici il est nomm\u00e9 \\(mBC_{kb}\\). Il n’est pas n\u00e9cessaire de le nommer.
\u00c9tape 3<\/em> : on applique la macro pr\u00e9c\u00e9dente en montrant les deux expressions LesCoef<\/strong> et g<\/strong> (non pr\u00e9sentes dans l’illustration), le centre du cercle \\(Odl\\), et donc, ce point \\(mBC_{kb}\\). La macro construit aussit\u00f4t le segment rouge sur la PSH<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

R\u00e9glage de la densit\u00e9<\/strong>
Par d\u00e9faut la densit\u00e9 est r\u00e9gl\u00e9e \u00e0 200, ce qui est suffisant en g\u00e9n\u00e9ral pour une droite de la feuille principale. Par contre c’est trop pour un simple segment. On peut limiter la densit\u00e9 \u00e0 50 ou m\u00eame parfois \u00e0 20 pour certains segments. Pour cela on s\u00e9lectionne l’outil \u00ab\u00a0inspecteur d’objets\u00a0\u00bb (la roue du tableau de bord) et on s\u00e9lectionne le segment sur la PSH.
<\/p>\n\n\n\n

Pt LesCoef g Odl Ptkb<\/strong> : cette macro s’applique comme la pr\u00e9c\u00e9dente, mais comme son nom l’indique (Pt<\/strong>), elle ne place que le point sur la PSH<\/strong> et pas un lieu.<\/p>\n\n\n\n

PS vers KB xp CdA Odl<\/strong> : cette macro envoie un point de la PSH<\/strong> sur KB<\/strong>. Pour cela on donne xp (seulement), les coordonn\u00e9es du point et le centre du cercle. Elle ne s’applique que si vous ajoutez un point \u00e0 la PSH<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Les macros de remplissage<\/strong>
Elles sont \u00e9l\u00e9mentaires \u00e0 appliquer. Dans une utilisation un peu rapide, on n’utilisera probablement que celle du triangle. Voici ce qu’elle donne.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On remarquera le l\u00e9ger filet sur le pourtour du triangle, c’est parce que les segments de la liste de segments ne sont pas r\u00e9gl\u00e9s \u00e0 \u00ab\u00a00\u00a0\u00bb car les points et les segments ne peuvent pas \u00eatre tous les deux \u00e0 \u00ab\u00a00\u00a0\u00bb. Les modification (couleur, opacit\u00e9s) se r\u00e8glent aussi dans l’inspecteur d’objets.<\/p>\n\n\n\n

Les autres remplissages pourront \u00eatre utilis\u00e9s dans la derni\u00e8re section Un morceau de troncatures<\/strong> que l’on propose au lecteur curieux … et un peu motiv\u00e9 quand m\u00eame.<\/p>\n\n\n\n

Remarque technique<\/strong> : on a pr\u00e9sent\u00e9 le remplissage des polygones sur la PS<\/strong> et la PSH<\/strong> dans cet article<\/a>. Un lecteurs r\u00e9gulier de ces articles, et un peu vigilant, remarquera que l’on a enlev\u00e9 la demande de l’expression xp<\/strong> dans la liste des objets initiaux de la macro. On a bien entendu modifi\u00e9 le code interne de la macro pour permettre cela.<\/p>\n\n\n\n

Accompagnement de constructions pratiques<\/h2>\n\n\n\n

Si ce n’est pas d\u00e9j\u00e0 fait, lancer la figure de base<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

La figure la plus simple \u00e0 r\u00e9aliser est celle-ci avec la macro KB DrtFP 2pt 2fr Cnk<\/strong><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

C’est int\u00e9ressant de d\u00e9placer, sur la PSH<\/strong>, le point A ou sa latitude pour avoir une droite qui fait le tour de la feuille principale, son image sur KB<\/strong> allant d’un bord de la feuille principale \u00e0 l’autre.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Enregistrement des figures produites<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pour t\u00e9l\u00e9charger votre figure, cliquer sur l’icone de t\u00e9l\u00e9chargement, celle avant les deux nuages dans le tableau de bord. Vous arrivez sur cette boite \u00e0 dialogue. Enregistrer le fichier comme indiqu\u00e9. Il s’appelle DGPad_file.txt<\/em>.
Changer son nom, et lui mettre l’extension .dgp. Pour l’ouvrir, il suffit alors de d\u00e9poser le fichier sur la fen\u00eatre de travail de DGPad (en ligne<\/a> ou desktopApp<\/a>).<\/p>\n\n\n\n

