Il y a essentiellement deux fa\u00e7ons de pr\u00e9senter la g\u00e9om\u00e9trie usuelle. Tout d\u2019abord une approche alg\u00e9brique dans laquelle la donn\u00e9e initiale est celle d\u2019un espace vectoriel \u00e0 partir duquel on d\u00e9finit les structures affines. L\u2019ajout d\u2019une forme bilin\u00e9aire induit une orthogonalit\u00e9. Dans cette d\u00e9marche, les nombres ont une existence ant\u00e9rieure au questionnement g\u00e9om\u00e9trique. C\u2019est une d\u00e9marche r\u00e9serv\u00e9e \u00e0 l\u2019enseignement sup\u00e9rieur par l\u2019utilisation de l\u2019efficacit\u00e9 des structures alg\u00e9briques. Dans la seconde approche, dite parfois synth\u00e9tique, ou plus simplement axiomatique, la donn\u00e9e initiale est celle d\u2019objets primordiaux et de leurs relations. Dans ce cas, la construction des nombres est une cons\u00e9quence des propri\u00e9t\u00e9s g\u00e9om\u00e9triques. Et en particulier l\u2019existence d\u2019un corps de nombres – un corps de coordonn\u00e9es – et ses propri\u00e9t\u00e9s sont directement li\u00e9es aux axiomes retenus.<\/p>\n\n\n\n
C\u2019est ce qu\u2019a \u00e9tudi\u00e9, en d\u00e9tail, David Hilbert dans son c\u00e9l\u00e8bre ouvrage \u00abLes fondements de la g\u00e9om\u00e9trie\u00bb. Le principal objectif de cet ouvrage est de construire le plan – et l\u2019espace – euclidien, avec un minimum d\u2019axiomes. Mais la particularit\u00e9 de la d\u00e9marche de Hilbert est dans son analyse fine de certaines d\u00e9pendances de propri\u00e9t\u00e9s en lien avec ses axiomes, et ainsi, de d\u00e9gager des g\u00e9om\u00e9tries bien sp\u00e9cifiques comme les g\u00e9om\u00e9tries non archim\u00e9diennes ou encore, celles qui vont nous int\u00e9resser ici, les g\u00e9om\u00e9tries non argu\u00e9siennes.<\/p>\n\n\n\n
Par g\u00e9om\u00e9trie non archim\u00e9dienne<\/strong>, on entend une g\u00e9om\u00e9trie qui ne v\u00e9rifie pas l\u2019axiome d\u2019Archim\u00e8de mais v\u00e9rifie tous les autres axiomes de Hilbert. Pour montrer que son axiome reliant les congruences des angles et des segments – nous y reviendrons longuement – ne peux pas se d\u00e9duire des autres axiomes, Hilbert a mis en \u00e9vidence une g\u00e9om\u00e9trie dite \u00abnon archim\u00e9dienne\u00bb dans laquelle tous ses axiomes sont v\u00e9rifi\u00e9s sauf celui-ci. Cela implique, entre autre, d\u2019avoir d\u00fb inventer des \u00abnombres non archim\u00e9diens\u00bb. Cette g\u00e9om\u00e9trie a alors des propri\u00e9t\u00e9s largement non euclidiennes dont certaines d\u2019ailleurs sont communes avec la g\u00e9om\u00e9trie non argu\u00e9sienne comme l\u2019absence de l\u2019in\u00e9galit\u00e9 triangulaire, ou encore l\u2019absence d\u2019\u00e9quivalence entre c\u00f4t\u00e9s \u00e9gaux et angles \u00e0 la base \u00e9gaux dans les triangles dits \u00abisoc\u00e8les\u00bb dans le cas euclidien. Mais les g\u00e9om\u00e9tries non archim\u00e9diennes ne peuvent pas avoir de mod\u00e8le euclidien, et donc nous ne pourrons l\u2019explorer avec la g\u00e9om\u00e9trie dynamique.