{"id":947,"date":"2021-11-04T16:51:51","date_gmt":"2021-11-04T12:51:51","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=947"},"modified":"2025-12-16T15:18:47","modified_gmt":"2025-12-16T11:18:47","slug":"lecture-illustree-du-saggio-de-1868","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=947","title":{"rendered":"Lecture illustr\u00e9e du \u00ab\u00a0Saggio\u00a0\u00bb de 1868"},"content":{"rendered":"\n

Il s’agit, dans cette page, d’illustrer tr\u00e8s modestement juste quelques points du m\u00e9moire de Beltrami, qui plus est, de mani\u00e8re non technique. D’autres aspects, et en particulier des aspects plus num\u00e9riques comme les angles, seront abord\u00e9s, avec le temps, dans les articles de Blog.<\/p>\n\n\n\n

Beltrami est rest\u00e9 c\u00e9l\u00e8bre pour sa premi\u00e8re r\u00e9alisation concr\u00e8te, r\u00e9elle<\/em>, bien que seulement locale, du plan hyperbolique sur une surface plong\u00e9e dans l\u2019espace euclidien. Mais ce n\u2019est pas sans difficult\u00e9 qu\u2019il a d\u00fb d\u00e9fendre, non seulement sa profonde compr\u00e9hension de la g\u00e9om\u00e9trie diff\u00e9rentielle, mais aussi des id\u00e9es nouvelles, encore novatrices pour certaines, et parfois difficilement exprimables avec clart\u00e9 \u00e0 une \u00e9poque o\u00f9 l\u2019on s\u2019interrogeait pour savoir si des \u00e9quations d\u00e9finissaient intrins\u00e8quement une surface, ou s\u2019il y avait du sens \u00e0 justifier l\u2019existence d\u2019une g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne par la consistance des calculs analytiques qui la fondaient…<\/p>\n\n\n\n

M\u00eame si la g\u00e9om\u00e9trie des surfaces \u00e0 courbure constante n\u00e9gative est naturellement celle des plans de Lobatchevsky, il reste que ce mod\u00e8le, dans son d\u00e9tail, est r\u00e9put\u00e9 assez obscur, en partie \u00e0 cause d\u2019une complexit\u00e9 intrins\u00e8que due \u00e0 l\u2019enroulement des feuilles sur la surface, m\u00eame si la situation \u00e9tait tr\u00e8s claire pour Beltrami :<\/p>\n\n\n\n

\n

\u00ab La longueur de la zone est ind\u00e9finie, et par suite la zone s\u2019enroule un nombre fini de fois sur la surface de r\u00e9volution ; \u00e0 cette occasion, il faut observer que les points qui se superposent de cette mani\u00e8re les uns aux autres doivent \u00eatre toujours consid\u00e9r\u00e9s comme distincts, sans quoi le th\u00e9or\u00e8me, que par deux points de la surface passe une seule ligne g\u00e9od\u00e9sique, cesserait d\u2019\u00eatre vrai. \u00bb<\/em><\/p>\nSaggio di interpretazione della geometrica non euclidea …\u00a0\u00bb – Beltrami – 1868<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Le traducteur fran\u00e7ais des travaux de Beltrami \u2013 Jules Ho\u00fcel \u2013 prenait parfois lui-m\u00eame la d\u00e9fense de ses id\u00e9es et r\u00e9pondait \u00e0 ses d\u00e9tracteurs les plus farouches. Ainsi, apr\u00e8s trois ann\u00e9es de pol\u00e9miques, il devait encore \u00e9crire \u00e0 Genocchi :<\/p>\n\n\n\n

