{"id":3428,"date":"2022-03-23T20:38:20","date_gmt":"2022-03-23T16:38:20","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=3428"},"modified":"2025-12-30T18:24:48","modified_gmt":"2025-12-30T14:24:48","slug":"troncatures-de-p54-et-p64-dans-kb","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=3428","title":{"rendered":"Troncatures de P54, P64 et P38 dans KB"},"content":{"rendered":"\n

Milieu et sym\u00e9trique alg\u00e9briques dans KB<\/h2>\n\n\n\n

Dans la pr\u00e9sentation des macro-construction du mod\u00e8le de Klein Beltrami, nous n’avions pas propos\u00e9 de macro \u00ab\u00a0milieu\u00a0\u00bb, il fallait utiliser la m\u00e9diatrice de deux points pour construire un milieu. Ce n’\u00e9tait pas essentiel car il s’agissait de ne construire que quelques milieux.<\/p>\n\n\n\n

Mais pour construire les milieux et surtout massivement des sym\u00e9triques de sym\u00e9trie centrale, il devient n\u00e9cessaire de calculer les coordonn\u00e9es d’un KB<\/strong>-milieu et d’un KB<\/strong>-sym\u00e9trique d’autant que c’est en fait tr\u00e8s simple … ce qui r\u00e9v\u00e8le aussi une certaine paresse, parfois, de l’auteur de ce site … pourquoi ne pas l’avoir fait avant ?<\/p>\n\n\n\n

Le milieu alg\u00e9brique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On rappelle que la distance de deux points \\(A\\) et \\(B\\) est donn\u00e9e par \\(d(A,B) = \\displaystyle \\frac{1}{2} \\left\\vert ln \\left(\\frac{AU}{AV} : \\frac{BU}{BV}\\right) \\right \\vert\\).<\/p>\n\n\n\n

L’\u00e9galit\u00e9 \\(AB=2AI\\) aboutit \u00e0 \\(\\displaystyle \\left( \\frac{IV}{IU} \\right)^2=\\frac{AV.BV}{AU.BU}\\).<\/p>\n\n\n

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Or on sait que la ligne de niveau \\(\\displaystyle \\frac{MA}{MB}=k\\) est un cercle de diam\u00e8tre \\([RS]\\) avec \\(R=\\displaystyle \\frac{A+kB}{1+k}\\) – entre \\(A\\) et \\(B\\) – et \\(S=\\displaystyle \\frac{A-kB}{1-k}\\). C’est donc l’\u00e9criture de \\(R\\) qu’il faut retenir pour le KB<\/strong>-milieu. <\/p>\n\n\n\n

Lancer une figure sur la ligne de niveau<\/a> (s’ouvre dans un autre onglet)<\/p>\n\n\n\n

En pratique, pour \u00e9viter de cr\u00e9er autant d’expressions interm\u00e9diaires que de milieux utilis\u00e9s, on a choisit d’int\u00e9grer \\(k\\) dans l’\u00e9criture du point \\(I\\). De m\u00eame, les points id\u00e9aux de la droite \\((AB)\\) peuvent servir plusieurs fois, on a donc cr\u00e9e deux macros dont une – la plus utilis\u00e9e – demande les 4 points \\(A, B, U, V\\).<\/p>\n\n\n\n

Le sym\u00e9trique alg\u00e9brique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pour le sym\u00e9trique \\(B\\) d’un point \\(A\\) par rapport \u00e0 un point \\(I\\), on trouve \\(\\displaystyle \\frac{BV}{BU} = \\frac{AU}{AV} \\times \\left(\\frac{IV}{IU}\\right)^2\\).<\/p>\n\n\n\n

Bien entendu les points \\(U\\) et \\(V\\) sont les points id\u00e9aux de la droite \\((AI)\\). Mais, comme on va utiliser une animation sur le point de troncature, ce point va \u00eatre \u00e0 un moment superpos\u00e9 au point \\(I\\). Dans ce cas, la droite disparait … et toute la figure construite sur ce sym\u00e9trique avec. Pour rem\u00e9dier \u00e0 cela on peut envisager une modification de type \u00ab\u00a0programmation paresseuse\u00a0\u00bb comme ceci :<\/p>\n\n\n\n

