Avec la g\u00e9om\u00e9trie elliptique, on supprime un autre axiome, et, dans la pr\u00e9sentation de JLF, un axiome essentiel puisqu\u2019il porte sur les isom\u00e9tries fondamentales, celui qui assure l\u2019existence d\u2019un pliage. Il va en r\u00e9sulter une g\u00e9om\u00e9trie non orient\u00e9e, born\u00e9e, tr\u00e8s \u00e9loign\u00e9e de nos propres repr\u00e9sentations g\u00e9om\u00e9triques. Par exemple un triangle (trois points) peut avoir 4 cercles circonscrits distincts. Il aura fallu la profondeur de g\u00e9om\u00e8tres comme Riemann, les capacit\u00e9s synth\u00e9tiques de Klein, apr\u00e8s les travaux de Cayley pour que la g\u00e9om\u00e9trie elliptique ait droit de cit\u00e9 en tant que telle.<\/p>\n\n\n\n
Une axiomatique g\u00e9n\u00e9rale tardive<\/strong><\/p>\n\n\n\n Axiomatiquement aussi il a \u00e9t\u00e9 d\u00e9licat d\u2019int\u00e9grer la g\u00e9om\u00e9trie elliptique. Les axiomatiques absolues usuelles incorporent, puis s\u00e9parent les g\u00e9om\u00e9tries euclidiennes et hyperboliques : soit par un point il passe une seule parall\u00e8le \u00e0 une droite donn\u00e9e, soit il en passe plus d\u2019une. Mais ces approches \u00ababsolues\u00bb, en g\u00e9n\u00e9ral, compte tenu de leurs axiomes, ne peuvent pas int\u00e9grer la g\u00e9om\u00e9trie elliptique, parce que, par exemple pour les plus g\u00e9n\u00e9rales, justement la sym\u00e9trie orthogonale est un pliage, ce qui exclu le cas elliptique. M\u00eame si ce type de g\u00e9om\u00e9trie \u00e9tait tr\u00e8s pratiqu\u00e9, depuis longtemps, puisqu\u2019il s\u2019agit, d\u2019une certaine fa\u00e7on, d\u2019une g\u00e9om\u00e9trie projective, avec sa notion de polarit\u00e9, Il faudra attendre le tiers du XX\u00b0s pour que des premi\u00e8res tentatives d\u2019axiomatisation g\u00e9n\u00e9riques \u00e9mergent et le milieu du XX\u00b0s pour que l\u2019axiomatique la plus aboutie en ce domaine, celle de Bachmann<\/a>, puisse traiter aussi bien des trilat\u00e8res hyperboliques que des p\u00f4les et polaires elliptiques. Car une particularit\u00e9 de cette g\u00e9om\u00e9trie est que, du point de vue des \u00e9l\u00e9ments caract\u00e9ristiques des isom\u00e9tries, d\u2019un certain point de vue, il n\u2019y a pas de diff\u00e9rence entre un point et une droite, ce qui n\u00e9cessite de repenser l\u2019incidence dans son rapport \u00e0 l\u2019appartenance.<\/p>\n\n\n\n Pour des raisons li\u00e9es aussi bien \u00e0 la navigation qu\u2019\u00e0 l\u2019astronomie, la g\u00e9om\u00e9trie de la sph\u00e8re est connue depuis tr\u00e8s longtemps. C\u2019\u00e9tait m\u00eame un domaine \u00e0 part enti\u00e8re, la sph\u00e9rique<\/strong>, dont on connait, d\u00e8s le XVII\u00b0s, toutes les formules, qu\u2019elles portent sur les angles (trigonom\u00e9trie sph\u00e9rique), ou sur l\u2019aire d\u2019un triangle sph\u00e9rique, et sa proportionnalit\u00e9 \u00e0 l\u2019exc\u00e8s angulaire \\(\\widehat{A}+\\widehat{B}+\\widehat{C}-\\pi\\).