{"id":1705,"date":"2021-12-10T21:43:43","date_gmt":"2021-12-10T17:43:43","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?p=1705"},"modified":"2025-12-31T12:07:19","modified_gmt":"2025-12-31T08:07:19","slug":"construction-de-malfatti-pour-des-trilateres-de-la-pseudoshere","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/curvica974.re\/?p=1705","title":{"rendered":"Construction de Malfatti pour des trilat\u00e8res de la pseudosph\u00e8re"},"content":{"rendered":"\n

Rappel du contexte de la figure<\/strong><\/p>\n\n\n\n

A l’origine du \u00ab\u00a0probl\u00e8me de Malfatti\u00a0\u00bb, il s’agit de construire trois cercles inscrits \u00e0 un triangle (un en chaque sommet) chacun tangent \u00e0 deux c\u00f4t\u00e9s du triangle et tous les trois tangents \u00e9tant deux \u00e0 deux.<\/p>\n\n\n\n

On a d\u00e9j\u00e0 propos\u00e9 une lecture absolue<\/a> de la construction traditionnelle, pour l’appliquer d’abord aux mod\u00e8les born\u00e9s de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne dont le mod\u00e8le born\u00e9 3D<\/a>, et ensuite aux g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes<\/p>\n\n\n\n

En particulier nous avons vu, dans le menu sur le disque de Poincar\u00e9, l’extension de la construction sur des trilat\u00e8res : des droites non n\u00e9cessairement s\u00e9cantes, qui ne sont pas en faisceau. On a alors pr\u00e9sent\u00e9 une construction en 14 \u00e9tapes<\/a>. Pour l\u2019anecdote, \u00e0 l’\u00e9tape 12, on avait remarqu\u00e9 que la construction propos\u00e9e n’\u00e9tait pas fameuse car on a construit un cercle ou une \u00e9quidistante, selon la configuration, en faisant les deux constructions. Ici, sur la pseudosph\u00e8re, m\u00eame si on est toujours en g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique o\u00f9 les cercles et les \u00e9quidistantes sont des objets diff\u00e9rents, nous verrons qu’une seule construction pour les deux situation va suffire.<\/p>\n\n\n\n

Cette page suppose qu’on ait parcouru quelques pages du menu PS<\/strong> en particulier la page d’interlude, sur le mod\u00e8le KB<\/strong> et les pages suivantes sur la conjugaison<\/p>\n\n\n\n

Les options possibles pour la construction sur la pseudosph\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Bien entendu la construction se fait en lien avec le mod\u00e8le de Klein-Beltrami (KB<\/strong> dans la suite). Il y a alors deux figures g\u00e9n\u00e9rales possibles :
\u2022 Soit on part de points de la pseudosph\u00e8re et on fait la figure par conjugaison<\/a>. C’est plus dans l’esprit de ce que l’on a propos\u00e9 dans le menu PS<\/a> : pour r\u00e9aliser une figure \u00ab\u00a0en manipulation directe sur la pseudosph\u00e8re\u00a0\u00bb, c’est la seule option possible.
\u2022 Soit on part de points de base de KB<\/strong> et on projette ensuite la figure sur la pseudosph\u00e8re. Cette option est encore \u00ab\u00a0en manipulation directe\u00a0\u00bb mais sur KB<\/strong> plut\u00f4t que la la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

En pratique nous proposons les deux car elles vont \u00eatre r\u00e9alis\u00e9es diff\u00e9remment et donc permettront d’explorer la situation de deux point de vue diff\u00e9rents. La seconde option est plus manipulable, mais elle prend un peu de temps \u00e0 charger en ligne.<\/p>\n\n\n\n

Un autre choix adopt\u00e9, pour les deux figures, est de prendre l’option de la plus grande repr\u00e9sentation de la feuille principale – ci dessous depuis \\(F-\\pi\\) \u00e0 \\(F+\\pi\\). Cette modification, pr\u00e9cis\u00e9e dans la page sur la conjugaison, permet une plus grande figure dans le disque-limite de Beltrami DL<\/strong>, mais modifie l’orientation entre la pseudosph\u00e8re et le plan KB<\/strong> alors qu’elle \u00e9tait respect\u00e9e avec les macros intrins\u00e8que. Ainsi, quand on fait parcourir l’horicycle d’un point dans le sens trigonom\u00e9trique par ce point, son image tourne dans l’autre sens sur son horicycle image. En particulier on voit ci-dessous que le trilat\u00e8re sur DL<\/strong> est invers\u00e9 : la droite \\((A_1 A_2)\\) est \u00ab\u00a0\u00e0 gauche\u00a0\u00bb de la figure sur la pseudosph\u00e8re, alors que la droite\\((A_{1kb} A_{2kb})\\) est \u00e0 droite de la figure sur DL<\/strong>. C’est un point \u00e0 int\u00e9grer pour manipuler rapidement la figure.<\/p>\n\n\n\n

La construction par conjugaison<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

On veut donc construire la figure en partant de points de la pseudosph\u00e8re. Pour y construire trois droites, on se donne 2 poign\u00e9es par droites et donc 6 points : \\(A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2\\). Ces points sont envoy\u00e9s sur le disque-limite de Beltrami en les m\u00eames points index\u00e9s en \\(kb\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Sur la figure, on n’affiche pas le disque limite (DL<\/strong>), trop grand, mais seulement l’horicycle rose dans lequel est contenu la pseudosph\u00e8re. On prolonge les KB<\/strong>-droites dans le plan euclidien, on construit alors le triangle \\(M_{kb}N_{kb}P_{kb}\\) qui, avec le vocabulaire de Beltrami, est un triangle id\u00e9al. Pour le mod\u00e8le KB<\/strong> c’est un triangle dans le plongement projectif du plan hyperbolique de KB<\/strong>. On fait alors la KB<\/strong>-construction de Malfatti sur ce triangle id\u00e9al, puis on renvoie les cercles sur la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

Sur l’illustration pr\u00e9c\u00e9dente, on voit que \\(P_{kb}\\) est rentr\u00e9 dans l’horicycle limite rose, et donc que son image \\(P\\) existe sur la pseudosph\u00e8re. On parle de \u00ab\u00a0point effectif\u00a0\u00bb dans le menu PS<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Voici une autre illustration<\/p>\n\n\n

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\"\"
… et sa vue de dessus …<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

La figure de manipulation<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Bien entendu, il faut afficher les altitudes pour modifier significativement la position des points. Pour les horicycles, quand on a l’habitude ce n’est pas utile de les afficher, mais pour une manipulation ponctuelle, cela peut \u00eatre utile. On n’a pas affich\u00e9 le rep\u00e8re, pour une question d’esth\u00e9tique, donc il y a un moment o\u00f9 on franchit la feuille principale ; la longitude passe de \\(2\\pi\\) \u00e0 0. Mais on le rep\u00e8re tr\u00e8s vite.<\/p>\n\n\n