{"id":92,"date":"2021-10-15T14:42:52","date_gmt":"2021-10-15T10:42:52","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=92"},"modified":"2023-06-27T23:02:53","modified_gmt":"2023-06-27T19:02:53","slug":"ps","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=92","title":{"rendered":"Pseudosph\u00e8re – L’essai de Beltrami"},"content":{"rendered":"\n

G\u00e9om\u00e9trie intrins\u00e8que des surfaces<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

En d\u00e9gageant le concept de g\u00e9om\u00e9trie diff\u00e9rentielle (1828), Gauss ouvrait un champ d\u2019investigation aussi nouveau que prometteur. Sa d\u00e9marche a \u00e9t\u00e9 de consid\u00e9rer les surfaces comme \u00e9tant intrins\u00e8quement de dimension 2. Apr\u00e8s y avoir d\u00e9fini des coordonn\u00e9es curvilignes et la forme quadratique associ\u00e9e (forme fondamentale), Gauss d\u00e9gage les notions propres \u00e0 la surface (la courbure g\u00e9od\u00e9sique et les lignes associ\u00e9es par exemple) de celles qui sont li\u00e9es \u00e0 son plongement dans un espace euclidien environnant (courbure int\u00e9grale, seconde forme fondamentale) et fait le lien entre elles \u2013 le fameux theorema egregium<\/em>. Ceci \u00e9tant fait, il s\u2019int\u00e9resse ensuite \u00e0 la notion d\u2019isom\u00e9trie locale ce qui aboutit \u00e0 la notion de g\u00e9om\u00e9trie intrins\u00e8que des surfaces.<\/p>\n\n\n\n

En 1863, Beltrami est nomm\u00e9 professeur de g\u00e9od\u00e9sie \u00e0 l\u2019universit\u00e9 de Pise. Il s\u2019int\u00e9resse \u00e0 la cartographie, la repr\u00e9sentation des surfaces sur un plan avec cette probl\u00e9matique g\u00e9n\u00e9rale et r\u00e9currente : \u00ab dans quelle mesure au plus court chemin sur la surface peut-on faire correspondre le plus court chemin sur le plan – le segment ? \u00bb. D\u2019 o\u00f9 cette recherche fondamentale de la lin\u00e9arisation des g\u00e9od\u00e9siques.<\/p>\n\n\n\n

Beltrami conna\u00eet bien le trait\u00e9 de Gauss, il l\u2019a m\u00eame traduit en italien. Par ailleurs, comme sp\u00e9cialiste de g\u00e9od\u00e9sie, il conna\u00eet bien entendu aussi un r\u00e9sultat plus ancien et qu\u2019il imagine prometteur de Lagrange (1779) sur la construction des cartes de la planisph\u00e8re : la projection depuis le centre de la sph\u00e8re sur un plan fait correspondre, d\u2019une part aux g\u00e9od\u00e9siques (les grands cercles) les droites, et r\u00e9ciproquement, seule aux g\u00e9od\u00e9siques correspondent les droites : pour la sph\u00e8re, la question a donc \u00e9t\u00e9 enti\u00e8rement r\u00e9solue, et de mani\u00e8re simple et \u00e9l\u00e9gante par Lagrange. Beltrami pense naturellement qu\u2019avec les outils contemporains de la g\u00e9om\u00e9trie des surfaces, ce r\u00e9sultat sur la sph\u00e8re devrait facilement trouver une g\u00e9n\u00e9ralisation. Et l\u2019aventure de Beltrami commence par un r\u00e9sultat n\u00e9gatif qui le d\u00e9\u00e7oit dans un premier temps :<\/p>\n\n\n\n

\u00ab … les seules surfaces susceptibles d’\u00eatre repr\u00e9sent\u00e9es sur un plan, en sorte qu’\u00e0 chaque point de l’une corresponde un point de l’autre et qu’\u00e0 chaque ligne g\u00e9od\u00e9sique corresponde une ligne droite, sont celles dont la courbure est partout constante (positive, n\u00e9gative ou nulle). \u00bb<\/em><\/p>
\u00ab Risoluzionne del problema : Riportare i punti una superficie sopra un piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee rette \u00bb (1865)<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Mais Beltrami persiste, et s\u2019int\u00e9resse donc aux surfaces \u00e0 courbure constante n\u00e9gative. Dans son projet, initialement, il n\u2019y a pas de recherche de repr\u00e9sentation de la g\u00e9om\u00e9trie de Lobatchevsky, il ne le lira qu\u2019en 1866, juste l\u2019interrogation naturelle pour une probl\u00e9matique fondamentale de g\u00e9od\u00e9sique …<\/p>\n\n\n\n

