{"id":8784,"date":"2026-08-19T22:50:56","date_gmt":"2026-08-19T18:50:56","guid":{"rendered":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=8784"},"modified":"2026-08-19T23:01:24","modified_gmt":"2026-08-19T19:01:24","slug":"regionnement-du-plan-vis-a-vis-de-lorthogonalite-2-3-linterieur-des-points-de-rebroussement","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=8784","title":{"rendered":"R\u00e9gionnement du plan vis \u00e0 vis de l’orthogonalit\u00e9 – (2\/3) l’int\u00e9rieur des points de rebroussement."},"content":{"rendered":"\n

Dans une premi\u00e8re version, quand l’enveloppe n’\u00e9tait constitu\u00e9e que de 16 points, les points de rebroussement ne pouvaient \u00eatre trait\u00e9s que dans leur globalit\u00e9 : il \u00e9taient rouge s’il pouvait y avoir trois perpendiculaires hilbertiennes, et vert s’il y avait en plus la perpendiculaire euclidienne. On en trouve encore des traces dans cette vid\u00e9o<\/a> ou ce caroussel<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Avec l’am\u00e9lioration de l’enveloppe (qui peut avoir de 80 \u00e0 plus de 200 points dans certains cas), on peut se permettre de zoomer la figure, et donc d’affiner le contenu int\u00e9rieur d’un point de rebroussement. Mais en pratique, c’est surtout la construction d’une figure par \\((m, \\; Ctr)\\) plut\u00f4t que par deux points \\(A, \\; B\\) qui permet, pour un coefficient \\(m\\) donn\u00e9 – et donc un rebroussement fixe, de parcourir toutes les positions possibles de travers\u00e9e des droites de r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 travers cette enveloppe, ce qui donne, avec de gros zoom, de tr\u00e8s belles figures manipulable au curseur \\(kCtr\\) de la page pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n\n

Les diff\u00e9rents points de rebroussement<\/h2>\n\n\n\n

Dans ces figures, la nouvelle enveloppe est produite – et finement g\u00e9r\u00e9e, par Claude. Un article de blog reviendra en d\u00e9tail sur ce sujet. Comme l’objectif annonc\u00e9 \u00e9tait de travailler sur \u00ab\u00a0les cusps\u00a0\u00bb les points de rebroussements, surtout ceux \u00e0 gauche qui n’\u00e9tait pas du tout g\u00e9rable dans la version pr\u00e9c\u00e9dente, Claude a alors d\u00e9termin\u00e9 les seuils d’apparition des points de rebroussement.<\/p>\n\n\n\n

Tout d’abord le contexte g\u00e9om\u00e9trique du mod\u00e8le de Hilbert est sym\u00e9trique par rapport l’axe des ordonn\u00e9es. La sextique g\u00e9n\u00e9rale est sym\u00e9trique, c’est donc aussi le cas pour la petite partie utile pour la fronti\u00e8re 2H-2H1E<\/strong> – ce que l’on appelle \u00ab\u00a0l’enveloppe\u00a0\u00bb. On a m\u00eame pr\u00e9cis\u00e9ment \\(P_6(x,-y,-m)=P_6(x,y,m)\\). Ainsi, les configurations pour \\(m > 0\\) ont leurs miroirs pour \\(m < 0\\).<\/p>\n\n\n\n

\u2022 L’enveloppe est lisse pour \\(|m|>m^*=\\displaystyle \\frac{3}{\\sqrt{15}}\\). C’est la partie trait\u00e9e \u00e0 la page pr\u00e9c\u00e9dente.
\u2022 L’enveloppe a un point de rebroussement pour \\(0,688 < |m| < m^*\\), ouvert vers l’ellipse, et donc pointant vers la droite.
\u2022 L’enveloppe admet deux point de rebroussement pour \\(0,182 < |m| < 0,688\\), mais souvent celui de gauche, est un point de rebroussement proche de l’extr\u00e9mit\u00e9 de l’enveloppe, qui n’offre pas d’int\u00e9r\u00eat en terme de perpendiculaires hilbertienne. On parlera alors point de rebroussement fant\u00f4me. Il n’est \u00ab\u00a0fant\u00f4me\u00a0\u00bb que pour notre sujet, c’est bien entendu un vrai point de rebroussement pour la sextique g\u00e9n\u00e9rale : il y a une delto\u00efde form\u00e9e de trois rebroussement..
Enfin, l’enveloppe admet \u00e0 nouveau un seul point de rebroussement pour \\( |m| < 0,182\\). Ce cas est assez particulier – et n\u00e9cessite un traitement un peu sp\u00e9cifique – car c’est un point de rebroussement \u00e0 gauche. C’est pour ce cas l\u00e0 que l’enveloppe peut aller parfois au del\u00e0 de 400 points.<\/p>\n\n\n\n

Le cas du point de rebroussement unique \u00e0 droite<\/h2>\n\n\n\n

C’est le cas le plus simple, et en m\u00eame temps le plus riche car, selon que la droite \\((Q_b \\, Q_{bo})\\), ou \\((P_h \\, P_{ho})\\) coupe ou non l’enveloppe on peut avoir de 2 \u00e0 4 types de r\u00e9gions diff\u00e9rentes \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’enveloppe. Voyons quelques premiers exemples – bien entendu tr\u00e8s zoom\u00e9s – que l’on peut reproduire avec les figures suivantes.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

Galerie de 10 illustrations<\/em> des diff\u00e9rentes situations<\/em><\/p>\n\n\n\n

Manipulation de la figure<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On a choisit de pr\u00e9senter une version tr\u00e8s zoom\u00e9e. Pour jouer sur le zoom, il faut utiliser les figures \u00ab\u00a0en ligne\u00a0\u00bb, celle dans l’iframe ne permet pas le zoom. On propose 4 figures pour cela, deux pour \\(m>0\\) et deux pour \\(m<0\\).<\/p>\n\n\n