{"id":8748,"date":"2026-08-19T22:43:42","date_gmt":"2026-08-19T18:43:42","guid":{"rendered":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=8748"},"modified":"2026-08-19T22:43:43","modified_gmt":"2026-08-19T18:43:43","slug":"regionnement-du-plan-vis-a-vis-de-lorthogonalite-a-une-h-droite-1-3","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=8748","title":{"rendered":"R\u00e9gionnement du plan vis \u00e0 vis de l&rsquo;orthogonalit\u00e9 \u00e0 une H-droite (1\/3)"},"content":{"rendered":"\n<p>Soit une H-droite \\((AB)\\)  coupant l\u2019ellipse du mod\u00e8le, on cherche \u00e0 partitionner le plan en r\u00e9gions en fonction du nombre de droites perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\)  et de leurs types (hilbertienne ou euclidienne) que l\u2019on peut mener depuis les points de ces r\u00e9gions.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\"><strong>Notations associ\u00e9es au r\u00e9gionnement<\/strong><\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"580\" height=\"508\" src=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/Les4droites_Regions.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8753\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/Les4droites_Regions.png 580w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/Les4droites_Regions-300x263.png 300w\" sizes=\"(max-width: 580px) 100vw, 580px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>La droite \\((AB)\\)  coupe l\u2019ellipse en les points \\(P_h\\)  et \\(Q_b\\). On note \\(Ctr_{AB}\\) le centre euclidien de la partie int\u00e9rieure \u00e0 l\u2019ellipse de la droite, puis \\(Ctr_{P_h}\\) et \\(Ctr_{Q_b}\\) et les centres euclidiens des parties int\u00e9rieures \u00e0 l\u2019ellipse des H-perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\) en \\(P_h\\) et \\(Q_b\\). On construit ainsi les droites \\((P_h\\, P_{h2})\\) et \\((Q_b\\, Q_{b2})\\) les deux perpendiculaires hilbertiennes \u00e0 \\((AB)\\) en \\(P_h\\) et \\(Q_b\\) (droites en bleu).<\/p>\n\n\n\n<p>Il en r\u00e9sulte que toute H-perpendiculaire \u00e0 \\((AB)\\) en un point de la droite entre \\(P_h\\) et \\(Q_b\\) a son centre euclidien entre \\(Ctr_{P_h}\\) et \\(Ctr_{Q_b}\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Puis on construit \\((P_h\\,P_{ho})\\) et \\((Q_b\\,Q_{bo})\\) les perpendiculaires euclidiennes \u00e0 \\((AB)\\) en \\(P_h\\) et \\(Q_b\\) avec l\u2019angle droit \u2013 ext\u00e9rieur \u00e0 l\u2019ellipse \u2013 en les points \\(P_h\\) et \\(Q_b\\) (droites en orange). Ainsi, par construction ces deux droites sont parall\u00e8les. On note alors :<br>\u2022 \\(PhQb\\) l&rsquo;intersection des droites <strong>affines<\/strong> \\((P_h\\, P_{h2})\\) et \\((Q_b\\, Q_{b2})\\),<br>\u2022 \\(PhQo\\) l&rsquo;intersection des droites <strong>affines<\/strong> \\((P_h\\, P_{h2})\\) et \\((Q_b\\, Q_{bo})\\), et<br>\u2022 \\(PoQb\\) l&rsquo;intersection des droites <strong>affines<\/strong> \\((P_h\\, P_{ho})\\) et \\((Q_b\\, Q_{b2})\\).<br>\u2022 Il n&rsquo;y a pas d&rsquo;intersection \\(PoQo\\) car les deux droites associ\u00e9es sont parall\u00e8les.<\/p>\n\n\n\n<p>Ces quatre droites et leurs trois intersections vont permettre de d\u00e9terminer les principales r\u00e9gions recherch\u00e9es. Nous allons explorer cela en ajoutant un point \\(I\\) et les H-perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\) issues de ce point. et voir aussi que \u2026 ce n\u2019est finalement peut-\u00eatre pas aussi simple \u2026 Voici une premi\u00e8re galerie de quelques configurations que l&rsquo;on peut explorer dans la premi\u00e8re figure.