{"id":3339,"date":"2022-03-18T22:41:26","date_gmt":"2022-03-18T18:41:26","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=3339"},"modified":"2025-12-30T22:45:39","modified_gmt":"2025-12-30T18:45:39","slug":"utiliser-les-macros-du-modele-kb","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=3339","title":{"rendered":"Utiliser les macros du mod\u00e8le KB"},"content":{"rendered":"\n

Cet article est une pr\u00e9sentation rapide des macros du mod\u00e8le de g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique du mod\u00e8le de Klein-Beltrami (KB<\/strong>) comme il a \u00e9t\u00e9 pr\u00e9sent\u00e9 dans cette page<\/a>. C’est aussi l’occasion de pr\u00e9senter un r\u00e9sultat m\u00e9trique – absolu – sur les cycles exinscrits d’un triangle. Cet ensemble de macro est utilis\u00e9 pour les figures par conjugaison avec la pseudosph\u00e8re (PS<\/strong>) et, toujours, avec la pseudosph\u00e8re hyperbolique (PSH<\/strong>). D’autres pages proposeront ce types d’utilisation.<\/p>\n\n\n\n

Reprendre la page de pr\u00e9sentation de l’utilisation des macros<\/a> de DGPad.<\/p>\n\n\n\n

Les macros de KB<\/h2>\n\n\n\n

Comme les objets, en dehors du cercle limite, sont des points ou des segments, il n’y a aucune ambigu\u00eft\u00e9 sur la demande \u00ab\u00a0cercle\u00a0\u00bb, c’est toujours le cercle limite de Beltrami, celui dans lequel on fait la figure. Dans les macros KB<\/strong> – contrairement aux macros dans le disque de Poincar\u00e9 (menu DP<\/strong>) ou le disque de Klein (menu ELL<\/strong>), le cercle horizon est le dernier objet \u00e0 montrer dans les macros.<\/p>\n\n\n\n

On rappelles que l’usage d’un cercle dans une macro – donc toujours ici – cache le centre de ce cercle. Ce n’est pas important ici, car le centre n’est utilis\u00e9 que dans la macro KB Med dont Odl<\/strong> qui sert essentiellement pour reproduire des angles et en particulier dans les pavages – un article sp\u00e9cifique sera consacr\u00e9 \u00e0 cette question.<\/p>\n\n\n\n

Pour faire r\u00e9apparaitre le cercle, activer l’outil gomme et s\u00e9lectionner le centre du cercle Odl<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Classiquement, les macros sont regroup\u00e9es en trois dossiers : Points<\/strong>, Droites<\/strong> et Cycles<\/strong>.<\/p>\n\n\n

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Le dossier \u00ab\u00a0Points<\/strong>\u00ab\u00a0<\/p>\n\n\n\n

Les macros sont classiques. On consultera cette page sur les troncatures de pavages<\/a> pour la pr\u00e9sentation des macros alg\u00e9briques Milieu<\/strong> et Sym\u00e9trie Centrale<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Contrairement aux autres mod\u00e8les hyperboliques ou elliptiques, il n’y a pas de macro intersection de deux droites car on utilise simplement l’outil usuel de DGPad d’intersection de deux segments : il faut donc \u00eatre en mode standard, c’est-\u00e0-dire l’icone de gauche du tableau de bord activ\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n

A propos de la macro KB distance<\/strong> : par construction, la macro renvoie la distance certes, mais au m\u00eame endroit. Si on veut l’appliquer plusieurs fois, il convient de d\u00e9placer le renvoi. Cela se fait pendant que l’on est en mode macro. <\/p>\n\n\n\n

Par ailleurs, le nom de la variable associ\u00e9e \u00e0 la distance, s’appelle \\(dMN\\) par d\u00e9faut avec un suffixe. Par exemple, si on l’applique \u00e0 trois points \\(A, B, C\\) cela donne : \\(dMN, dMN0\\), et \\(dMN1\\) qu’il convient ensuite de modifier dans le mode aspect des objets<\/strong> (icone \u00ab\u00a0roue\u00a0\u00bb).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Modification de dMN d\u00e9j\u00e0 effectu\u00e9e, celle de dMN0 en cours<\/em><\/p>\n\n\n\n

