\u00abLes p\u00e9riples du voyage me firent oublier mes travaux math\u00e9matiques; arriv\u00e9s \u00e0 Coutances, nous mont\u00e2mes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade ; au moment o\u00f9 je mettais le pied sur le marchepied, l\u2019id\u00e9e me vint, sans que rien dans mes pens\u00e9es ant\u00e9rieures par\u00fbt m\u2019y avoir pr\u00e9par\u00e9, que les transformations dont j\u2019avais fait usage pour d\u00e9finir les fonctions fuschiennes \u00e9taient identiques \u00e0 celles de la g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne. \u00bb<\/em><\/p>\nHenri Poincar\u00e9 – L’invention math\u00e9matique – 1908 (Ed. Jacques Gabay 2011 p 141)<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n \u00a0\u00bb … je veux parler de la G\u00e9om\u00e9trie non euclidienne. Cette G\u00e9om\u00e9trie, fond\u00e9e sur l\u2019hypoth\u00e8se que la somme des angles d\u2019un triangle est plus petite que deux droits, ne semble d\u2019abord qu\u2019un simple jeu de l\u2019esprit qui n\u2019a d\u2019int\u00e9r\u00eat que pour le philosophe, sans pouvoir \u00eatre d\u2019aucune utili\u00e9 au math\u00e9maticien. Il n\u2019en est rien ; les th\u00e9or\u00e8mes de la g\u00e9om\u00e9trie de Lobatchevsky sont aussi vrais que ceux de la g\u00e9om\u00e9trie d\u2019Euclide, \u00e0 la condition qu\u2019on les interpr\u00e8te comme ils doivent l\u2019\u00eatre. Ainsi, par exemple, ces th\u00e9or\u00e8mes ne sont pas vrais de la ligne droite, telle que nous la concevons, mais ils le deviennent si, partout o\u00f9 Lobatchevsky dit une droite, nous disons un cercle qui coupe orthogonalement le cercle fondamental. Je me trouvais donc en pr\u00e9sence de toute une th\u00e9orie, imagin\u00e9e, il est vrai, dans un but m\u00e9taphysique, mais dont chaque proposition, convenablement interpr\u00e9t\u00e9e, me fournissait un th\u00e9or\u00e8me applicable \u00e0 la G\u00e9om\u00e9trie ordinaire. Il se trouva qu\u2019en combinant tous ces th\u00e9or\u00e8mes, j\u2019obtins ais\u00e9ment la solution de la difficult\u00e9 dont j\u2019ai parl\u00e9 plus haut.\u00a0\u00bb<\/p>\nHenri Poincar\u00e9 – \u00ab\u00a0Analyse des travaux scientifiques de Henri Poincar\u00e9 faite par lui- m\u00eame\u00a0\u00bb Poincar\u00e9 construit alors deux mod\u00e8le conformes de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique : le \u00ab\u00a0disque de Poincar\u00e9\u00a0\u00bb dont il est question ci-dessus avec lequel nous allons d\u00e9velopper les pages suivantes, et le \u00ab\u00a0demi-plan de Poincar\u00e9\u00a0\u00bb<\/p>\n\n\n\n La \u00ab\u00a0g\u00e9om\u00e9trie de Lobatchevsky\u00a0\u00bb ne s’appelait pas encore \u00ab\u00a0hyperbolique\u00a0\u00bb en 1901. C’est une g\u00e9om\u00e9trie pour laquelle par un point il ne passe pas une<\/strong>, mais deux<\/strong> parall\u00e8les \u00e0 une droite donn\u00e9e, selon la d\u00e9finition de Lobatchevsky de 1826 (et non pas une infinit\u00e9 comme on peut le lire parfois).<\/p>\n\n\n\n Dans ce menu, on commence par un item d’exploration sur les droites<\/strong>, \u00e0 la d\u00e9couverte \u00ab\u00a0exp\u00e9rimentale\u00a0\u00bb, dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9, un peu comme les enfants explorent la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne avec les outils qu’on leur donnent :<\/p>\n\n\n\n \u2022 un r\u00e8gle pour tracer les segments et les droites, Un item est ensuite consacr\u00e9 au cycles hyperbolique, extension du concept de cercle.<\/p>\n\n\n\n\n
(\u00e9crit \u00e0 la demande du math\u00e9maticien Mittag-Leffler en 1901) publi\u00e9 dans Acta 38 en 1921
<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\nLe menu DP (Disque de Poincar\u00e9)<\/strong><\/h2>\n\n\n\n
\u2022 une \u00e9querre pour tracer des perpendiculaires
\u2022 un compas pour tracer les cercles<\/p>\n\n\n\n
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