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Pour une configuration donn\u00e9e, galerie de six cas du r\u00e9gionnement du plan selon le type et le nombre de perpendiculaires issues d&rsquo;un point de la r\u00e9gion.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Premi\u00e8re figure dynamique d&rsquo;exploration<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Dans cette premi\u00e8re figure, d\u00e9placer le point \\(I\\) pour voir l&rsquo;effet g\u00e9n\u00e9ral du franchissement <br>\u2022 des droites bleues \\((P_h\\, P_{h2})\\) ou \\((Q_b\\, Q_{b2})\\) : \u00b1 <strong>1H<\/strong> (on ajoute ou on perd uneperpendiculaire hilbertienne)<br>\u2022 des droites oranges \\((P_h\\,P_{ho})\\) et \\((Q_b\\,Q_{bo})\\) : \u00b1 <strong>1E<\/strong>, soit 0 ou 1 perpendiculaire euclidienne &#8211; car il ne peut y en avoir qu&rsquo;au plus une &#8211;<br>avec cette nuance qu&rsquo;il y a une r\u00e9gion \u00e0 pr\u00e9ciser o\u00f9 il existe une partie, dite <strong>2H<\/strong>, \u00e0 deux perpendiculaires hilbertiennes, partie qui devient <strong>2H1E<\/strong> (ajout de la perpendiculaire euclidienne) par le franchissement d&rsquo;une des deux droites oranges.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Hilbert26\/Fig26_Regions_Intro1_R.dgp\" style=\"width:900px;height:600px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>\u00e0 l&rsquo;ouverture de la figure, le point \\(I\\) est plac\u00e9 dans une r\u00e9gion &#8211; \u00e0 pr\u00e9ciser &#8211; de type <strong>2H1E<\/strong><br>On voit en particulier les pieds \\(Hh_1\\) et \\(Hh_2\\) (ou parfois \\(Hh_3\\)) des deux perpendiculaires hilbertienne et \\(He\\) celui de la perpendiculaire euclidienne.<br>D\u00e9placer \\(I\\), et recommencer dans une autre configuration en agissant sur les points \\(A\\) et \\(B\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Hilbert26\/Fig26_Regions_Intro01.dgp\" data-type=\"link\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Hilbert26\/Fig26_Regions_Intro01.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Fronti\u00e8re de la r\u00e9gion des deux perpendiculaires hilbertiennes<\/h2>\n\n\n\n<p>On s&rsquo;int\u00e9resse d\u00e9sormais \u00e0 cette fronti\u00e8re de la r\u00e9gion o\u00f9 il y a deux perpendiculaires hilbertiennes. Quand la pente de la droite \\((AB)\\) est n\u00e9gative, elle est &#8211; g\u00e9n\u00e9ralement &#8211; sous la droite \\((P_h\\, P_{h2})\\), et quand la pente de \\((AB)\\) est positive, elle est &#8211; l\u00e0 encore g\u00e9n\u00e9ralement &#8211; au dessus de la droite \\((Q_b\\, Q_{b2})\\). Les d\u00e9tails techniques seront pr\u00e9sent\u00e9s dans une page de blog ult\u00e9rieurement.<\/p>\n\n\n\n<p>Cette fronti\u00e8re est l&rsquo;enveloppe des perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\) en un point de la droite \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur de l&rsquo;ellipse, soit entre \\(P_h\\) et \\(Q_b\\), c&rsquo;est-\u00e0-dire le lieu des points o\u00f9 deux perpendiculaires co\u00efncident (\\(Hh_1\\)=\\(Hh_2\\) dans la figure ci-dessus \u00e0 l&rsquo;ouverture). C&rsquo;est une caustique. En voici une premi\u00e8re r\u00e9alisation dynamique :<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Premi\u00e8res explorations dynamiques de la fronti\u00e8re 2H<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Il s&rsquo;agit de la courbe marron. Dans un premier temps, observer que &#8211; pour cette configuration o\u00f9 la courbe est non born\u00e9e &#8211; faire franchir cette courbe au point \\(I\\) faire perdre, ou gagner, <strong>deux<\/strong> perpendiculaires hilbertiennes : \u00e0 l&rsquo;ouverture, descendre \\(I\\) en dessous de la courbe faite passer :<br>\u2022 \u00e0 gauche de \\((Q_b\\, Q_{bo})\\) de <strong>2H<\/strong> \u00e0 aucune perpendiculaire (on dira <strong>0P<\/strong>)<br>\u2022 \u00e0 droite de \\((Q_b\\, Q_{bo})\\) de <strong>2H1E<\/strong> \u00e0 une perpendiculaire euclidienne seulement (soit <strong>1E<\/strong>).