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Dans l’expression ci-dessus, le sym\u00e9trique de \\(A\\) est d\u00e9clar\u00e9 \u00e9tant \\(I\\) si \\(A\\) est en \\(I\\) sinon on fait le calcul (ci-dessus incomplet, car trop long). L’illustration de droite montre que quand la droite dispara\u00eet, quand \\(A\\) est en \\(I\\), le point \\(M\\) existe toujours car, dans l’expression, seul le cas concern\u00e9 est \u00e9valu\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Mais quand on transforme cette construction en macro, la subtilit\u00e9 de la programmation paresseuse du test JavaScript, op\u00e9rationnelle ci-dessus, disparait, probablement car les points id\u00e9aux sont \u00e9valu\u00e9s (construit) juste avant le test.<\/p>\n\n\n\n

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Mais finalement on n’a pas besoin de mettre en \u0153uvre des proc\u00e9dures aussi g\u00e9n\u00e9rales, avec le centre de sym\u00e9trie en manipulation directe puisque les centres que l’on va utiliser seront d\u00e9j\u00e0 construits. On va donc utiliser simplement la construction de base, mais \u00e0 partir des points id\u00e9aux de la KB<\/strong>-droite qui contient ce point, souvent d\u00e9j\u00e0 construits par ailleurs. Cela demande juste \u00e0 l’utilisateur de montrer 4 points initiaux pour construire un sym\u00e9trique, mais cela a l’avantage de construire ce point sans aucun objet interm\u00e9diaire. L\u00e0 encore on construit deux macros pour la sym\u00e9trie centrale, selon que les points id\u00e9aux sont d\u00e9j\u00e0 construits ou non.<\/p>\n\n\n\n

Troncature de P54<\/h2>\n\n\n\n

On reprend les m\u00e9thodes d\u00e9j\u00e0 utilis\u00e9es pour les pavages<\/a> de KB. On ne revient pas sur les d\u00e9tails g\u00e9n\u00e9riques. Abordons la troncature du pentagone initial \\(KK_1K_2K_3K_4\\) \u00e0 l’int\u00e9rieur du cercle de pavage. On a donc un d\u00e9cagone. <\/p>\n\n\n\n

\u00c9tape 1<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On nomme \\(I\\) est le milieu de \\([KK_1]\\) et on prend un point \\(N\\) sur le segment \\([KI]\\).<\/p>\n\n\n\n

La premi\u00e8re \u00e9tape consiste \u00e0 prendre les sym\u00e9triques de ce d\u00e9cagone par rapport aux c\u00f4t\u00e9s du pentagone initial. C’est la m\u00eame m\u00e9thode que dans les pavages, avec le p\u00f4le du c\u00f4t\u00e9, par division harmonique. Par exemple les points \\(Di_1\\) et \\(Di_2\\) sont les sym\u00e9triques de \\(Mk_3\\) et \\(Dk_1\\) car ces point sont align\u00e9s sur \\((K_3K_4)\\). \\(Di_1\\) est aussi le sym\u00e9trique de \\(Mk_3\\) par rapport \u00e0 \\(K_4\\) car l’angle en \\(K_4\\) est droit. De m\u00eame, \\(Di\\) est le sym\u00e9trique dd \\(N\\), \u00e0 la fois par rapport \u00e0 la droite \\((KK_4)\\) et par rapport au point \\(K\\). Le premier sym\u00e9trique du d\u00e9cagone effectu\u00e9, on transforme cette partie en macro appliqu\u00e9e aux quatre autres c\u00f4t\u00e9s.<\/p>\n\n\n

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\u00c9tape 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Les cinq autres d\u00e9cagones sont les sym\u00e9triques du d\u00e9cagone central par rapport aux sommets du pentagone initial. On termine la figure par les dix carr\u00e9s. Il ne manque qu’un point pour chaque carr\u00e9. Les macros de la sym\u00e9trie centrale sont utilis\u00e9es, en tout, 55 fois dans cette figure.<\/p>\n\n\n

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Cas o\u00f9 \\(N\\) est en \\(I\\) : pavage de pentagones (non orthogonaux) et de carr\u00e9s<\/em> de m\u00eames c\u00f4t\u00e9s.<\/em><\/p>\n\n\n\n

La figure dynamique<\/strong><\/p>\n\n\n