L’outil \u00ab\u00a0liste de segments\u00a0\u00bb<\/h2>\n\n\n\n
On peut cr\u00e9er une liste de segment par un clic long sur la page de DGPad (menu de l’illustration de gauche), mais aussi simplement en cr\u00e9ant une liste – un seul point suffit – et en la transformant ensuite par programmation.<\/p>\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/ListeSegments_petit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nQuand on cr\u00e9e une liste de segments, le logiciel cr\u00e9e, par d\u00e9faut, une expression<\/strong> sur la forme d’une liste de 5 points (ci-dessus au gauche dont on ne voit qu’un extrait) et affiche la repr\u00e9sentation graphique de cette expression qui a le statut interne de List<\/strong>, ci-dessus, le trac\u00e9 du rectangle, dont le nom – dans l’inspecteur d’objets – est l1<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n Si on part d’une simple expression (d’une liste) de points , il n’y a pas de trac\u00e9 graphique par d\u00e9faut. On fait appara\u00eetre le trac\u00e9 en cliquant sur l’icone segment (ci-dessous). Dans les deux cas l’expression et sa repr\u00e9sentation graphique (List) existent toutes les deux, et ont des r\u00e9glages sp\u00e9cifiques.<\/p>\n\n\n\n Dans la suite on se propose d’utiliser les listes de segments pour remplir – par opacit\u00e9 – les polygones construits sur les deux surfaces pseudosph\u00e9riques \u00e9tudi\u00e9es dans ce site.<\/p>\n\n\n\n Pourquoi les listes de segments ?<\/strong><\/p>\n\n\n\n Et en particulier pourquoi pas tout simplement le lieu de l’image d’un point sur polygone ? En effet, on a vu, par exemple sur la page traitant des cercles sur la pseudosph\u00e8re<\/a>, que le cercle-lieu peut \u00eatre rempli par opacit\u00e9. Or on peut prendre un point sur polygone et construire le lieu de son image. Mais il semble que le type soit pr\u00e9dominant : le lieu image d’un polygone se comporte comme un polygone (c\u00f4t\u00e9s affines) donc inutilisable ici.<\/p>\n\n\n\n Mais surtout, l’usage des listes de segments a un avantage, intrins\u00e8que \u00e0 l’objet, d\u00e9terminant : les extr\u00e9mit\u00e9s des segments, m\u00eame s’ils sont accessibles \u00e0 l’inspecteur d’objets comme des points, ne sont pas des points construits. Il en r\u00e9sulte une plus grande fluidit\u00e9 de cet objet bien sp\u00e9cifique car si la repr\u00e9sentation graphique (la liste associ\u00e9e \u00e0 l’expression) est dessin\u00e9e, dynamiquement bien entendu, elle n’est pas compos\u00e9e d’objets construits comme dans d’autres logiciels. Cette fluidit\u00e9 et le remplissage par l’opacit\u00e9 sont les deux raisons de ce choix.<\/p>\n\n\n\n Le principe retenu est de partir de segments du disque limite de Beltrami (mod\u00e8le KB<\/strong>) et de construire des listes de segments \u00e0 partir des images sur la surface pseudosph\u00e9rique des extr\u00e9mit\u00e9s des segments de KB<\/strong>. On choisit de recouvrir le segment image – qui est toujours un lieu – par une liste de 20 segments, ce qui suffit pour le remplissage. Voyons ce qu’il en est sur l’exemple du remplissage du polygone \u00e9toil\u00e9 associ\u00e9 au pentagone orthogonal comme on l’a d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sent\u00e9 \u00e0 la fin de cet article<\/a>.<\/p>\n\n\n\n \u00e0 gauche<\/strong> : la repr\u00e9sentation graphique de la liste de segments, avec le r\u00e9glage associ\u00e9 : gros points et segments \u00e9pais. Rappel des calculs du passage de KB \u00e0 PS<\/strong><\/p>\n\n\n\n Les coordonn\u00e9es \\((x, y)\\) sont rapport\u00e9es \u00e0 l’origine \\(Odl\\). On a alors d\u00e9j\u00e0 vu que la longitude est donn\u00e9e par \\(\\displaystyle \\theta=\\frac{y}{x-1}\\) et la latitude \\(u=ch^{-1}\\displaystyle \\left(\\frac{\\sqrt{1-x^2-y^2}}{1-x}\\right)\\) (car \\(x<1\\)).<\/p>\n\n\n\n Par ailleurs \\(ch^{-1}(u)=ln(u+\\sqrt{u^2-1})\\).<\/p>\n\n\n\n Et le point de la pseudosph\u00e8re a pour coordonn\u00e9es \\(\\displaystyle \\left( \\frac{1}{ch \\; u}cos \\theta, \\; \\frac{1}{ch \\; u}sin \\theta, \\; u -th \\; u \\right)\\).<\/p>\n\n\n\n \u00e0 gauche : vue de dessus du pentagone orthogonal rt Ce code est associ\u00e9 \u00e0 une expression qui prend, au final, la valeur de l’expression Poly<\/strong> construite par le programme. L’essentiel du code est dans une proc\u00e9dure qui construit la liste de segments sur l’image d’un segment. On commence par la d\u00e9finition des 21 points interm\u00e9diaires \\(M_{ik}\\) (k<\/em> car encore dans KB<\/strong>). La seule chose \u00e0 noter dans cette proc\u00e9dure est que, dans DGPad, la premi\u00e8re coordonn\u00e9e d’un point \\(M\\) est \\(M[0]\\) – qui s’\u00e9crit aussi \\(x(M)\\) mais seulement \u00ab\u00a0dans DGPad\u00a0\u00bb – et la seconde \\(M[1]\\) (mais aussi \\(y(M)\\) dans DGPad), alors que, dans Blockly, la premi\u00e8re coordonn\u00e9e est \\(M[1]\\) et la seconde \\(M[2]\\), d’o\u00f9 les \u00e9critures – un peu surprenantes – de \\(CdX\\) et \\(CdY\\) qui m\u00e9langent les deux. Ensuite \\(uM_i\\) est l’ordonn\u00e9e du point en cours sur la PS<\/strong> et \\(LongM_i\\) est sa longitude. Cette proc\u00e9dure UnSegment<\/strong> est r\u00e9utilisable dans toute figure. On peut facilement la copier. Seul le programme principal est \u00e0 adapter en fonction du contexte.<\/p>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/ListeDESeg_Icn_Segment.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\nDiviser les KB-segments en 20
dans le passage \u00e0 la pseudosph\u00e8re.<\/h2>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/ExemplePolyEtoile_petit-1024x454.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n
\u00e0<\/strong> droite<\/strong> : on a remis les c\u00f4t\u00e9s du polygone \u00e9toil\u00e9s (lieux verts) et on rempli le polygone par opacit\u00e9 en cachant les points et en minimisant les segments, cach\u00e9s par les segments lieux (on ne peut pas mettre les deux r\u00e9glages \u00e0 0).
On retient que les c\u00f4t\u00e9s sont trac\u00e9s par les lieux et le remplissage par les listes de segments, en pratique cach\u00e9s par les segments-lieux.<\/em><\/p>\n\n\n\nLa construction de la liste
de segments par Blockly<\/h2>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/PS_LesPointsDuPolygone.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n
\u00e0 droite : pour les noms des sommets du pentagone dans KB<\/strong> (pour le programme suivant)<\/em><\/p>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/CodeListeSegments.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n