<\/p>\n\n\n\n Cette partie du site se propose d\u2019explorer dynamiquement<\/em> la g\u00e9om\u00e9trie non argu\u00e9sienne \u00e0 travers les deux mod\u00e8les propos\u00e9s par Hilbert au cours des diff\u00e9rentes \u00e9ditions de ses \u00abFondements\u00bb. En effet, il propose un mod\u00e8le dans la premi\u00e8re \u00e9dition (1899), qui est juste avanc\u00e9 comme une \u00abpreuve de concept\u00bb. Puis, \u00e0 partir de la 4\u00b0 \u00e9dition, il reprend le mod\u00e8le propos\u00e9 par Moulton d\u00e9s 1902 beaucoup plus facile \u00e0 \u00e9tudier et \u00e0 impl\u00e9menter en g\u00e9om\u00e9trie dynamique, mais l\u00e0, Hilbert l\u2019utilise, encore, juste pour illustrer cette \u00abpreuve de concept\u00bb. On se propose ici d\u2019aller plus loin dans ces deux mod\u00e8les.<\/p>\n\n\n\n La configuration de Desargues<\/strong><\/p>\n\n\n\n Dans cet item, on commence par une pr\u00e9sentation succincte de l\u2019ouvrage de Hilbert \u00ables fondements de la g\u00e9om\u00e9trie\u00bb, dans l\u2019\u00e9dition critique de Paul Rossier qui fait r\u00e9f\u00e9rence, essentiellement pour situer les probl\u00e9matiques telles que d\u00e9gag\u00e9es par Hilbert. On y aborde d’abord les axiomes puis la configuration de Desargues.<\/p>\n\n\n\n Le mod\u00e8le de Hilbert – Les droites<\/strong><\/p>\n\n\n\n On pr\u00e9sente le mod\u00e8le de Hilbert (droites, segments, angles) avec des premi\u00e8res illustrations – parall\u00e8les, parall\u00e9logrammes – m\u00e9dianes d’un triangle. La construction effective de ces droites – construction alg\u00e9brique exacte – et des macros associ\u00e9es est propos\u00e9e dans deux articles assez techniques.<\/p>\n\n\n\n Propri\u00e9t\u00e9s des triangles \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’ellipse<\/strong><\/p>\n\n\n\n Cette page montre que, pour un triangle int\u00e9rieur \u00e0 l’ellipse, la somme des angles d’un triangle est \u00e9gale \u00e0 180\u00b0, les hauteurs sont concourantes, si le point de concours est lui aussi int\u00e9rieur \u00e0 l’ellipse. De m\u00eame, les m\u00e9dianes sont aussi concourantes<\/p>\n\n\n\n Mod\u00e8le de Hilbert – Orthogonalit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n Une premi\u00e8re approche de l’orthogonalit\u00e9, o\u00f9 l’on voit rapidement que, pour certaines droites, par certains points, il peut passer trois perpendiculaires hilbertiennes et \u00e9ventuellement une quatri\u00e8me perpendiculaire euclidienne. On pr\u00e9sente aussi les hauteurs d’un triangle. Certains triangles peuvent avoir jusqu’\u00e0 6 hauteurs, et plus rarement 7 (un exemple orthocentrique \u00e0 7 hauteurs est propos\u00e9) ce qui rend la question des triangles orthocentriques et m\u00eame bi-orthocentriques … brulante. Autre particularit\u00e9, certains triangles peuvent avoir deux hauteurs parall\u00e8les<\/p>\n\n\n\n Mod\u00e8le de Hilbert – triangles orthocentriques<\/strong><\/p>\n\n\n\n Une page est donc consacr\u00e9e \u00e0 cette question; Pour le moment on y aborde plusieurs possibilit\u00e9s en particulier pour avoir des solutions de triangles orthocentriques dynamiques. L’\u00e9tude exhaustive reste encore \u00e0 faire.<\/p>\n\n\n\n Mod\u00e8le de Hilbert – triangles bi-orthocentriques<\/strong><\/p>\n\n\n\n Cette page construit quelques triangles bi-orthocentriques (figures finales statiques, sans possibilit\u00e9 de manipulation dynamique) et aborde aussi la question de triangles orthocentriques ayant deux perpendiculaires parall\u00e8les.