Le dossier \u00ab\u00a0Droites\u00a0\u00bb<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Diff\u00e9rence entre les deux<\/strong> macros<\/strong> KB droite<\/strong> : la premi\u00e8re construit la droite hyperbolique passant par deux points (la corde du cercle en fait) et la seconde (avec Pt id\u00e9aux<\/strong>) ajoute les extr\u00e9mit\u00e9s de la corde, ce sont les points \u00e0 l’infini. Cela peut \u00eatre utile dans certaines constructions.<\/p>\n\n\n\n

Diff\u00e9rence entre les deux<\/strong> macros KB m\u00e9diatrice<\/strong> : il y a la macro g\u00e9n\u00e9rique, standard, pour laquelle on donne deux points et le cercle du mod\u00e8le. Pour construire cette m\u00e9diatrice, on utilise le p\u00f4le d’une droite. Or cette droite passe par un des deux points, ce qui n’est pas possible si un des points est le centre du cercle du mod\u00e8le, car le p\u00f4le est \u00e0 l’infini. C’est pour cela qu’il y a une seconde macro KB Med dont Odl<\/strong> qui construit la KB<\/strong>-m\u00e9diatrice entre un point et le centre du cercle du mod\u00e8le. Cette macro attend, d’abord le cercle du mod\u00e8le, ensuite l’autre point que le centre du cercle.<\/p>\n\n\n\n

Le dossier \u00ab\u00a0Cycles\u00a0\u00bb<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Diff\u00e9rence entre les deux macros KB \u00e9quidistante<\/strong> : la premi\u00e8re (Cnk A B M<\/strong>) rend une conique (Cnk) et demande trois points : A<\/strong> et B<\/strong> sont les points de l’axe de l’\u00e9quidistante et M<\/strong> est le point par lequel passe l’\u00e9quidistante. Cette premi\u00e8re macro est plus esth\u00e9tique au sens o\u00f9 elle trace toute la conique, mais ne correspond par \u00e0 la d\u00e9finition de l’\u00e9quidistante par image d’un point par les droites d’un faisceau. Elle correspond plut\u00f4t \u00e0 une d\u00e9finition m\u00e9trique : l’ensemble des points \u00e0 m\u00eame distance de la droite (AB)<\/strong> que le point M<\/strong>, et dans le mod\u00e8le KB<\/strong>, donc ajoute la partie de la conique de l’autre c\u00f4t\u00e9 de l’axe que le point M<\/strong>.
La seconde macro (Lieu Drt Pt)<\/strong> construit seulement le lieu attendu (une seule partie de la conique). Elle demande non plus deux points mais la KB<\/strong>-droite, l’axe de l’\u00e9quidistante, et un point par lequel passe l’\u00e9quidistante. Cette seconde macro est plus conforme \u00e0 la d\u00e9finition de l’\u00e9quidistante retenue dans ce site.<\/p>\n\n\n\n

A propos de la macro KB Horicycle O A <\/strong>: cette macro attend un point situ\u00e9 sur le cercle (le centre de l’horicycle) et un autre point, appartenant \u00e0 l’horicycle. Contrairement aux autres macros pour lesquelles les points attendus peuvent \u00eatre cr\u00e9\u00e9s pendant l’application de la macro, le point \\(O\\) doit, lui, \u00eatre cr\u00e9\u00e9 avant. Cela vient du fait que ce point appartient au cercle qui est lui-m\u00eame demand\u00e9 comme objet initial de la macro : c’est logiquement complexe \u00e0 trancher comme situation.<\/p>\n\n\n\n

La figure contenant toutes ces macros<\/h2>\n\n\n\n

Lancer (dans un nouvel onglet) la figure de base avec toutes ces macros KB<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Dans la suite quelques d\u00e9tails techniques – d’interface – sur des figures que l’on peut r\u00e9aliser assez rapidement, puis une figure un peu plus sophistiqu\u00e9e qui illustre un r\u00e9sultat m\u00e9trique absolu, c’est-\u00e0-dire vrai dans les contextes euclidien, elliptique ou hyperbolique.<\/p>\n\n\n\n

Construire des points d’intersection – Exemple des m\u00e9dianes<\/h2>\n\n\n\n

On veut construire les KB<\/strong>-milieux \\(I, J, K\\) du triangle \\(ABC\\). Pour cela on commence par construire les c\u00f4t\u00e9s du triangle, qui sont des segments euclidiens, en utilisant l’interface de construction du logiciel. Il faut \u00eatre alors en mode standard<\/strong>, s\u00e9lectionner un point (comme \\(A\\) ci-dessous) et, dans la palette contextuelle des points, s\u00e9lectionner l’outil segment (icone la plus \u00e0 gauche de l’illustration de gauche) et l\u00e2cher la souris – ou le doigt – sur un autre sommet. <\/p>\n\n\n\n