Exemple d’une d\u00e9marche possible pour la construction des hauteurs<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Comme on veut, au final, utiliser la macro KB drtFP<\/strong> qui demande deux points pour une droite, le plus pertinent est d’utiliser les pieds de hauteurs, pour les envoyer eux aussi sur la PSH<\/strong>. Il est pr\u00e9f\u00e9rable de <\/p>\n\n\n\n

– Commencer par construire les KB<\/strong>-droites g\u00e9n\u00e9rales (peu d’objets interm\u00e9diaires), construire les pieds des hauteurs (illustration de gauche). Remarquer que l’usage des macros de KB<\/strong> cache le centre du cercle \\(Odl\\). Le faire r\u00e9apparaitre (icone \u00ab\u00a0gomme\u00a0\u00bb) avant l’application des macros suivantes.<\/p>\n\n\n\n

– Ensuite cacher les droites construites et construire les droites sur la seule feuille principale (illustration du centre)<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

– Enfin, prendre des points sur chacune des droites pour renvoyer le tout sur la PSH<\/strong>. C’est l’illustration de droite. Il n’est pas n\u00e9cessaire de nommer les points, ici ils sont nomm\u00e9s pour illustration. Puis on applique les deux macros de transfert, pour les lieux et les points, ce qui donne :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ensuite, on traite le cas o\u00f9 les hauteurs ont une perpendiculaire commune. On fait de m\u00eame qu’\u00e0 l’\u00e9tape pr\u00e9c\u00e9dente (KB<\/strong>-droite puis KB drtFP<\/strong>)<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Enfin, bien entendu, on cache tous les points de construction interm\u00e9diaires (les \\(mXYkb\\)).<\/p>\n\n\n\n

Le cas du cercle circonscrit<\/strong> au triangle<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On fait de m\u00eame avec les m\u00e9diatrices. Partant des m\u00e9diatrices, on dispose des milieux des segments. On peut ajouter un point (intersection avec la droite oppos\u00e9e) pour appliquer la macro KB drtFP<\/strong>. Dans l’illustration suivante, on n’a m\u00eame pas trac\u00e9 les m\u00e9diatrices sur la PSH<\/strong> pour montrer que la macro Drt LesCoef g Odl Mkb<\/strong> s’applique bien directement au point \\(mCirckb\\) de l’ellipse (KB<\/strong>-cercle circonscrit au triangle).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Application de la macro de trac\u00e9 de droite pour obtenir le cercle circonscrit \u00e0 ABC.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Les cercles sont par d\u00e9faut trac\u00e9s \u00e0 une densit\u00e9 de 200. N\u00e9anmoins, pour que l’ellipse qui repr\u00e9sente le KB<\/strong>-cercle soit correctement trac\u00e9e, mettre une densit\u00e9 \u00e0 1000 (outil \u00ab\u00a0inspecteur d’objets\u00a0\u00bb). Pour les illustrations de cette page, d\u00e8s qu’il y a un cercle il est \u00e0 densit\u00e9 1000 ou 1500.<\/p>\n\n\n\n

Quelques figures avec les trilat\u00e8res de la PSH<\/h2>\n\n\n\n

On part de cette figure, o\u00f9 cette fois, les droites des trilat\u00e8res sont pr\u00e9-construites car il n’y a pas de choix entre segments et droites. Il y a 12 param\u00e8tres pour r\u00e9gler la position d’un trilat\u00e8re, 6 points, deux par droite et les 6 latitudes de ces points.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Lancer cette figure des trilat\u00e8res sur la PSH<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

On utilise les m\u00eames macro-constructions que dans la figure pr\u00e9c\u00e9dente. Cela signifie que l’on ne dispose pas de macros sp\u00e9cifiques des faisceaux de droites dans KB<\/strong>. C’est en effet l’occasion d’utiliser, concr\u00e8tement, le plongement projectif du plan hyperbolique. Nous en avons parl\u00e9 succinctement dans cette page<\/a>, dans le cadre du mod\u00e8le DP<\/strong>. Dans KB<\/strong>, la situation est plus simple car le mod\u00e8le KB<\/strong> \u00e9tant d\u00e9j\u00e0 projectif, les calculs sont les m\u00eames, et donc les macros aussi. En pratique, on utilise les macros sur les sommets \\(A_k, B_k, C_k\\) du triangle du plongement projectif associ\u00e9 au trilat\u00e8re (le prolongement des droites euclidiennes support du trilat\u00e8re).<\/p>\n\n\n\n