<\/p>\n\n\n\n<p>Remarquer aussi, c&rsquo;est plus imm\u00e9diat \u00e0 gauche de \\((Q_b\\, Q_{bo})\\), que \\(I\\) est aimant\u00e9 par<em> les points de construction <\/em>de l&rsquo;enveloppe, et qu&rsquo;en ces points &#8211; par d\u00e9finition m\u00eame de l&rsquo;enveloppe, les deux perpendiculaires sont confondues (les deux pieds des hauteurs sont confondues).<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Hilbert26\/Fig26_Regions_Env1_R.dgp\" style=\"width:900px;height:590px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Figure initiale pour exploration de l&rsquo;enveloppe de la courbe. Modifier la droite en agissant sur \\(A\\) et \\(B\\)<\/em><br><em>pour arriver \u00e0 une enveloppe non born\u00e9e pour une pente positive de \\((AB)\\), et explorer \u00e0 nouveau cette situation.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Hilbert26\/Fig26_Regions_Env1Aimant.dgp\" data-type=\"link\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Hilbert26\/Fig26_Regions_Env1Aimant.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Introduction aux points de rebroussement<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>En manipulant la figure, pour passer d&rsquo;une pente n\u00e9gative \u00e0 une pente positive, vous \u00eates pass\u00e9 par des configurations o\u00f9 l&rsquo;enveloppe est born\u00e9e, en particulier avec un point de rebroussement, qui peut \u00eatre point\u00e9 vers la droite, parfois vers la gauche, ou m\u00eame encore avec deux points de rebroussement. Ces points de rebroussement ont des propri\u00e9t\u00e9s particuli\u00e8res vis \u00e0 vis de l&rsquo;orthogonalit\u00e9 comme on le voit dans ces illustrations, r\u00e9alisables avec la figure pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Galerie de 7 illustrations sur les points de rebroussement<\/em> <em>depuis une droite pilot\u00e9e par deux points \\(A\\)  et \\(B\\) <\/em><\/p>\n\n\n\n<p>La raison en est que la courbe est une sextique (courbe de degr\u00e9 6), et qu&rsquo;elle peut avoir, pour la partie qui nous occupe, un, et parfois deux, points de rebroussement. La seconde page sur le r\u00e9gionnement vis \u00e0 vis de l&rsquo;orthogonalit\u00e9 est consacr\u00e9e \u00e0 d\u00e9tailler ce th\u00e8me pour l&rsquo;int\u00e9rieur de ces points de rebroussement. Pour cela, nous allons commencer par mettre en \u00e9vidence une autre propri\u00e9t\u00e9 de cette enveloppe qui va nous amener \u00e0 concevoir les figures autrement que pilot\u00e9es par les deux points<em> <\/em>\\(A\\) et \\(B\\). En pratique, ces nouvelles figures vont \u00eatre plus efficaces pour \u00e9tudier directement, et syst\u00e9matiquement, toutes les configurations possibles pour les droites \\((AB)\\). Ce sont elles qui vont nous permettre d&rsquo;\u00e9tudier finement le r\u00e9gionnement \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur des points de rebroussement.