Pour arriver \u00e0 son r\u00e9sultat, dans son article de 1865, Beltrami avait d\u00e9j\u00e0 mis en \u00e9vidence une param\u00e9trisation totalement adapt\u00e9e \u00e0 la lin\u00e9arisation des g\u00e9od\u00e9siques des surfaces \u00e0 courbure constante n\u00e9gative, plus pr\u00e9cis\u00e9ment, ses coordonn\u00e9es curvilignes (on dira \u00ab coordonn\u00e9es beltramiennes \u00bb conform\u00e9ment \u00e0 l\u2019usage) sont telles que toute \u00e9quation lin\u00e9aire repr\u00e9sente une g\u00e9od\u00e9sique et r\u00e9ciproquement toute g\u00e9od\u00e9sique est repr\u00e9sent\u00e9e par une \u00e9quation lin\u00e9aire des coordonn\u00e9es beltramiennes.<\/p>\n\n\n\n

La pseudosph\u00e8re<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Il poursuit son travail en approfondissant l\u2019\u00e9tude du cas particulier de surfaces \u00e0 courbure constante n\u00e9gative. Il n\u2019est pas le premier. Cette \u00e9tude avait \u00e9t\u00e9 inaugur\u00e9e par Gauss lui-m\u00eame qui avait d\u00e9j\u00e0 mentionn\u00e9 la pseudosph\u00e8re sous le nom de \u00ab Gegenst\u00fcck der Kugel \u00bb (homologue \u00e0 la sph\u00e8re) et montr\u00e9 \u2013 entre autres \u2013 que l\u2019aire l\u2019un triangle g\u00e9od\u00e9sique \\(ABC\\) sur une surface de courbure constante \\(\\displaystyle \\frac{-1}{R^2}\\) est \\(R^2(\\pi-\\widehat{A}-\\widehat{B}-\\widehat{C})\\), avec la mesure des angles en radians. Elle avait surtout \u00e9t\u00e9 poursuivie par Minding, en 1839 lors d\u2019une \u00e9tude sur le d\u00e9veloppement d\u2019une surface sur une autre. Lui aussi avait \u00e9t\u00e9 amen\u00e9 \u00e0 d\u00e9crire la pseudosph\u00e8re comme cas particulier \u00e9l\u00e9mentaire de surface \u00e0 courbure constante n\u00e9gative : dans l\u2019int\u00e9gration d\u2019une \u00e9quation aux d\u00e9riv\u00e9es partielles, il choisit un des coefficients nul ce qui \u00e9limine un terme rectangle largement plus d\u00e9licat \u00e0 int\u00e9grer dans le cas g\u00e9n\u00e9ral. Ce sont les surfaces peudosph\u00e9riques hyperbolique et elliptique que l’on aborde dans le menu PSH<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

La question de l’enroulement<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Minding a montr\u00e9 que pour \u00eatre \u00ab d\u00e9veloppables l\u2019une sur l\u2019autre \u00bb, les surfaces doivent \u00eatre \u00e0 courbure constante et de m\u00eame courbure. Ce r\u00e9sultat sera essentiel quand Beltrami aura \u00e0 expliquer la possibilit\u00e9 de l\u2019enroulement de la pseudosph\u00e8re sur elle-m\u00eame. On parle depuis de \u00ab\u00a0rev\u00eatement\u00a0\u00bb de la pseudosph\u00e8re. Selon les historiens des math\u00e9matiques, les r\u00e9sultats de Minding, en particulier les nombreux d\u00e9veloppements trigonom\u00e9triques de ses articles de 1839 et 1840 contenaient assez d\u2019\u00e9l\u00e9ments pour faire le lien avec les relations trigonom\u00e9triques de \u00ab la th\u00e9orie des parall\u00e8les \u00bb de Lobatchevsky, mais encore fallait-il conna\u00eetre ces travaux, peu r\u00e9pandus alors \u00e0 cette \u00e9poque. Or ceux-ci ont \u00e9t\u00e9 traduits, en particulier en fran\u00e7ais par Jules Ho\u00fcel, en 1866, dans la version de 1840, \u00e9crite en allemand. Beltrami en a pris connaissance et a commenc\u00e9, sur la base de ses propres d\u00e9veloppements \u2013 en particulier son syst\u00e8me de coordonn\u00e9es curvilignes – \u00e0 se pencher sur la correspondance entre la g\u00e9om\u00e9trie naturelle des surfaces \u00e0 courbure constante n\u00e9gative et la g\u00e9om\u00e9trie plane de Lobatchevsky.<\/p>\n\n\n\n