Exemple des bissectrices<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Si on veut prendre la bissectrice des deux droites \\((a1_{kb} a2_{kb})\\) et \\((b1_{kb} b2_{kb})\\), on applique la macro Biss 3pts<\/strong> du dossier KBdroites<\/strong> sur les points \\(a1_{kb}, C_k, b1_{kb}\\). Dans l’illustration suivante, on a commenc\u00e9 par construire les bissectrices du trilat\u00e8re, elles sont cach\u00e9es, puis le cercle inscrit du trilat\u00e8re, de centre \\(I_{kb}\\), et ses points de contact (avec la macro Perpendiculaire<\/strong>), puis les KB<\/strong>-droites passant par un sommet et le point de contact sur le cot\u00e9 oppos\u00e9 (en vert dans KB<\/strong> et sur la PSH<\/strong>). Ces trois droites sont concourantes en un point que l’on appelle le point de Gergonne, d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sent\u00e9 dans plusieurs mod\u00e8les. Avant d’envoyer le tout sur la PSH<\/strong>, on utilise la macro KB drtFP<\/strong> \u00e0 partir des points de contact et du point de Gergonne.
Dans cette illustration, on a fait entrer un des sommets sur la surface pour qu’on voit bien que la droite passe effectivement par le sommet. En faisant cette figure, bien entendu, on peut modifier les donn\u00e9es des droites de base pour que le trilat\u00e8re devienne aussi un triangle.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Construction du point de Gergonne d’un trilat\u00e8re<\/em><\/p>\n\n\n\n

On pourrait aussi refaire la figure sur les hauteurs propos\u00e9e dans cette page, de la m\u00eame fa\u00e7on. On peut aussi explorer une situation tr\u00e8s simple, mais peut-\u00eatre plus surprenante.<\/p>\n\n\n\n

Les m\u00e9dianes d’un trilat\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Bien entendu le milieu d’une droite n’a pas de sens, mais dans le cadre d’un trilat\u00e8re, on peut utiliser le plongement projectif de KB<\/strong> dans un plan id\u00e9al hyperbolique KH<\/strong> (pr\u00e9sent\u00e9 dans cet article<\/a>). Dans ce contexte, le milieu de deux points simultan\u00e9ment int\u00e9rieurs ou ext\u00e9rieurs<\/em> au disque limite existe, et il est donn\u00e9 par les m\u00eames formules que pour les points tous les deux int\u00e9rieurs au cercle limite. On peut alors construire le milieu des sommets du plongement avec la m\u00eame macro Milieu Alg 2 pts<\/strong> du dossier KBpoints<\/strong>. On peut donc construire les m\u00e9dianes d’un trilat\u00e8re, par plongement. Voici ce que cela donne :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Les m\u00e9dianes d’un trilat\u00e8re n’ayant aucun sommet sont concourantes<\/em><\/p>\n\n\n\n

Si on fait cette figure, l\u00e0 aussi on peut rendre les trois sommets appartenant \u00e0 KB<\/strong> et surtout existants sur la surface pseudosph\u00e9rique. Attention, si on ne prend pas de pr\u00e9caution particuli\u00e8re (qui demanderait un peu plus de programmation), quand un point (par exemple \\(IA_k\\)) est int\u00e9rieur et un autre (\\(IB_k\\) ou\\(IC_k\\)) est ext\u00e9rieur, les points produits par la macro \u00ab\u00a0milieu\u00a0\u00bb existent … mais ils ne peuvent avoir le sens de milieux hyperboliques. Nous y reviendrons dans un prochain article.<\/p>\n\n\n\n

Les m\u00e9diatrices du trilat\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Une fois que l’on dispose des milieux, on peut prendre la perpendiculaire aux c\u00f4t\u00e9s du trilat\u00e8re en ces milieux. Le mod\u00e8le KB<\/strong> n’est pas conforme mais le mod\u00e8le PSH<\/strong> l’est, on voit bien, visuellement s’entend, sur la PSH<\/strong>, cette orthogonalit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Ces m\u00e9diatrices du triangle \\(A_kB_kC_k\\) sont concourantes en un point \\(O_{kb}\\) qui est le centre du cercle circonscrit au triangle … quand les trois points sont<\/strong> dans le plongement projectif hors de<\/strong> KB<\/strong> (sinon cela passe par l’inverse du point … on ne d\u00e9taillera pas les aspects th\u00e9oriques sous-jacents dans cet article … ce n’est pas le lieu, on est sur les macros de PSH<\/strong>).<\/p>\n\n\n\n

Troncature de P54 sur la PSH<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Pour le fun, pour les personnes qui aiment jouer avec la g\u00e9om\u00e9trie dynamique, voici une derni\u00e8re proposition de construction sur la PSH<\/strong>. Dans cet article<\/a> sur les troncatures dans KB<\/strong> on a d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sent\u00e9 cette troncature de P54.<\/p>\n\n\n