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Une propri\u00e9t\u00e9 g\u00e9om\u00e9trique fondamentale <br>de l&rsquo;enveloppe de la fronti\u00e8re de 2H<\/h2>\n\n\n\n<p>Bien entendu l&rsquo;enveloppe construite d\u00e9pend de la position du centre \\(Ctr_{AB}\\) de l&rsquo;arc de cercle \\(\\overset{\\frown}{P_hQ_b}\\) de la droite \\((AB)\\). Mais la d\u00e9pendance pr\u00e9cise peut surprendre. L&rsquo;arc de cercle d&rsquo;une H-perpendiculaire \u00e0 \\((AB)\\) a son centre \\(Ctr_{M}\\) sur le segment \\(Ctr_{P_h} \\, Ctr_{Q_b}\\), et il passe par \\(F\\) pour \u00eatre une H-droite. Autrement dit c&rsquo;est simplement un cercle tangent \u00e0 la droite \\((F \\, Ctr_{AB})\\), qui ne d\u00e9pend donc de \\(Ctr_{AB}\\) <strong>que par la pente<\/strong> de la droite pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"634\" height=\"519\" src=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/Decouverte-du-coef-m.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8767\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/Decouverte-du-coef-m.png 634w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/Decouverte-du-coef-m-300x246.png 300w\" sizes=\"(max-width: 634px) 100vw, 634px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Les perpendiculaires hilbertiennes \u00e0 une droite \\((A B)\\) ne d\u00e9pendent que de la pente \u00e0 \\((F Ctr_{AB})\\)<\/em>.<br><\/p>\n\n\n\n<p>Cela signifie aussi que toute H-droite dont le centre de l&rsquo;arc de cercle est sur la droite de cette pente aura m\u00eame enveloppe de fronti\u00e8re <strong>2H<\/strong> que la droite pr\u00e9c\u00e9dente \\((AB)\\) de centre \\(Ctr_{AB}\\). En voici une premi\u00e8re illustration dynamique.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>L&rsquo;enveloppe ne d\u00e9pend que de la pente \\(m\\) de la droite \\((F \\, CtrAB)\\)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Dans la figure suivante, la droite en pointill\u00e9 est la droite \\((F \\, Ctr_{AB})\\). L&rsquo;enveloppe rose est associ\u00e9e au centre \\(CtrM\\) qui construit la H-droite verte \\((P_{hM} \\, Q_{bM})\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Le point \\(CtrM\\) est l\u00e9g\u00e8rement aimant\u00e9 par la droite passant par \\(F\\). En le faisant glisser sur la droite, on illustre que la courbe rose se superpose \u00e0 l&rsquo;enveloppe marron initiale, et, quand I est proche de l&rsquo;enveloppe, les perpendiculaires issues de \\(I\\) sont des perpendiculaires pour les deux droites quand les pieds coupent la droite verte \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur de l&rsquo;ellipse.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Hilbert26\/Fig26_Reg_EnvAB_EnvM_R.dgp\" style=\"width:900px;height:600px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p>On peut envisager de faire l&rsquo;inverse, \u00e0 savoir d&rsquo;essayer de superposer l&rsquo;enveloppe marron sur l&rsquo;enveloppe rose. Pour cela, on d\u00e9place les points \\(A\\) et \\(B\\) pour que l&rsquo;enveloppe marron se superpose \u00e0 l&rsquo;enveloppe rose. Le faire en particulier quand l&rsquo;enveloppe rose a un point de rebroussement assez significatif. Par aimantation de \\(CtrM\\), la configuration se finalise toute seule : si on rapproche suffisamment les deux enveloppes, elle se superposent automatiquement par aimantation du second centre \\(CtrM\\) \u00e0 la droite d\u00e9finie par le premier centre \\(CtrAB\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer faire ces manipulations (et la suivante) dans <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Hilbert26\/Fig26_Reg_EnvAB_EnvM.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">cette figure<\/a> en ligne.<\/p>\n\n\n\n<p>Placer ensuite le point \\(I\\) \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur du rebroussement. On peut alors voir appara\u00eetre trois hauteurs hilbertiennes comme ceci :<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"754\" height=\"505\" src=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/Premiere-Config-3H.