\n

\u00ab La co\u00efncidence fortuite de deux points d\u2019une surface, ne changeant rien aux propri\u00e9t\u00e9s des figures, pourvu qu\u2019on fasse toujours, comme dans les surfaces de Riemann, la distinction des nappes de la surface auxquelles elles appartiennent, me semble une preuve de la n\u00e9cessit\u00e9 d\u2019employer les coordonn\u00e9es qui se rapportent non pas aux points de l\u2019espace fixe dans lequel flotte la surface mais aux points flottants eux-m\u00eames \u00bb<\/em><\/p>\nLettre de Ho\u00fcel \u00e0 Genocchi du 16 juillet 1871<\/cite><\/blockquote>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Illustration de l’enroulement de la pseudosph\u00e8re sur elle-m\u00eame :<\/em>
\u00e0 gauche la droite passant par un point et le point plac\u00e9 un tour plus loin, \u00e0 droite la droite avec deux tours plus loin.<\/em><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Deux segments \\([AB]\\) selon la position des points et la repr\u00e9sentation de la feuille principale de la pseudosph\u00e8re.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Les points r\u00e9els et id\u00e9aux chez Beltrami et les points effectifs sur la pseudosph\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Une des difficult\u00e9s du m\u00e9moire de Beltrami, en particulier pour ses contemporains, vient du fait qu’il parle g\u00e9n\u00e9ralement de \u00ab\u00a0points r\u00e9els<\/strong>\u00a0\u00bb sur une surface pseudosph\u00e9rique alors qu’il ne s’agit pas n\u00e9cessairement de points qui appartiennent \u00e0 la pseudosph\u00e8re mais seulement des points de son disque-limite, le mod\u00e8le KB<\/strong> pr\u00e9sent\u00e9 dans les pages pr\u00e9c\u00e9dentes. Nous avons alors choisi d\u2019appeler dans cette page, points effectifs<\/strong> les points [du plan hyperbolique] qui seront effectivement sur la pseudosph\u00e8re. Par exemple reprenant une illustration d’une page pr\u00e9c\u00e9dente sur les m\u00e9diatrices d’un triangle, on voit bien une certaine confusion possible \u00e0 vouloir appeler \u00ab\u00a0r\u00e9els\u00a0\u00bb les points d’intersection entre la perpendiculaire commune et les m\u00e9diatrices : ils sont r\u00e9els dans KB<\/strong> mais n’existent pas sur la pseudosph\u00e8re. Par contre les sommets du triangle sont des points effectifs<\/strong> de la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Les points \\(H1_{kb}, H2_{kb}, H3_{kb}\\) sont bien r\u00e9els dans le plan hyperbolique KB<\/strong> mais ne correspondent <\/em>
pas \u00e0 des points effectifs de la pseudosph\u00e8re.<\/em><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Chez Beltrami, le terme r\u00e9els<\/strong> utilis\u00e9 pour les points du plan hyperbolique est utilis\u00e9 en opposition \u00e0 ce qu’il appelle les points id\u00e9aux<\/strong> qui sont les points du plan hors de son cercle-limite. En fait, depuis Klein, on peut dire que ce sont les points du plongement projectif naturel du plan hyperbolique. <\/p>\n\n\n\n

Ainsi – illustration ci-contre – ce qui pour nous est une figure \u00ab\u00a0des cercles de Malfatti d’un trilat\u00e8re dans le mod\u00e8le<\/em> KB<\/strong>\u00a0\u00bb aurait \u00e9t\u00e9 pour Beltrami une figure des cercles de Malfatti pour le triangle id\u00e9al ABC<\/strong>, m\u00eame si, rappelons le, Beltrami n’avait pas vu que son disque limite \u00e9tait un mod\u00e8le plan de la g\u00e9om\u00e9trie de Lobatchevsky.<\/p>\n\n\n\n

Ci-contre, les KB<\/strong>-droites vertes sont pilot\u00e9es par deux poign\u00e9es. Les cercles de Malfatti sont de centre \\(M_{o_{i}}\\) passant par les points \\(M_{p_{i}}\\). Ce sont les cercles de Malfatti de ABC<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Dans le \u00ab\u00a0Saggio\u00a0\u00bb les points id\u00e9aux<\/strong> sont donc tout simplement les points en dehors du disque-limite, ce qui renforce le vocabulaire de points r\u00e9els<\/strong> \u00e0 l’int\u00e9rieur du cercle vu la pr\u00e9sence r\u00e9guli\u00e8re de l’expression \\(\\sqrt{a^2-u^2-v^2}\\) dans les calculs de Beltrami autour de ses coordonn\u00e9es curvilignes.<\/p>\n\n\n\n