<\/p>\n\n\n\n R\u00e9gionnement du plan vis \u00e0 vis de l’orthogonalit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n \u00c9tant donn\u00e9e une droite qui coupe l’ellipse de Hilbert, quel est le r\u00e9gionnement du plan en fonction du type et du nombre de perpendiculaires. Trois pages sont consacr\u00e9es \u00e0 cette question. La premi\u00e8re pose les notations et s’int\u00e9resse \u00e0 la r\u00e9gion o\u00f9 il peut y avoir deux perpendiculaires hilbertiennes (partie not\u00e9e 2H<\/strong>) ou deux hilbertiennes et une euclidienne (not\u00e9e 2H1E<\/strong>). La deuxi\u00e8me page aborde la construction dynamique de la partie du plan qui correspond \u00e0 1H1E<\/strong>. Enfin la troisi\u00e8me page aborde les trois autres possibilit\u00e9s, 1H<\/strong>, 1E<\/strong> et 0P<\/strong> (aucune perpendiculaire). Avant la figure finale propos\u00e9e \u00e0 la manipulation, de nombreuses situations sp\u00e9cifiques sont pr\u00e9sent\u00e9es. Cette troisi\u00e8me page est particuli\u00e8rement illustr\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n La critique de Moulton sur le mod\u00e8le de Hilbert<\/strong><\/p>\n\n\n\n Cet item traite des angles en un point de l’ellipse. Il comporte trois parties. Tout d’abord on revient en d\u00e9tail sur la d\u00e9finition de Hilbert dans ce cas, avec une construction dynamique. Puis on aborde, l\u00e0 encore avec une figure adapt\u00e9e, la critique de Moulton qui montre bien que l’\u00e9galit\u00e9 des angles \\((h, k) = (k, h)\\), avec la d\u00e9finition de Hilbert, n’est pas v\u00e9rifi\u00e9e en les points de l’ellipse. Dans une derni\u00e8re partie, on aborde l’utilisation des angles droits en les points de l’ellipse pour construire de nouveaux types de triangles orthocentriques.<\/p>\n\n\n\n Plan de Moulton – Les droites<\/strong><\/p>\n\n\n\n Avec le plan de Moulton, on revient \u00e0 une pratique plus g\u00e9om\u00e9trique et alg\u00e9brique de la r\u00e9alisation des mod\u00e8les. Ce premier item sur Moulton montre, avec d\u00e9tail, comment r\u00e9aliser une droite de Moulton g\u00e9n\u00e9rique, qui int\u00e8gre, l\u00e0 aussi 3 sous cas. Puis on illustre, toujours par des figures dynamiques, les diff\u00e9rentes \u00ab\u00a0non propri\u00e9t\u00e9s affines\u00a0\u00bb du plan de Moulton, et en particulier que l’on ne peut pas construire un corps de coordonn\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n Moulton – Les angles<\/strong><\/p>\n\n\n\n Cet item comporte trois parties, tout d’abord, une pr\u00e9sentation g\u00e9n\u00e9rale, avec le calcul des valeurs extr\u00e9males de la somme des angles d’un triangle. Ensuite, puisque c’\u00e9tait la critique de Moulton sur le mod\u00e8le de Hilbert, on aborde en d\u00e9tail le cas des angles en un point de l’axe de rupture des droites de Moulton. Et on termine par un exercice de style aussi fun qu’improbable : la construction d’un triangle de Moulton form\u00e9 de trois points affinement align\u00e9s et ont la somme des angles fait 180\u00b0.