<\/p>\n\n\n\n Pour autant la sph\u00e9rique n\u2019est pas consid\u00e9r\u00e9e comme une g\u00e9om\u00e9trie, pas parce que les droites y sont born\u00e9es mais parce que cette \u00e9ventuelle \u00ab g\u00e9om\u00e9trie \u00bb ne v\u00e9rifierait pas le premier axiome d\u2019incidence qui veut que par deux points il passe une et une seule droite. Or sur la sph\u00e8re, les droites sont les grands cercles. Avant Gauss, le r\u00e9sultat \u00e9tait connu en terme de \u00abplus courte distance\u00bb. Depuis Gauss, on le sait plus formellement avec la g\u00e9om\u00e9trie intrins\u00e8que des surfaces. D\u00e9sormais, les g\u00e9od\u00e9siques sont d\u00e9finies, et celles de la sph\u00e8re sont les grands cercles. Or par deux points diam\u00e9tralement oppos\u00e9s il passe une infinit\u00e9 de grands cercles, et donc la sph\u00e8re ne peut pas correspondre \u00e0 une g\u00e9om\u00e9trie plane v\u00e9rifiant le premier axiome d\u2019incidence. D\u2019o\u00f9 l\u2019id\u00e9e d\u2019identifier les points diam\u00e9tralement oppos\u00e9s. Ensuite Klein projette le demi h\u00e9misph\u00e8re du pole sud dans le plan tangent au pole sud par une projection st\u00e9r\u00e9ographique – pour avoir un mod\u00e8le conforme – de p\u00f4le le p\u00f4le nord.<\/p>\n\n\n Dans la figure suivante les points \\(A\\) et \\(B\\) se manipulent par \\(u_A\\) et \\(u_B\\) qui fixent leurs c\u00f4tes, puis sur leurs parall\u00e8les \u00e0 l\u2019\u00e9quateur. Le grand cercle \\((AB)\\) coupe l\u2019\u00e9quateur en \\(e_1\\) et \\(e_2\\) qui se projettent st\u00e9r\u00e9ographiquement en \\(ell_1\\) <\/strong>et \\(ell_2\\). <\/p>\n\n\n\n \\(A\\) \u00e9tant au dessus de l\u2019\u00e9quateur, par identification des points diam\u00e9tralement oppos\u00e9s, on projette son sym\u00e9trique \\(s_A\\) <\/strong>en \\(a_A\\), compos\u00e9e que l\u2019on appelle l\u2019antipodie elliptique<\/strong>. Les points \\(ps_A\\) <\/strong>et \\(ps_B\\) <\/strong>sont les projet\u00e9 st\u00e9r\u00e9ographiques de \\(A\\) et \\(B\\). L\u2019image du grand cercle \\((AB)\\) est un cercle qui passe par ces trois points et coupe l\u2019horizon aux points diam\u00e9tralement oppos\u00e9s \\(ell_1\\) <\/strong>et \\(ell_2\\). Sa trace \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de l\u2019horizon est la droite elliptique du mod\u00e8le de Klein.<\/p>\n\n\n\n Elles sont toutes les deux la compos\u00e9e commutative de la sym\u00e9trie centrale (de centre \\(O\\) <\/strong>pour l\u2019espace, de centre \\(S\\) <\/strong>pour le plan) et de la projection st\u00e9r\u00e9ographique (espace) ou de l\u2019inversion (plan). Ainsi, \\(ps_A\\) <\/strong>est l\u2019inverse du sym\u00e9trique de \\(a_A\\) <\/strong>par rapport \u00e0 \\(S\\) <\/strong>et \\(a_A\\) est l\u2019inverse du sym\u00e9trique de \\(ps_A\\) par rapport \u00e0 \\(S\\).<\/p>\n\n\nUne bonne repr\u00e9sentation : le quotient de la sph\u00e8re<\/strong>
par l\u2019\u00e9quivalence des points diam\u00e9tralement oppos\u00e9s<\/strong><\/h2>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/AntipodieSpatiale-1024x607.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\nAntipode elliptique spatiale et plane<\/strong><\/h2>\n\n\n\n