Les coordonn\u00e9es beltramiennes<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Reprenons le d\u00e9roul\u00e9 du \u00ab\u00a0Saggio\u00a0\u00bb. Beltrami poursuit donc son travail initi\u00e9 en 1865, avec ses coordonn\u00e9es curvilignes, et calcule l’angle entre deux lignes g\u00e9od\u00e9siques u=constante<\/em> et v=constante<\/em>. Il rencontre alors le terme \\(\\sqrt{a^2-u^2-v^2}\\) o\u00f9 \\(a\\) est une constante. Ses calculs n\u2019ont ainsi de sens que pour \\((u,v)\\) \u2013 consid\u00e9r\u00e9es maintenant comme coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes dans un plan euclidien – \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur d\u2019un cercle de rayon \\(a\\) <\/em>qu\u2019il appelle cercle limite<\/em>, et dont il montre en d\u00e9tail que les points correspondent aux points \u00e0 l\u2019infini de la surface qu\u2019il \u00e9tudie. Il en d\u00e9duit :<\/p>\n\n\n\n

\n

\u00ab Donc les lignes g\u00e9od\u00e9siques formant le syst\u00e8me \\(u = constante\\) sont toutes orthogonales \u00e0 la ligne g\u00e9od\u00e9sique \\(v=0\\) et les lignes g\u00e9od\u00e9siques \\(v= constante\\) sont orthogonales aux lignes g\u00e9od\u00e9siques \\(u=0\\). Cela revient \u00e0 dire qu\u2019au point \\(u=0\\) et \\(v=0\\) concourent deux lignes g\u00e9od\u00e9siques orthogonales entre elles que nous appellerons fondamentales. …\u00bb<\/p>\n\u00ab Saggio di interpretazione … \u00bb <\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Les \u00ab\u00a0g\u00e9od\u00e9siques fondamentales\u00a0\u00bb ne sont pas orthogonales entre elles, mais les g\u00e9od\u00e9siques bleues sont toutes <\/em>
orthogonales \u00e0 la g\u00e9od\u00e9sique verte, ce qui se voit bien ci-dessous<\/em> (car la<\/em> pseudosph\u00e8re est conforme)<\/em><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Un peu plus loin il \u00e9crit<\/p>\n\n\n\n

\n

\u00ab…et chaque point de la surface est d\u00e9termin\u00e9 comme intersection de deux lignes g\u00e9od\u00e9siques men\u00e9es par ce point perpendiculairement aux lignes fondamentales ce qui constitue \u00e9videmment une g\u00e9n\u00e9ralisation de la m\u00e9thode cart\u00e9sienne ordinaire. \u00bb<\/em><\/p>\n\u00ab\u00a0Saggio … \u00ab\u00a0<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Et dans une note en fin d’article, il donne cette pr\u00e9cision que nous allons illustrer<\/p>\n\n\n\n