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8773\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/Premiere-Config-3H.png 754w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/Premiere-Config-3H-300x201.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/Premiere-Config-3H-360x240.png 360w\" sizes=\"(max-width: 754px) 100vw, 754px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Quand \\(I\\) est \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur du point de rebroussement, il peut y avoir trois perp. hilbertiennes, &#8211; de pieds \\(Hh1, Hh2, Hh3\\)<\/em> <em>pour \\((AB).\\). <br>Ces trois droites sont perpendiculaires \u00e0 toute droite ayant la m\u00eame \u00ab\u00a0enveloppe 2H \u00a0\u00bb que la droite \\((AB).\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Si les pieds des hauteurs coupent les deux droites, verte et rouge, \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur de l&rsquo;ellipse, on m\u00e8ne donc, par \\(I\\), trois perpendiculaires \u00e0 deux droites non parall\u00e8les. <\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Nouvelle construction des droites par \\(m\\) et \\(kmCtr\\)<br>Parties lisses 2H et 2H1E<\/h2>\n\n\n\n<p>On syst\u00e9matise d\u00e9sormais cette d\u00e9marche de construction d&rsquo;une H-droite non plus par deux points, mais par la pente \\(m\\) de la droite passant par \\(F\\) et le centre \\(C\\) de l&rsquo;arc de la H-droite. On a ainsi \\(\\displaystyle m=\\frac{y(C)}{x(C)-3\/2}\\).<br>Si vous avez manipul\u00e9 la figure pr\u00e9c\u00e9dente, en rapprochant \\(CtrM\\) trop pr\u00e8s de \\(F\\), vous avez pu voir la droite verte dispara\u00eetre, ainsi que l&rsquo;enveloppe rose, tout simplement parce que le cercle de centre \\(CtrM\\) passant par F ne coupait plus l&rsquo;ellipse. Donc on calcule les bornes d\u00e9finies par les cercles tangents \u00e0 l&rsquo;ellipse : \\(CtrMin\\) et \\(CtrMax\\). Le centre de l&rsquo;arc de cercle de la H-droite est un point du segment d\u00e9fini par ces deux bornes.<\/p>\n\n\n\n<p>Mais comme on va fortement zoomer la figure pour \u00e9tudier finement le r\u00e9gionnement \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur des rebroussements, la borne \\(CtrMax\\) va r\u00e9guli\u00e8rement \u00eatre hors \u00e9cran, et le centre du cercle qui concerne la figure aussi. Rapidement, on a \u00e9t\u00e9 amen\u00e9 \u00e0 utiliser plut\u00f4t un curseur \\(kCtr\\) pour placer barycentriquement le centre du cercle &#8211; d\u00e9sormais nomm\u00e9 \\(kmCtr\\) &#8211; sur le segment \\([CtrMin \\; CtrMax]\\). Le curseur \u00e9tant toujours \u00e0 l&rsquo;\u00e9cran, on peut agir finement sur la figure sans m\u00eame avoir acc\u00e8s directement aux objets fondamentaux.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Manipulation de la figure<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Dans cette version d&rsquo;exploration, l&rsquo;ellipse est tout enti\u00e8re \u00e0 l&rsquo;\u00e9cran ainsi que le segment qui borne le centre \\(kmCtr\\). On a aussi trac\u00e9, quand elles existent, les deux zones 2H (rose) et 2H1E (verte) quand elles sont lisses, c&rsquo;est-\u00e0-dire quand il n&rsquo;y a pas de point de rebroussement. On consacrera une page sp\u00e9cifique pour les points de rebroussement. Sur cette figure, vous pouvez :<br>\u2022 Pour \\(m\\) fix\u00e9, d\u00e9placer le curseur \\(kCtr\\), voir la variation de la H-droite rouge \\((P_h \\, Q_b)\\), et des parties <strong>2H<\/strong> et <strong>2H1E<\/strong>, en particulier aux extr\u00e9mit\u00e9s du curseur. On peut d\u00e9placer \\(I\\) pour confirmer le nombre et le type des perpendiculaires.