Le disque limite de Beltrami<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Dans son \u00ab\u00a0Essai d’intrepr\u00e9tation de la g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne\u00a0\u00bb<\/em> de 1868, Beltrami reprend son syst\u00e8me de coordonn\u00e9es curvilignes \\((u, v)\\) <\/em>d\u2019une surface \u00e0 courbure constante n\u00e9gative et calcule l\u2019angle entre les deux lignes g\u00e9od\u00e9siques coordonn\u00e9es u= constante <\/em>et v = constante<\/em>. Il rencontre alors le terme \\((a^2-u^2-v^2)\\) o\u00f9 \\(a\\) <\/em>est une constante. Ses calculs n\u2019ont donc de sens que pour \\((u, v)\\) \u2013 consid\u00e9r\u00e9es maintenant comme coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes dans un plan euclidien – \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur d\u2019un cercle de rayon \\(a\\) <\/em>qu\u2019il appelle cercle limite<\/em>, et dont il montre en d\u00e9tail que les points correspondent aux points \u00e0 l\u2019infini de la surface qu\u2019il \u00e9tudie. <\/p>\n\n\n\n

Pour Beltrami, son disque limite<\/em> n\u2019est qu\u2019un outil interm\u00e9diaire pour son \u00e9tude des g\u00e9od\u00e9siques. Quelques mois apr\u00e8s la publication de son essai, Klein compris imm\u00e9diatement que le disque limite de Beltrami \u00e9tait en fait un mod\u00e8le du plan hyperbolique, et m\u00eame un mod\u00e8le du plan hyperbolique entier<\/em>, ce qui n’est pas le cas de la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

La mise en \u00e9vidence de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans la troisi\u00e8me partie de son essai, Beltrami entame l’\u00e9tude des angles entre les g\u00e9od\u00e9siques en fonction des angles des cordes correspondantes dans le disque limite, et il fait ce que l’on peut appeler la premi\u00e8re \u00ab\u00a0vraie\u00a0\u00bb figure hyperbolique, m\u00eame si lui-m\u00eame ne la percevait pas comme cela – dans le futur mod\u00e8le de Kein-Beltrami, figure qu’il commente ainsi : <\/p>\n\n\n\n

\"\"
Original du \u00ab\u00a0Saggio\u00a0\u00bb de Beltrami<\/sub><\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Par un point (r\u00e9el) quelconque de la surface, on peut toujours mener deux lignes g\u00e9od\u00e9siques (r\u00e9elles), parall\u00e8les \u00e0 une m\u00eame ligne g\u00e9od\u00e9sique qui ne passe pas par ce point, et ces deux lignes g\u00e9od\u00e9siques font entre elles un angle qui diff\u00e8re \u00e0 la fois de 0 et de 180 degr\u00e9s<\/em>.<\/p>

Ce r\u00e9sultat s\u2019accorde, sauf la diff\u00e9rence des termes employ\u00e9s, avec ce qui forme la base de la g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne<\/em>.<\/p>
\u00ab Essai d’interpr\u00e9tation de la g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne \u00bb – Beltrami – 1868<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

On reviendra, dans l’item proposant une lecture illustr\u00e9e de son \u00ab\u00a0essai d’interpr\u00e9tation\u00a0\u00bb, sur l’ambiguit\u00e9 du terme \u00ab\u00a0point r\u00e9el\u00a0\u00bb chez Beltrami.<\/p>\n\n\n\n

Une construction physique de la pseudosph\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Parce qu\u2019il n\u2019\u00e9tait pas int\u00e9ress\u00e9 par l\u2019axiomatique, la probl\u00e9matique d\u2019un mod\u00e8le d\u2019une g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne ne concernait pas Beltrami. Aussi, quand il a (tr\u00e8s rapidement d\u2019ailleurs) pris conscience que la g\u00e9om\u00e9trie des surfaces \u00e0 courbure constante \u00e9tait \u2013 au moins localement \u2013 r\u00e9gie par la g\u00e9om\u00e9trie des plans de Lobatchevsky fut-il essentiellement concern\u00e9 par la mise en place d\u2019une correspondance bijective entre le plan de Lobatchevsky (au tout au moins une partie) et certaines surfaces \u00e0 courbure constante n\u00e9gative.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