\n

\u00ab\u00a0… les lignes orthogonales \u00e0 celles qui partent de l’origine sont repr\u00e9sent\u00e9es par les cordes du cercle-limite perpendiculaires aux diam\u00e8tres qui repr\u00e9sentent ces derni\u00e8res lignes g\u00e9od\u00e9siques. R\u00e9ciproquement pour que deux lignes g\u00e9od\u00e9siques se coupant en (u,v) soient repr\u00e9sent\u00e9es sur le plan auxiliaire par deux droites orthogonales, il faut que l’une ou l’autre de ces g\u00e9od\u00e9siques passent par l’origine (u=0, v=0)\u00a0\u00bb<\/p>\n\u00ab\u00a0Saggio …\u00a0\u00bb – Note de bas de page de la note 2 p. 284<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Dans la figure suivante, on prend un point \\(M_{kb}\\) sur l’ellipse limite de la pseudosph\u00e8re dans KB<\/strong>. Il est repr\u00e9sent\u00e9 par le point \\(M\\) sur l’\u00e9quateur de la pseudosph\u00e8re. On appelle \\(N_{kb}\\) le point dans KB<\/strong> (point limite de la PS<\/strong>) de la droite perpendiculaire en l’origine \\(O_{dl}\\) au segment \\([O_{dl}M_{kb}]\\). On le repr\u00e9sente par \\(N\\) sur la pseudosph\u00e8re c’est encore un point de l’\u00e9quateur. On a not\u00e9 ici \\(O_b\\) l’origine sur la pseudosph\u00e8re des coordonn\u00e9es beltramienne, image du point \\(O_{dl}\\).<\/p>\n\n\n\n

On se propose d’illustrer la partie r\u00e9ciproque de la note. Pour cela on se donne un point \\(U_{kb}\\) du segment \\([O_{dl}M_{kb}]\\) et la perpendiculaire euclidienne au segment passant par le point. Sur cette perpendiculaire on se donne un point \\(W_{kb}\\) d’o\u00f9 on m\u00e8ne la perpendiculaire cette fois \u00e0 \\([O_{dl}N_{kb}]\\), segment coup\u00e9 en \\(V_{kb}\\). Ce que dit la note de Beltrami est que sur la pseudosph\u00e8re, les droites correspondantes sont elles aussi perpendiculaires en les points \u00ab\u00a0de retour\u00a0\u00bb \\(U\\) et \\(V\\).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On constate, visuellement seulement, que le quadrilat\u00e8re \\(O_bVWU\\) a trois angles droits, l’angle en \\(W\\) ne pouvant pas \u00eatre droit puisqu’en g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique la somme des angles d’un quadrilat\u00e8re ne peut pas \u00eatre \u00e9gal \u00e0 \\(4\\pi\\). Dans KB<\/strong> le quadrilat\u00e8re est un rectangle mais le mod\u00e8le KB<\/strong> n’est pas conforme. Ce que dit la note est que les angles droits euclidiens en les trois autres points que \\(W_{kb}\\) sont aussi droits pour la g\u00e9om\u00e9trie de Lobatchevsky. <\/p>\n\n\n

\n
\"\"
M\u00eame configuration vue de dessus<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

C’est remarquable comme r\u00e9sultat pour l’\u00e9poque et montre bien la vision claire que Beltrami avait de son mod\u00e8le. Cela dit, avec la vision projective du mod\u00e8le KB<\/strong>, cela devient \u00e9vident : en effet la KB<\/strong>-perpendiculaire \u00e0 une droite en un point passe par le point et le p\u00f4le de la droite. Or le p\u00f4le d’un diam\u00e8tre est \u00e0 l’infini et donc la KB<\/strong>-perpendiculaire \u00e0 un diam\u00e8tre du \u00ab\u00a0cercle-limite\u00a0\u00bbest \u00ab\u00a0trivialement’ la perpendiculaire euclidienne. C’est la raison pour laquelle nous n’avons pas d\u00e9taill\u00e9 plus avant les v\u00e9rifications sur la pseudosph\u00e8re (par des hauteurs par exemple). Il reste que cela produit de jolies illustrations. Par exemple on peut s’amuser \u00e0 voir des cas particulier<\/p>\n\n\n

\n
\"\"
Ici on a plac\u00e9 \\(W_{kb}\\) sur le m\u00e9ridien origine. On voit que \\(W\\) s’aligne bien sur le m\u00e9ridien passant par \\(O_b\\).<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n
\n
\"\"
Ou encore \\(W_{kb}\\) sur le m\u00e9ridien d’origine \\(M_{kb}\\).<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

Manipulation de la figure associ\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n