{"id":8940,"date":"2026-10-27T23:20:51","date_gmt":"2026-10-27T19:20:51","guid":{"rendered":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=8940"},"modified":"2026-10-28T00:50:30","modified_gmt":"2026-10-27T20:50:30","slug":"regionnement-du-plan-selon-lorthogonalite-de-hilbert-3-3-remplissage-du-plan-entier","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=8940","title":{"rendered":"R\u00e9gionnement du plan selon l’orthogonalit\u00e9 de Hilbert : (3\/3) – Remplissage du plan entier"},"content":{"rendered":"\n

On poursuit la probl\u00e9matique du r\u00e9gionnement du plan selon l’orthogonalit\u00e9 vis \u00e0 vis d’une H-droite coupant l’ellipse. Dans :
\u2022 La premi\u00e8re page<\/a>, on a mis en \u00e9vidence la fronti\u00e8re des r\u00e9gions 2H-2H1E<\/strong>, puis d\u00e9gag\u00e9 la propri\u00e9t\u00e9 que cette fronti\u00e8re ne d\u00e9pendait que d’une pente de droite, nomm\u00e9e \\(m\\), et donc, construit des H-droites \u00e0 partir de ce param\u00e8tre \\(m\\) et d’un coefficient \\(kCtr\\) qui permet de balayer dans l’ellipse toutes les droites associ\u00e9es \u00e0 ce coefficient \\(m\\).
\u2022 La deuxi\u00e8me page<\/a> a abord\u00e9 l’\u00e9mergence des points de rebroussement en fonction du param\u00e8tre \\(m\\), et d\u00e9taill\u00e9, par des zooms de la figure, les diff\u00e9rentes r\u00e9gions possibles \u00e0 l’int\u00e9rieur des diff\u00e9rents points de rebroussements, en particulier la distinction entre les micro-r\u00e9gions 3H1E<\/strong> et 3H<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Cette troisi\u00e8me page aborde donc d\u00e9sormais le remplissage complet du plan en ajoutant 4 r\u00e9gions manquantes, les r\u00e9gions 1H<\/strong>, 1E<\/strong>, 1H1E<\/strong> et 0P<\/strong> (aucune perpendiculaire). La situation g\u00e9n\u00e9rale (pour une enveloppe lisse, avec 6 r\u00e9gions diff\u00e9rentes) peut se pr\u00e9senter ainsi :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pr\u00e9sentation des diff\u00e9rentes r\u00e9gions associ\u00e9es \u00e0 l’orthogonalit\u00e9 vis \u00e0 vis de la droite (Ph Qb).
Ici, \\(I\\) est dans la r\u00e9gion 2H1E<\/strong>, on voit les deux perpendiculaires hilbertiennes et celle euclidienne.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Illustrations<\/strong> avec \\(I\\) variable, \\(m\\) fixe, \\(kCtr\\) variable – 6 illustrations<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans cette galerie, \\(m\\) est fixe, et tel que l’enveloppe 2H<\/strong> est lisse. Le curseur \\(kCtr\\) va de 0,003 \u00e0 0,981 ce qui permet de faire balayer \u00e0 la droite (avec le m\u00eame coefficient \\(m\\) toute l’ellipse, de son sommet gauche (-1,0) \u00e0 son sommet droit (1,0). On l’a d\u00e9j\u00e0 dit, c’est tout l\u2019int\u00e9r\u00eat de cette approche par \\(m, \\,kCtr\\).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

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Illustrations avec les points de rebroussement actifs<\/h2>\n\n\n\n

Apr\u00e8s l’enveloppe lisse, voici des cas o\u00f9 l’enveloppe est born\u00e9e, avec \\(I\\) sur les points de rebroussement, pour voir les trois pieds des perpendiculaires confondus, avec, comme d\u00e9j\u00e0 expliqu\u00e9 \u00e0 la page pr\u00e9c\u00e9dente, la distance pas tout \u00e0 fait nulle entre les deux pieds des perpendiculaires confondus (ci-dessous \\(Hh_2\\) et \\(Hh_3\\)) et le troisi\u00e8me (\\(Hh_1\\)), \u00e0 \\(10^{-5}\\), car le point de rebroussement est approch\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Un premier point de rebroussement \u00e0 droite (avec \\(m>0\\))<\/strong><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

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Illustrations du point de rebroussement \u00e0 gauche, pour cinq valeurs de<\/strong> \\(m\\)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Quelques exemples pour des valeurs de \\(m\\), d’abord deux n\u00e9gatives, puis trois positives, la derni\u00e8re \u00e9tant \u00e0 la fronti\u00e8re du point de rebroussement \u00e0 gauche. On observera la pr\u00e9cision, sur les distances des pieds. En g\u00e9n\u00e9ral \\(kCtr\\) est proche de 0,9 car c’est la valeur autour de laquelle les parties 2H<\/strong> et 3H<\/strong> sont les plus grandes, mais \u00e0 l’illustration 4, on a mis \\(kCtr\\) proche du maximum, ce qui rend la droite tr\u00e8s proche du sommet et les trois perpendiculaires presque confondues avec \\(Q_b\\).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

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Illustrations pour des situations \u00e0 deux points de rebroussement<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Voici maintenant diverses configurations o\u00f9 les deux points de rebroussement admettent encore chacun trois perpendiculaires \u00e0 \\((P_hQ_b)\\). On pr\u00e9sente les configurations par \\(m\\) croissant. Dans chaque cas, on place \\(I\\) sur les deux \u00ab\u00a0cusps\u00a0\u00bb. On remarquera que, pour \\(I\\) sur \\(Cusp_1\\), la pr\u00e9cision entre les deux pieds confondus et le troisi\u00e8me pied, est bien plus pr\u00e9cise qu’avec \\(Cusp_2\\), avec un facteur de pr\u00e9cision de l’ordre de 10, et m\u00eame 20 dans le premier cas, car \\(kCtr\\) est plus grand.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

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Manipulation de la figure dynamique<\/h2>\n\n\n\n

Voici la figure g\u00e9n\u00e9rique, pour tester les diff\u00e9rentes configurations illustr\u00e9es ci-dessus. N’h\u00e9sitez pas \u00e0 zoomer pour retrouver l’int\u00e9rieur des points de rebroussement, comme explos\u00e9 \u00e0 la page pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n\n


Comment zoomer <\/strong>:
\u2022 dans une page web, plus pr\u00e9cis\u00e9ment dans une iframe<\/strong> comme ci-dessous, il faut \u00e9carter deux doigts<\/strong> sur le trackpad.
\u2022 mais, directement dans le navigateur, au sens de directement dans le logiciel,<\/strong> il faut glisser deux doigts<\/strong> joints et le zoom est bien plus rapide.<\/p>\n\n\n