{"id":3386,"date":"2022-03-20T21:22:15","date_gmt":"2022-03-20T17:22:15","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=3386"},"modified":"2025-12-30T22:13:18","modified_gmt":"2025-12-30T18:13:18","slug":"jouer-avec-les-pavages-du-modele-kb","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=3386","title":{"rendered":"Jouer avec les pavages du mod\u00e8le KB"},"content":{"rendered":"\n

Dans le menu PSH<\/strong>, on a vu dans les pages sur les pavages que, dans le mod\u00e8le KB<\/strong>, il \u00e9tait impossible de faire entrer un \u00ab\u00a0vrai pavage\u00a0\u00bb (au moins de g\u00e9n\u00e9ration 1) dans l’\u00e9quidistante qui repr\u00e9sente la PSH<\/strong>. En effet dans le mod\u00e8le KB<\/strong>, m\u00eame la g\u00e9n\u00e9ration 1 d’un pavage rempli une grande partie du plan hyperbolique.<\/p>\n\n\n\n

Les pavages de KB<\/strong> sont moins esth\u00e9tiques que ceux du disque de Poincar\u00e9<\/a>. C’est la raison pour laquelle nous allons proposer aux lecteurs, de rentrer dans un autre jeu avec quelques uns de ces pavages, et les construire simplement en quelques clics. Dans un premier temps, regardons le principe de construction. Cette partie technique n’est pas n\u00e9cessaire pour jouer avec les figures suivantes, c’est juste informatif, pour montrer aussi que c’est assez simple de r\u00e9aliser ces pavages.<\/p>\n\n\n\n

Rappel du principe de construction
des cercles de pavages …<\/h2>\n\n\n\n

On reprend ce qui avait \u00e9t\u00e9 expliqu\u00e9 d\u00e9j\u00e0 dans cet article<\/a> sur la construction d’un pentagone orthogonal sur la pseudosph\u00e8re. Ici on se donne un point centre du cercle, au lieu du point \\(A_{kb}\\). On reprend les valeurs num\u00e9riques n\u00e9cessaires – dont le rayon du cercle de pavage \\(r_{45}\\) sur la pseudosph\u00e8re, mais \\(2r_{45}\\) dans KB car la distance est double dans KB- \u00e0 la construction d’un point du cercle. Le principe est de construire le pentagone r\u00e9gulier centr\u00e9 en le centre du cercle \\(Odl\\) car c’est le seul point en lequel les angles sont conformes. On construit donc la m\u00e9diatrice entre le centre du cercle de pavage et le centre du cercle \\(Odl\\). On place le point \\(r_{KBe}=Odl+2r_{45}enO(uU-Odl)\\) qui d\u00e9termine le rayon de pavage centr\u00e9 en \\(Odl\\). On termine par le KB<\/strong>-sym\u00e9trique de \\(r_{KBe}\\) par rapport \u00e0 la m\u00e9diatrice, qui donne le point \\(C_{kb}\\). Le cercle de pavage – dans l’illustration ci-dessous – est de centre \\(A_{kb}\\) passant par \\(C_{kb}\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Dans cette illustration, l’ellipse rose est la limite de la pseudopsh\u00e8re dans le \u00ab\u00a0disque limite\u00a0\u00bb de Beltrami.
Le cercle est trac\u00e9 dans les illustrations suivantes<\/em><\/p>\n\n\n\n

Un point \\(K\\) sur ce cercle est envoy\u00e9 en \\(s_K\\), \u00e0 partir duquel on fait un pentagone que l’on renvoie sur le cercle de pavage.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On a donc un pentagone orthogonal modifiable par le point \\(K\\). Tout ceci est transform\u00e9 en macro avec comme objets initiaux d’une part la principale valeur num\u00e9rique n\u00e9cessaire \\(2r_{45}enO\\), mais aussi l’angle de 72\u00b0, utilis\u00e9 pour le pentagone, mais qui sera modifi\u00e9 (en 90\u00b0) pour que la m\u00eame macro construise un carr\u00e9 de base de P(4,5)<\/strong> puisque c’est le m\u00eame cercle de pavage.<\/p>\n\n\n\n

Construction des pavages eux m\u00eames<\/h2>\n\n\n\n

L\u00e0 encore on utilise l’id\u00e9e d’une utilisation optimis\u00e9e des macro-constructions. Le choix effectu\u00e9 est le suivant, ici illustr\u00e9 sur P(6,4)<\/strong> : pavage d’hexagones orthogonaux. Il s’agit d’utiliser que la sym\u00e9trie orthogonale est une homologie harmonique : la sym\u00e9trie orthogonale par rapport \u00e0 la droite \\((K_1K_2)\\) est l’homologie harmonique d’axe la droite et de p\u00f4le le p\u00f4le de la droite par rapport au cercle, soit le point \\(Pole_{(K_1K_2)}\\). Et on utilise que alors que l’image d’un point est le 4\u00b0 point de la division harmonique, qui se construit en une ligne alg\u00e9brique sans plusieurs constructions interm\u00e9diaires comme produirait la r\u00e9p\u00e9tition de nombreuses KB<\/strong>-sym\u00e9tries orthogonales.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

On construit ainsi les 4 points \\(D_i, D_{I_0},D_{I_1},D_{I_2}\\) images de \\(K, K_1, K_2, K_3\\). On fait alors une macro qui \u00e0 partir du cercle horizon et de 6 points d’un hexagone construit l’hexagone sym\u00e9trique par rapport \u00e0 la droite passant par les deux premiers points.<\/p>\n\n\n\n

La g\u00e9n\u00e9ration 1 des pavages
P54, P45, P64, P46<\/h2>\n\n\n\n

Dans les quatre cas, on peut agir sur le centre du cercle pendant l’animation sur le point \\(K\\) (le point bleu). On remarquera l’acc\u00e9l\u00e9ration de l’animation quand \\(K\\) s’approche de l’horizon (car la distance hyperbolique, \u00e0 variation euclidienne constante, est plus grande proche de l’horizon.<\/p>\n\n\n