En partie pour r\u00e9pondre aux critiques de l\u2019\u00e9poque sur l\u2019existence m\u00eame de surfaces pseudosph\u00e9riques \u2013 mais aussi pour v\u00e9rifier les r\u00e9sultats de son essai, et exp\u00e9rimenter, Beltrami a plusieurs fois construit physiquement (des approximations de) ces surfaces, de 1869 \u00e0 1872.<\/p>\n\n\n\n

\u00ab Ce matin, avec l\u2019aide d\u2019un de mes \u00e9l\u00e8ves, qui est bon dessinateur, j\u2019ai d\u00e9coup\u00e9 un mod\u00e8le en carton qui m\u2019est assez bien r\u00e9ussi, et qui me servira pour un nouvel essai de construction d\u2019une surface pseudosph\u00e9rique. Vous parlez de proposition empirique que l\u2019on pourrait trouver par ce moyen, et vous avez raison, car il s\u2019agit de surfaces dont on ne poss\u00e8de pas les \u00e9quations g\u00e9n\u00e9rales. Voici pr\u00e9cis\u00e9ment une proposition empirique que j\u2019ai commenc\u00e9 \u00e0 soup\u00e7onner : Une surface pseudosph\u00e9rique peut toujours \u00eatre pli\u00e9e de mani\u00e8re qu\u2019une quelconque de ses lignes g\u00e9od\u00e9siques devienne une ligne droite. <\/em>\u00bb<\/p>
Lettre \u00e0 Jules Ho\u00fcel, du 25 mars 1869 – La d\u00e9couverte de la g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne sur la pseudosph\u00e8re \u2013 lettres d\u2019Eugenio Beltrami \u00e0 Jules Ho\u00fcel (1868-1881)<\/em><\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Pr\u00e9sentation des items de ce menu PS<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Dans le premier item, on pr\u00e9sente la construction pratique des segments et des droites sur la pseudosph\u00e8re. On aborde rapidement la question de l’enroulement des objets sur les diff\u00e9rentes feuilles. On pr\u00e9sente une figure permettant de placer des points sur les deux feuilles autour de la feuille principale.<\/p>\n\n\n\n

Les deux items suivants abordent les premi\u00e8res propri\u00e9t\u00e9s des triangles sur la pseudosph\u00e8re, tout d’abord sur les milieux, et second sur l’orthogonalit\u00e9. Ces r\u00e9sultats sont produits dans le cadre de la g\u00e9om\u00e9trie intrins\u00e8que des surfaces : les calculs sont fait sur la pseudosph\u00e8re. C’est encore le cas dans l’item suivant sur les cercles. On poursuit l’exploration des cycles dans l’item suivant, consacr\u00e9 aux \u00e9quidistantes et aux horicycles. Pour cela, on utilise les calculs sur l’orthogonalit\u00e9 pour se permettre, avec les outils d\u00e9velopp\u00e9s, des constructions plus g\u00e9om\u00e9triques sur la pseudosph\u00e8re pour ces deux cycles biens particuliers. La pseudosph\u00e8re \u00e9tant un mod\u00e8le local, on ne peut explorer que des traces de ces objets sur la pseudosh\u00e8re. Jusqu’ici, tout est enti\u00e8rement fait sur la pseudosph\u00e8re. Et ce dernier item est l’occasion de pr\u00e9senter (un peu rapidement) la fa\u00e7on de travailler pour r\u00e9aliser ces figures.<\/p>\n\n\n\n

Ensuite, pour r\u00e9aliser des figures plus complexes, on a choisi de travailler par conjugaison avec le \u00ab\u00a0Disque Limite\u00a0\u00bb (DL<\/strong>) de Beltrami qu’on appelle depuis le mod\u00e8le de Klein-Beltrami. Pour cela un item d’interlude pr\u00e9sente les objets de base – dont l’orthogonalit\u00e9 et les cycles – de ce mod\u00e8le. <\/p>\n\n\n\n

Puis deux items sont consacr\u00e9s \u00e0 la conjugaison : une page de pr\u00e9sentation et d’application imm\u00e9diate sur l’exemple des cycles circonscrits \u00e0 un triangle, puis une page de r\u00e9alisation plus originales comme le \u00ab\u00a0r\u00eave de Coxeter\u00a0\u00bb qui consiste \u00e0 enrouler une courbe – en fait une \u00e9quidistante – \u00e0 l’infini sur \u00ab\u00a0la corne de la pseudosph\u00e8re\u00a0\u00bb pour reprendre les mots de Coxeter lui-m\u00eame.<\/p>\n\n\n\n

Un dernier item reprend quelques points du m\u00e9moire de Beltrami en les illustrant de figures dynamiques.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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