<br>\u2022 Pour une pente \\(m\\) donn\u00e9e, bien entendu l&rsquo;enveloppe de la fronti\u00e8re <strong>2H-2H1E <\/strong>est fixe. Le curseur \\(kCtr\\) permet de balayer quasiment<sup>(*)<\/sup> toutes les configurations de droites \\((P_h \\, Q_b)\\) pour cette pente. On comprendra ais\u00e9ment que cette g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9, en pratique, n&rsquo;est pas aussi facilement accessible avec une droite d\u00e9finie par deux points, car \\(m\\) change en permanence d\u00e8s que l&rsquo;on d\u00e9place \\(A\\) ou \\(B\\). <br>\u2022 Pour la valeur de \\(m\\) initiale (\\(m=-0,8957\\)) placer le curseur \\(kCtr\\) au del\u00e0 de \\(0,92\\). Alors c&rsquo;est la droite \\((Qb \\, Qbo)\\) qui coupe l&rsquo;enveloppe, et les r\u00e9gions <strong>2H<\/strong> et <strong>2H1E<\/strong> sont invers\u00e9es par rapport aux cas o\u00f9 c&rsquo;est \\((Ph \\, Pho)\\) qui coupe l&rsquo;enveloppe.<br>\u2022 Puis vous pouvez ensuite faire varier le param\u00e8tre \\(m\\). L&rsquo;aspect th\u00e9orique &#8211; d\u00e9velopp\u00e9 dans des pages de blog \u00e0 venir &#8211; montre que l&rsquo;enveloppe est lisse pour \\(\\displaystyle |m| &gt; \\frac{3}{\\sqrt{15}}\\). En pratique, on se limitera donc \u00e0 \\(m&gt;0,775\\) ou \\(m&lt;-0,775\\), les autres parties \u00e9tant \u00e9tudi\u00e9es dans la seconde page sur le r\u00e9gionnement.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Hilbert26\/Fig26_mCtr_2H1E_lisse_R.dgp\" style=\"width:1000px;height:620px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>On notera qu&rsquo;\u00e0 l&rsquo;ouverture \\(I\\) est plac\u00e9 sur un point de construction de l&rsquo;enveloppe d&rsquo;o\u00f9 il sort deux perpendiculaires confondues \\((Hh_1=Hh_2)\\).<\/em><br><em>Agir d&rsquo;abord sur le curseur \\(kCtr\\), puis ensuite sur \\(m\\), dans les limites pr\u00e9cis\u00e9es ci-dessus.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><em>Remarque : m\u00eame si le r\u00e9gionnement n&rsquo;est pas encore fait dans cette figure, pour \\(0,184&lt; |m| &lt;0,668\\), il y a un point de rebroussement, on peut placer \\(I\\) \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur et voir encore les trois hauteurs hilbertiennes.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Hilbert26\/Fig26_mCtr_2H1E_lisse_Aimant.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<p>(*) On a dit <em>quasiment<\/em> car le curseur s&rsquo;arr\u00eate \u00e0 0,01 \u00e0 gauche et \u00e0 0.995 \u00e0 droite pour \u00e9viter les droites trop proches des tangentes \u00e0 l&rsquo;ellipse et l&rsquo;effondrement de la figure. On explore donc, directement 98,5% des configurations possibles.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Soit une H-droite coupant l\u2019ellipse du mod\u00e8le, on cherche \u00e0 partitionner le plan en r\u00e9gions en fonction du nombre de droites perpendiculaires \u00e0 et de leurs types (hilbertienne ou euclidienne) que l\u2019on peut mener depuis les points de ces r\u00e9gions. Notations associ\u00e9es au r\u00e9gionnement La droite coupe l\u2019ellipse en les [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"page-templates\/template-fullwidth.php","meta":{"footnotes":""},"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/8748"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=8748"}],"version-history":[{"count":46,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/8748\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8876,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/8748\/revisions\/8876"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=8748"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}