Puis on utilise ensuite trois fois la macro KB Milieu Alg<\/strong> ce qui cr\u00e9\u00e9 les milieux nomm\u00e9s automatiquement \\(I, I_0, I_1\\) comme l’illustration de droite.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

On passe alors en mode Inspecteur des objets<\/strong> (icone \u00ab\u00a0roue\u00a0\u00bb du tableau de bord) pour changer les noms des milieux.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pour les m\u00e9dianes – dont on sait qu’elles sont concourantes – on revient en mode standard<\/strong>, pour construire les m\u00e9dianes comme segment euclidien. Pour l’intersection, on la construit \u00e0 partir de deux m\u00e9dianes. Pour cela, toujours en mode standard, on se rapproche de l’intersection de deux m\u00e9dianes jusqu’\u00e0 ce qu’elle soient toutes les deux surlign\u00e9es comme ci-dessous, et on choisi l’icone point \u00e0 gauche de la palette.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Nommer des points – Cacher\/Montrer des objets<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pour que les figures aient l’aspect des illustrations de ce site, il faut pratiquer un peu l’interface du logiciel comme d\u00e9j\u00e0 signal\u00e9 plus haut. On nomme les points \u00e0 partir du module aspect des objets<\/strong> (icone \u00ab\u00a0roue\u00a0\u00bb). Cacher ou montrer les objets se fait dans le mode \u00ab\u00a0gomme<\/strong>\u00ab\u00a0. <\/p>\n\n\n\n

Exemple du cycle circonscrit
(cercle et \u00e9quidistante)<\/h2>\n\n\n\n

Depuis trois points, on peut construire les droites ou les segments, puis les m\u00e9diatrices. On aurait pu faire comme dans les macros DP, \u00e0 savoir une macro de type Bachmann, \u00e0 savoir une macro Cycle par pinceau et point, mais on ne l’a pas fait. Et donc il faut faire deux construction : si les m\u00e9ditrices sont concourantes, on construit le cercle circonscrit, sinon, on construit la perpendiculaire commune aux m\u00e9diatrices et l’\u00e9quidistante circonscrite.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

\u00e0 gauche l’application de KB Cercle<\/strong>, au centre l’application de KB Equidist Lieu<\/strong>,
\u00e0 droite, la m\u00eame macro dans une situation proche de l’horicycle (on distingue la l’axe de l’\u00e9quidistante)<\/em><\/p>\n\n\n\n

Compl\u00e9ment technique <\/strong>: comment obtenir un triangle ayant un horicycle circonscrit ?<\/strong><\/p>\n\n\n\n

En prenant trois points de base \\(A, B, C,\\) on ne peut pas atteindre (\u00e0 la souris ou au doigt) le cas de l’horicycle. <\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pour construire un triangle avec un horicycle circonscrit, on choisit de construire \\(C\\) \u00e0 partir de \\(A\\) et \\(B\\). Pour cela, il faut prendre un des points id\u00e9aux de la m\u00e9diatrice de \\(A\\) et \\(B\\). Puis prendre une droite passant par ce point, et construire \\(C\\) comme sym\u00e9trique de \\(A\\) ou \\(B\\) par rapport \u00e0 cette droite. <\/p>\n\n\n\n

Mais comment prendre un point id\u00e9al de la m\u00e9diatrice de \\(A\\) et \\(B\\) ? Le plus simple reste de prendre deux points sur cette m\u00e9diatrice et utiliser la macro Droite avec Pts id\u00e9aux<\/strong> (voir ci-contre) puis on termine la figure avec la macro Sym Ortho 1 pt<\/strong> qui donne le point \\(D_k\\) ci-contre.<\/p>\n\n\n\n

La construction de l’horicycle de centre \\(I\\) passant par \\(A\\) passe bien par \\(B\\) et \\(D_k\\). <\/p>\n\n\n\n

Remarque pratique<\/em> : dans l’illustration pr\u00e9c\u00e9dente, et la figure ci-dessous, la conique repr\u00e9sentant l’horicycle est de densit\u00e9 1500, alors qu’elle n’est que de 500 par l’application de la macro. Si on voulait refaire cette figure, cela se r\u00e8gle dans l’inspecteur d’objet sur la conique.<\/p>\n\n\n\n

Manipulation de la figure ainsi construite<\/strong><\/p>\n\n\n