<\/p>\n\n\n\n Moulton – Orthogonalit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n L’orthogonalit\u00e9 de ce mod\u00e8le peut \u00eatre compl\u00e8tement impl\u00e9ment\u00e9e de mani\u00e8re dynamique, puisque les zones sans perpendiculaire et \u00e0 deux perpendiculaires sont imm\u00e9diatement accessibles par macro-construction. Cela permet des explorations tr\u00e8s rapides sur les triangles par exemple qui peuvent avoir de une \u00e0 cinq hauteurs. On met en \u00e9vidence une propri\u00e9t\u00e9 simple pour qu’un triangle de Moulton ait un orthocentre qui sera dit \u00ab\u00a0\u00a0\u00bbg\u00e9om\u00e9trique\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n\n Moulton – Triangles orthocentriques<\/strong><\/p>\n\n\n\n En dehors du cas \u00ab\u00a0g\u00e9om\u00e9trique\u00a0\u00bb de l’item pr\u00e9c\u00e9dent, on explore les six autres cas \u00ab\u00a0alg\u00e9briques\u00a0\u00bb pour la r\u00e9alisation de triangles orthocentriques, avec des constructions dynamiques adapt\u00e9es<\/p>\n\n\n\n Moulton – Triangles bi-orthocentriques<\/strong><\/p>\n\n\n\n On termine cette exploration par la r\u00e9alisation de triangles ayant deux orthocentres, un euclidien et un autre \u00ab\u00a0de Moulton\u00a0\u00bb, tout d’abord dans un cas particulier, puis dans un cadre plus g\u00e9n\u00e9ral. Il semble bien que ce soit les deux seules situations g\u00e9n\u00e9riques de r\u00e9aliser des triangles bi-orthocentriques, cette fois-ci manipulables en conservant leur propri\u00e9t\u00e9 de bi-orthocentricit\u00e9, contrairement au mod\u00e8le de Hilbert.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Il y a essentiellement deux fa\u00e7ons de pr\u00e9senter la g\u00e9om\u00e9trie usuelle. Tout d\u2019abord une approche alg\u00e9brique dans laquelle la donn\u00e9e initiale est celle d\u2019un espace vectoriel \u00e0 partir duquel on d\u00e9finit les structures affines. L\u2019ajout d\u2019une forme bilin\u00e9aire induit une orthogonalit\u00e9. 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Par g\u00e9om\u00e9trie non argu\u00e9sienne<\/strong>, on entend une g\u00e9om\u00e9trie qui ne v\u00e9rifie pas le th\u00e9or\u00e8me de Desargues. Hilbert a montr\u00e9 que, pour une g\u00e9om\u00e9trie plane, son dernier axiome sur les relations entre les congruences des segments et des angles, est essentiel pour montrer le th\u00e9or\u00e8me de Desargues. Et donc une g\u00e9om\u00e9trie non argu\u00e9sienne est une g\u00e9om\u00e9trie qui ne v\u00e9rifie pas cet axiome, mais v\u00e9rifie les autres, en tout cas pour ce qui est de l\u2019approche de Hilbert.<\/p>\n\n\n\n
Explorer dynamiquement<\/strong> peut signifier plusieurs choses tr\u00e8s diff\u00e9rentes.
\u2022 Tout d\u2019abord explorer<\/strong> signifie que l\u2019on va exp\u00e9rimenter<\/strong> des configurations sans n\u00e9cessairement aborder les questions th\u00e9oriques sous-jacentes, m\u00eame si, sur des r\u00e9sultats simples, on proposera des d\u00e9monstrations de ces r\u00e9sultats. En ce sens, ce menu, comme les pr\u00e9c\u00e9dents d’ailleurs, est d\u2019abord une collections de figures dynamiques, manipulables et t\u00e9l\u00e9chargeables pour \u00eatre travaill\u00e9es hors du site.
\u2022 Ensuite dynamiquement<\/strong> signifie, entre autre, que l\u2019on peut se donner diff\u00e9rents points de base pour une m\u00eame figure, ce qui permet d\u2019aborder une configuration sous diff\u00e9rentes approches, souvent compl\u00e9mentaires, et parfois, mettre en \u00e9vidence certaines propri\u00e9t\u00e9s g\u00e9om\u00e9triques qu\u2019on aurait pu ne pas remarquer sans ces modifications de point de vue.<\/p>\n\n\n\nPr\u00e9sentation de ce menu<\/h2>\n\n\n\n