{"id":2457,"date":"2022-01-01T17:36:18","date_gmt":"2022-01-01T13:36:18","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=2457"},"modified":"2025-12-30T22:59:11","modified_gmt":"2025-12-30T18:59:11","slug":"pentagone-orthogonal-pseudospherique","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=2457","title":{"rendered":"Pentagone orthogonal pseudosph\u00e9rique"},"content":{"rendered":"\n

Cette page est un compl\u00e9ment aux pr\u00e9sentations des constructions sur la pseudosph\u00e8re par conjugaison avec le mod\u00e8le de Klein Beltrami (KB<\/strong> dans la suite), et suppose qu’on ait d\u00e9j\u00e0 pris connaissance de cette m\u00e9thode dans la page d\u00e9di\u00e9e<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Nous avons d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sent\u00e9, dans la page d’exploration des pavages<\/a> du disque de Poincar\u00e9, la premi\u00e8re g\u00e9n\u00e9ration de pavage \u00e0 partir du pentagone orthogonal, dans une figure<\/a> o\u00f9 on peut \u00e9changer P(4,5) et P(5,4) puisque le disque de pavage du pentagone orthogonal est le m\u00eame que celui du carr\u00e9 \u00e0 72\u00b0.<\/p>\n\n\n\n

On se propose donc ici de d\u00e9tailler la construction de ce m\u00eame pentagone orthogonal sur la pseudosph\u00e8re, par conjugaison avec le mod\u00e8le KB<\/strong>. On passe par la conjugaison car nous n’avons pas d\u00e9velopp\u00e9 les calculs intrins\u00e8ques d’une rotation directement sur la pseudosph\u00e8re. Il y a plusieurs variantes pour s’y prendre, nous en pr\u00e9senterons deux, une o\u00f9 l’on pilote le pentagone depuis la pseudosph\u00e8re et l’autre depuis le disque KB.<\/p>\n\n\n\n

Dans une premi\u00e8re construction, on part d’un point de la pseudosph\u00e8re qui sera le centre du pentagone, point que l’on envoie sur KB. Nous allons faire toute la construction dans KB<\/strong>, puis le pentagone et son cercle circonscrit seront renvoy\u00e9s sur la pseudosph\u00e8re. Ce qui donne ceci :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Dans cette construction, le point \\(A\\), sur la pseudosph\u00e8re, pilote le centre du pentagone. On peut faire tourner le pentagone sur son cercle circonscrit depuis le point \\(K\\) du disque de Klein Beltrami.<\/em><\/p>\n\n\n\n

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Construction du pentagone
orthogonal dans KB<\/h2>\n\n\n\n

Le rayon \\(r\\) du cercle circonscrit, cercle de pavage de P(5,4) et de P(4,5), sur la pseudosph\u00e8re, est le m\u00eame que dans le disque de Poincar\u00e9. Il est donn\u00e9 par la relation \\(ch(r_{45}) = \\displaystyle \\frac{1+\\sqrt{5}}{\\sqrt{10-2\\sqrt{5}}}\\), ce qui est repris, autrement, par l’expression \\(ch45\\). ci-dessous. On en d\u00e9duit le rayon \\(r_{45}=ch^{-1}(ch45)\\). La distance dans KB<\/strong> \u00e9tant le double que celle sur la pseudosph\u00e8re, on sera donc amen\u00e9 \u00e0 utiliser l’expression \\(2r45\\).<\/p>\n\n\n\n

Le principe de construction est de r\u00e9aliser le pentagone centr\u00e9 \u00e0 l’origine \\(Odl\\) de KB<\/strong> puisque le centre du \u00ab\u00a0disque-limite\u00a0\u00bb de Beltrami est le seul point conforme de tout le mod\u00e8le : les angles au centre du pentagone y sont les angles euclidiens. De plus un KB<\/strong>-cercle centr\u00e9 en \\(Odl\\) est un cercle euclidien. On place le projet\u00e9 \\(A_{kb}\\)dans KB<\/strong> du point \\(A\\) de la pseudosph\u00e8re. <\/p>\n\n\n\n

\u00c9tape 1<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Il faut construire le rayon du cercle centr\u00e9 en l’origine . Il est donn\u00e9 par l’expression nomm\u00e9e \\(2r45enO\\) qui va permettre de construire le point \\(rKB_e\\) qui donne un point \u00ab\u00a0euclidien\u00a0\u00bb du cercle circonscrit centr\u00e9 en \\(Odl\\) dont on sait qu’il est aussi le KB<\/strong>-cercle cherch\u00e9 en \\(Odl\\) .<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On a construit la KB-m\u00e9diatrice entre le point \\(A_{kb}\\) et \\(Odl\\). Elle coupe le cercle en \\(uU\\), et c’est sur le segment \\([Odl uU]\\) que l’on place le point \\(rKB_e\\) (d’o\u00f9 le signe \u00ab\u00a0–\u00a0\u00bb dans l’expression \\(2r45enO\\). Le sym\u00e9trique de \\(rKB_e\\) par rapport \u00e0 la KB<\/strong>-m\u00e9diatrice donne un premier point \\(C_{kb}\\) du cercle circonscrit cherch\u00e9. Point que l’on envoie sur la pseudosph\u00e8re pour construire le cercle associ\u00e9 au pentagone.<\/p>\n\n\n\n

\u00c9tape 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On peut donc construire le KB<\/strong>-cercle circonscrit au pentagone orthogonal. Sur ce cercle, on prend un point \\(K\\) que l’on renvoie en \\(s_K\\) sur le cercle centr\u00e9 en \\(Odl\\).<\/p>\n\n\n\n

Depuis ce premier point \\(s_K\\) on construit d’abord, pour l’outil \u00ab\u00a0report d’un angle\u00a0\u00bb \\(s_{K_1}\\)puis le pentagone r\u00e9gulier par de simples sym\u00e9tries.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u00c9tape 3<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Puis, toujours par sym\u00e9trie par rapport \u00e0 la m\u00e9diatrice, on termine le KB<\/strong>-pentagone r\u00e9gulier qui, par choix du rayon du cercle, circonscrit, est orthogonal<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

\u00c9tape 4<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Enfin un premi\u00e8re macro-construction transforme les sommets du pentagone en coordonn\u00e9es \\([u_{K_i}, \\theta_{K_i}]\\) pseudosph\u00e9riques nomm\u00e9es \\(CdK_i\\) … que l’on transforme enfin en points pseudosph\u00e9riques \\(LePt_{i+1}\\) (d\u00e9calage de 1 entre les coordonn\u00e9es et les points de la pseudosph\u00e8re).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

\u00c9tape 5<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pour la construction des segments entre ces points nous allons opter pour une m\u00e9thode qui n’est pas la plus naturelle qui vient \u00e0 l’esprit En effet, il serait naturel d’utiliser la macro \u00ab\u00a0Segment par coordonn\u00e9es\u00a0\u00bb pour construire chaque segment depuis ses extr\u00e9mit\u00e9s. Mais si on fait cela, la figure est tr\u00e8s longue \u00e0 s’ouvrir, au moins 10 min, et selon les ordinateurs jusqu’\u00e0 16 min. Alors que si l’on envoie sur la pseudosph\u00e8re un point de chaque segment du KB-pentagone et qu’on l’on fasse les lieux de ces cinq points, la figure s’ouvre avec un temps d’attente ordinaire, et raisonnable pour ce type de construction. Le construction finale prend alors cette forme<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Les points \\(m_{ij}\\) sont des points \u00ab\u00a0sur objet\u00a0\u00bb des segments du KB<\/strong>-pentagone. On en d\u00e9duit les coordonn\u00e9es pseudosph\u00e9riques \\(Cdm_{ij}\\) associ\u00e9es et enfin les points \\(LeM_{ij}\\) sur la pseudosph\u00e8re … dont on prend les lieux en fonction de \\(m_{ij}\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

La figure finale correspondante<\/strong><\/p>\n\n\n